b***k
发帖数: 2673 | 1 suppose ito integral: int_0^t f(s,B_s) dB_s = X_t
那么这个X_t具备什么特别的性质吗?
比如X_t是martingale吗? E[X_t]=0?
我觉得对X_t做ito lemma有
d(X_t)=f(t,B_t)dB_t (no drift term)
可是又不是很肯定,如何解释这个结果?
请大拿出来帮我理理思路,多谢了.呵呵 |
c*********g
发帖数: 154 | 2 这样做是可以的，只差一个常数项X_0，对martingale的本质没有影响，只会对X_t的分布的均值产生影响。注意E(X_t)=X_0不一定是0。 |
b***k
发帖数: 2673 | 3 根据X_t的定义,X_0=int_0^0 f(s,B_s) dB_s,难道X_0!=0?
分布的均值产生影响。注意E(X_t)=X_0不一定是0。
【在 c*********g 的大作中提到】
: 这样做是可以的，只差一个常数项X_0，对martingale的本质没有影响，只会对X_t的分布的均值产生影响。注意E(X_t)=X_0不一定是0。
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c*********g
发帖数: 154 | 4 啊，不好意思理解错你的意思了。你是先定义ito integral，那么X_0当然是等于0。但
是我不记得如何取d(X_t)了。直接用ito lemma不知道行不行，用ito lemma的要求是G(
t,Y_t)中的G是二次连续可导的函数。这里int_0^t f(s,B_s) dB_s不知道是否二次连续
可导。嗯，还需要继续学习。。。
反过来如果先有导数d(X_t)=f(t,B_t)dB_t，那么X_t = X_0 + int_0^t f(s,B_s) dB_s
。这就是我之前说X_0不一定等于0的原因，是我理解错你先定义哪个了。 |
h*y
发帖数: 1289 | 5 f and dB_s are uncorrelated. E[X_t] = int_0^t E[f(s,B_s)] E[dB_s] = 0
Please correct me if I get something wrong.
【在 b***k 的大作中提到】
: suppose ito integral: int_0^t f(s,B_s) dB_s = X_t
: 那么这个X_t具备什么特别的性质吗?
: 比如X_t是martingale吗? E[X_t]=0?
: 我觉得对X_t做ito lemma有
: d(X_t)=f(t,B_t)dB_t (no drift term)
: 可是又不是很肯定,如何解释这个结果?
: 请大拿出来帮我理理思路,多谢了.呵呵
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c*********g
发帖数: 154 | 6 ls的证明是不严谨的。我这儿有正确的证明，需要的话发站内邮件吧，留下你的邮箱，我发个截图过去。 |
j*****4
发帖数: 292 | 7 X_t need not to be a martingle, but a local martingle.
【在 b***k 的大作中提到】
: suppose ito integral: int_0^t f(s,B_s) dB_s = X_t
: 那么这个X_t具备什么特别的性质吗?
: 比如X_t是martingale吗? E[X_t]=0?
: 我觉得对X_t做ito lemma有
: d(X_t)=f(t,B_t)dB_t (no drift term)
: 可是又不是很肯定,如何解释这个结果?
: 请大拿出来帮我理理思路,多谢了.呵呵
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h*y
发帖数: 1289 | 8 just wanna provide an idea, not a proof.
My thought is the B_s in f() is taken at beginning of any time interval (Ito
Calculus) which is independent of dB_s.
，我发个截图过去。
【在 c*********g 的大作中提到】
: ls的证明是不严谨的。我这儿有正确的证明，需要的话发站内邮件吧，留下你的邮箱，我发个截图过去。
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c*********g
发帖数: 154 | 9 idea是对的。站在任一个时间点上，因为有了所有的历史，则f()的值可完全确定，并非随机变量，于是可以从期望中直接取出来。这样就只剩下下一个时间段的布朗运动的期望，为0。从而加和的极限也为0。 |
a*******h
发帖数: 123 | 10 As long as f( ) is a (Borel-) measurable function, f(s, B_s) has to be an
adapted process and thus X_t is an Ito process, implying that it is a
martingale.
【在 b***k 的大作中提到】
: suppose ito integral: int_0^t f(s,B_s) dB_s = X_t
: 那么这个X_t具备什么特别的性质吗?
: 比如X_t是martingale吗? E[X_t]=0?
: 我觉得对X_t做ito lemma有
: d(X_t)=f(t,B_t)dB_t (no drift term)
: 可是又不是很肯定,如何解释这个结果?
: 请大拿出来帮我理理思路,多谢了.呵呵
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j*****4
发帖数: 292 | 11 What I know is f() need to be square integrable, otherwise, the E(X_t) even
does not exist and X_t becomes a martingale only locally.(without considerin
g the property in infinity). The defination of local martingle arises accord
ingly.
【在 a*******h 的大作中提到】
: As long as f( ) is a (Borel-) measurable function, f(s, B_s) has to be an
: adapted process and thus X_t is an Ito process, implying that it is a
: martingale.
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