c*********n
发帖数: 128 | 1 科普一下随机微积分
随便写了一个关于随机微积分的科普，如果大家觉得写的不错，读者受益，如果大家觉
得写的不好，请指出，我受益，总之是件好事，呵呵
1. 随机微积分（Stochastic Calculus）是干什么的？
一言以蔽之，给随机变量建立一套类似于普通微积分的理论，让我们能够像对普通的变
量做微积分那样对随机变量做微积分。
知道了这一点，我们很多时候都可以把普通微积分的思维方式对应到随机微积分上。比
如，有些概念，一开始如果我们不理解这个概念起的作用是什么，就可以想想在普通微
积分里面跟这个概念相对应的概念的作用。
2. 随即微积分的理论框架是怎么样建立起来的？
一言以蔽之，依样画葫芦。这里的“样”，说的是普通微积分。
在普通微积分里面，最基本的理论基础是“收敛”（convergence）和“极限”（limit
）的概念，所有其他的概念都是基于这两个基本概念的。对于随机微积分，在我们建立
了现代的概率论体系（基于实分析和测度论）之后，同样的我们就像当初发展普通微积
分那样先建立“收敛”和“极限”这两个概念。与普通数学分析不同的是，现在我们打
交道的是随机变量，比以前的普通的变量要 |
c*********n
发帖数: 128 | 2
重要。。。
不好意思，一时疏忽写错了，应该是
with probability 1, instead of "in prob"
谢谢指出，我马上会在原文里改过来。
对，是要换成risk-neutral measure，否则那个函数g就不是martingale。
不过这里要把measure变换牵扯进来，我还真不知道怎么用科普的语言把它讲清楚。
说来说去还是自己功力不够，理解得不够透彻，所以难以用非数学的语言把这部分描述
清楚。事实上，我写完回头看第６部分，觉得这一部分写得已经很不科普了，跟我的初
衷已经有些脱节了。
对，是Lebesgue积分，但我的想法就是在这里尽量不牵扯到更多的数学概念。Ito积分
最重要的一点就是其“近似”方法：本质上是用区域左边界的函数值代替整个区域的函
数值，跟传统微积分的“近似”方法不一样。这是我主要想传达的一点信息。
呵呵，觉得quant还是挺难的。。。 |
n****e
发帖数: 629 | 3 没有牛人，那俺继续胡言乱语一下，赫赫。
俺们学物理的，比较熟悉的是path integral,就是某个粒子从点A走到点B的概率是多少
？可行的办法之一是把所有可能的A->B的路径的概率求出来，再把它们统统加起来，得
到的就是总概率，在粒子物理里，就是振幅。
然后我们假设走路的时候，每一步走的方向是一个确定的角度加上一个随机的角度。那
么好，我们把路径分成无穷多步，然后确定的角度那个部分是可以积分的，就把这部分
积出。随机那部分，因为分成无穷等分了，根据大数定理，近似成为一个高斯分布。然
后有一个Lévy theorem就告诉我们，这个随机过程可以被当成一个布朗运动。然后我
们用一个Itō Integral把随机的部分也求个和--这里取左值作为近似是很重要的--因
为是随机过程，所以只有一开始的值是已知的。如果取中直或者右值就会把随机的部分
包含进来--这是和普通积分不同的地方。最后随机加已知，再把头尾AB两点位置钉死，
就得到了一个由“怪异”积分表示的概率分布。
搞quant是挺难的，搞理论物理也挺难的，赫赫。就是accounting也挺难的，只是“难
”的方向不同，赫赫。
【在 c*********n 的大作中提到】
:
: 重要。。。
: 不好意思，一时疏忽写错了，应该是
: with probability 1, instead of "in prob"
: 谢谢指出，我马上会在原文里改过来。
: 对，是要换成risk-neutral measure，否则那个函数g就不是martingale。
: 不过这里要把measure变换牵扯进来，我还真不知道怎么用科普的语言把它讲清楚。
: 说来说去还是自己功力不够，理解得不够透彻，所以难以用非数学的语言把这部分描述
: 清楚。事实上，我写完回头看第６部分，觉得这一部分写得已经很不科普了，跟我的初
: 衷已经有些脱节了。
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p*x
发帖数: 260 | 4 Really nice written introduction. I would make two suggestions.
(1) In part 4, if you could explain the non-anticipating intuitively,
people would understand why we need to pick the left point rather
than arbitrary one.
(2) In part 6, I would put Markov property in simply because it
is of equal importance and the whole BS derivation doesn't make sense
without it.
Add oil :) |
p*x
发帖数: 260 | 5 OK. Here is the hint.
Check the second equation in part 6, if F(t) is defined
as the filtration up to time t, how would you apply the
Ito lemma to function g? Feynman-Kac only works when you
condition on x(t), not F(t).
Markov property is very important in modeling derivatives
and worth pointing out. However, as an introduction, this
article is absolutely very helpful. |
