c*********g
发帖数: 154 | 1 上回说过，离散情形下option pricing好办，说到底就是N维线性空间的表达问题，线
性代数就可以解决。但当空间维数和trading periods无穷多且连续的时候，线性代数
就无能为力了。这时就需要有另外的数学工具来对这个问题进行建模。于是，伊藤积分
以及与之相关的鞅论粉墨登场。
数学家们的思路大抵是这样的。状态空间是连续的，那么就要想办法在每一个时间点弄
出一个密度分布出来。再加上trading periods也是连续的，那么就要想办法弄出一个
随机过程出来。想来想去怎么搞呢？其实我们也能想得出来，无非就是在某一时刻t1，
站在某一个状态点上S_t1，把下一个时刻t2的状态密度分布做成以S_t1为均值的正态分
布好了。但正态分布的方差是多少好呢？试了半天，发现取成sqrt(t2-t1)最好，在求导
的时候和dt是一个量级的，处理起来简单。看，数学家们其实都是懒鬼，哈～不管怎么
样，把S_t1除掉，这就出来了所谓的“布朗运动”或者“维纳过程”。由于维纳过程对
时间处处连续处处不可导（可导的概率为零），没法做黎曼积分，所以必须给它做一些
特别处理，这就诞生了“伊藤积分”。
下面 |
a**n
发帖数: 3801 | 2 其实扩展到continuous time很困难
很多离散里面好用的东西严格说来都不好用了
比如说，arbitrage的定义都不好说
求导
【在 c*********g 的大作中提到】
: 上回说过，离散情形下option pricing好办，说到底就是N维线性空间的表达问题，线
: 性代数就可以解决。但当空间维数和trading periods无穷多且连续的时候，线性代数
: 就无能为力了。这时就需要有另外的数学工具来对这个问题进行建模。于是，伊藤积分
: 以及与之相关的鞅论粉墨登场。
: 数学家们的思路大抵是这样的。状态空间是连续的，那么就要想办法在每一个时间点弄
: 出一个密度分布出来。再加上trading periods也是连续的，那么就要想办法弄出一个
: 随机过程出来。想来想去怎么搞呢？其实我们也能想得出来，无非就是在某一时刻t1，
: 站在某一个状态点上S_t1，把下一个时刻t2的状态密度分布做成以S_t1为均值的正态分
: 布好了。但正态分布的方差是多少好呢？试了半天，发现取成sqrt(t2-t1)最好，在求导
: 的时候和dt是一个量级的，处理起来简单。看，数学家们其实都是懒鬼，哈～不管怎么
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c*********g
发帖数: 154 | 3 文章中已经说了，当定义了self-finance之后，no arbitrage便可以像离散情形一样来
定义。self-finance的作用是保证整个“portfolio”自成体系，使得系统与外界没有
能量交流，“no arb”其实是在说整个系统在统计上是稳定的，期望其回到初始状态。
将这两者连起来看很好理解啊，就像我们自然中很多现象一样，如果不接受外界作用力
，系统内部怎么搞都无所谓，最终就是个零和。 |
a**n
发帖数: 3801 | 4 连续时间的话任意两个时间点之间有无穷多个交易机会
从0开始，可以用无数次doubling strategy以概率1达
到任何一个你想要的财富水平
你说这是不是arbitrage？赫赫
【在 c*********g 的大作中提到】
: 文章中已经说了，当定义了self-finance之后，no arbitrage便可以像离散情形一样来
: 定义。self-finance的作用是保证整个“portfolio”自成体系，使得系统与外界没有
: 能量交流，“no arb”其实是在说整个系统在统计上是稳定的，期望其回到初始状态。
: 将这两者连起来看很好理解啊，就像我们自然中很多现象一样，如果不接受外界作用力
: ，系统内部怎么搞都无所谓，最终就是个零和。
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a***r
发帖数: 594 | 5 is this joke? the form of brownian motion has strong physical meaning and is
definitely NOT a convenient way out due to laziness.
the sqrt(t) behavior in diffusion processes is a direct result of density
leaving spatial vicinity at a rate proportional to the density gradient.
df/dt = - c * df/dx.
this is studied and established by theoretical and experimental physicists
hundreds years ago.
more fundamentally, the df/dt ~ -df/dx relationship is a result of the
assumption that the underlying r
【在 c*********g 的大作中提到】
: 文章中已经说了，当定义了self-finance之后，no arbitrage便可以像离散情形一样来
: 定义。self-finance的作用是保证整个“portfolio”自成体系，使得系统与外界没有
: 能量交流，“no arb”其实是在说整个系统在统计上是稳定的，期望其回到初始状态。
: 将这两者连起来看很好理解啊，就像我们自然中很多现象一样，如果不接受外界作用力
: ，系统内部怎么搞都无所谓，最终就是个零和。
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a**n
发帖数: 3801 | 6 re a
数学上也有Levy's theorem啊
is
transits
【在 a***r 的大作中提到】
: is this joke? the form of brownian motion has strong physical meaning and is
: definitely NOT a convenient way out due to laziness.
: the sqrt(t) behavior in diffusion processes is a direct result of density
: leaving spatial vicinity at a rate proportional to the density gradient.
: df/dt = - c * df/dx.
: this is studied and established by theoretical and experimental physicists
: hundreds years ago.
: more fundamentally, the df/dt ~ -df/dx relationship is a result of the
: assumption that the underlying r
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c*********g
发帖数: 154 | 7 不是很清楚你说的这个doubling strategy是什么意思。
no-arb是整个option pricing的assumption，至于这个assumption是否成立，有其它的
理论或实验来研究。但不管怎么样，现实中肯定是有arbitrage的机会的，这种机会持
续的时间长短也不定的。所以可以这样说，option pricing理论研究的是稳态或者说是
equilibrium下的定价问题。
【在 a**n 的大作中提到】
: 连续时间的话任意两个时间点之间有无穷多个交易机会
: 从0开始，可以用无数次doubling strategy以概率1达
: 到任何一个你想要的财富水平
: 你说这是不是arbitrage？赫赫
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c*********g
发帖数: 154 | 8 幽默一点嘛，这么严肃怎么成为数学家 :)
is
transits
【在 a***r 的大作中提到】
: is this joke? the form of brownian motion has strong physical meaning and is
: definitely NOT a convenient way out due to laziness.
: the sqrt(t) behavior in diffusion processes is a direct result of density
: leaving spatial vicinity at a rate proportional to the density gradient.
: df/dt = - c * df/dx.
: this is studied and established by theoretical and experimental physicists
: hundreds years ago.
: more fundamentally, the df/dt ~ -df/dx relationship is a result of the
: assumption that the underlying r
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