v****0
发帖数: 1887 | 1 题目是http://www.quantnet.com/forum/threads/quantitative-interview-questions-and-answers.437/ 上的第一道
给出的答案是 sqrt(2)
问题是 定义 函数 f(x) = x^(x^x(^x...))))
如果这个函数在实数（或者复数域）上有定义 我们可以按那个解法解
因为 f(x)=x^f(x) 如果 f（x)=2 那么 x^f(x) = x^2 =2
那么 x = sqrt(2).
问题是解法本身没有保证这个函数有定义
f（x）如果是有限的，一定是单调函数 (如果 0
那我们解一下 f(y)=9, 按上述解法 y=9^(1/9)
y
f(x)本身更本无法在实数集上定义。一个没有定义的函数哪里来解呢？ |
T*******t
发帖数: 9274 | 2 很猛啊，孩杂.
【在 v****0 的大作中提到】
: 题目是http://www.quantnet.com/forum/threads/quantitative-interview-questions-and-answers.437/ 上的第一道
: 给出的答案是 sqrt(2)
: 问题是 定义 函数 f(x) = x^(x^x(^x...))))
: 如果这个函数在实数（或者复数域）上有定义 我们可以按那个解法解
: 因为 f(x)=x^f(x) 如果 f（x)=2 那么 x^f(x) = x^2 =2
: 那么 x = sqrt(2).
: 问题是解法本身没有保证这个函数有定义
: f（x）如果是有限的，一定是单调函数 (如果 0: 那我们解一下 f(y)=9, 按上述解法 y=9^(1/9)
: y
|
w********0
发帖数: 1211 | 3 同意你说的。其实说心里话，有不少quant面试的题目与其说是数学题，不如说是脑筋
急转弯题，或者说是“伪数学题”，是被一些对数学一知半解的聪明人编出来，用来筛
掉一些数学比较差的人的。
你的这道题就是一个这样的例子，还有一个例子就是问i^i是多少。绿皮书上给出的答
案是求ln, 然后把i 看成 exp(i * pi /2), 求ln后得出i * pi/2, 所以最后结果是
exp (-pi/2)。
但其实，真正学好复变函数的人应该知道，复数上对数函数和一些幂函数的定义不是单
枝的，i 可以看成 exp(i * pi /2), 但同样可以看成 exp(i * (pi /2 + 2k pi) ), k
可以是任何整数，也就是把辐角多转上若干圈，这样这道题的结果可以是exp (-pi/2
+ 2k pi)。
可现实是很无奈的，这里大家的目标是找到工作，而不是做研究。面试你的人出这些题
是想看你是否聪明（至少是quant意义上的聪明），真正在工作中是不会用到这些的。
所以许多数学学得很好的人，最好还是放下身段，按照人家喜欢的方式去答题，而不要
去深究里面的东西。
【在 v****0 的大作中提到】
: 题目是http://www.quantnet.com/forum/threads/quantitative-interview-questions-and-answers.437/ 上的第一道
: 给出的答案是 sqrt(2)
: 问题是 定义 函数 f(x) = x^(x^x(^x...))))
: 如果这个函数在实数（或者复数域）上有定义 我们可以按那个解法解
: 因为 f(x)=x^f(x) 如果 f（x)=2 那么 x^f(x) = x^2 =2
: 那么 x = sqrt(2).
: 问题是解法本身没有保证这个函数有定义
: f（x）如果是有限的，一定是单调函数 (如果 0: 那我们解一下 f(y)=9, 按上述解法 y=9^(1/9)
: y
|
g***s
发帖数: 3811 | 4 agree what you said.
but sqrt(2) is correct for this question.
里面给的解答只给出了 假设存在的前提。得到sqrt(2)后，需要进一步确认sqrt(2)可
以令f（x）
收敛到２上。
questions-and-answers.437/ 上的第一道
【在 v****0 的大作中提到】
: 题目是http://www.quantnet.com/forum/threads/quantitative-interview-questions-and-answers.437/ 上的第一道
: 给出的答案是 sqrt(2)
: 问题是 定义 函数 f(x) = x^(x^x(^x...))))
: 如果这个函数在实数（或者复数域）上有定义 我们可以按那个解法解
: 因为 f(x)=x^f(x) 如果 f（x)=2 那么 x^f(x) = x^2 =2
: 那么 x = sqrt(2).
: 问题是解法本身没有保证这个函数有定义
: f（x）如果是有限的，一定是单调函数 (如果 0: 那我们解一下 f(y)=9, 按上述解法 y=9^(1/9)
: y
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S*********g
发帖数: 5298 | 5 不一定非得在整个实数域上有定义吧。
这个函数在x=sqrt(2)附近收敛就可以了吧。
你这个证明过程还假设f(y)=9这个等式能成立
如果你做个简单的数值计算，就会发现，f(y)到2.5左右就开始发散了
f(y)=9这个等式是不可能成立的。
而且这个函数也不是单调的，最小值在x=0.066附近出现。
x=9^(1/9)的话，f(x)=1.4114
【在 v****0 的大作中提到】
: 题目是http://www.quantnet.com/forum/threads/quantitative-interview-questions-and-answers.437/ 上的第一道
: 给出的答案是 sqrt(2)
: 问题是 定义 函数 f(x) = x^(x^x(^x...))))
: 如果这个函数在实数（或者复数域）上有定义 我们可以按那个解法解
: 因为 f(x)=x^f(x) 如果 f（x)=2 那么 x^f(x) = x^2 =2
: 那么 x = sqrt(2).
: 问题是解法本身没有保证这个函数有定义
: f（x）如果是有限的，一定是单调函数 (如果 0: 那我们解一下 f(y)=9, 按上述解法 y=9^(1/9)
: y
|
x******a
发帖数: 6336 | 6 It seems to me if the function is defined as
f(x)=lim f_n(x)
where f_n(x)=x^(x^(...^x)) include n 'x'es.
then for any fixed x>1. f(x) is not well defined since
f_(n+1)/f_n =f_n^{x-1}>x^{x-1}=c>1 and
f_(n+1)>c^n converges to infinity.
Any other way to explain the function f(x)?
btw, good catch LZ.
【在 S*********g 的大作中提到】
: 不一定非得在整个实数域上有定义吧。
: 这个函数在x=sqrt(2)附近收敛就可以了吧。
: 你这个证明过程还假设f(y)=9这个等式能成立
: 如果你做个简单的数值计算，就会发现，f(y)到2.5左右就开始发散了
: f(y)=9这个等式是不可能成立的。
: 而且这个函数也不是单调的，最小值在x=0.066附近出现。
: x=9^(1/9)的话，f(x)=1.4114
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z****g
发帖数: 1978 | 7 绿皮书上很多错误
很多面试题用markov state解，其实markov limit distribution的存在性都不一定有
学数学的人，一上来就容易先想存在性和唯一性，还有定义合理性，这个在面试里要吃亏。 |
x******a
发帖数: 6336 | 8 好像很多求期望的都是得到E(X)=p(E(X))以后解方程，而不论期望是否有限。
吃亏。
【在 z****g 的大作中提到】
: 绿皮书上很多错误
: 很多面试题用markov state解，其实markov limit distribution的存在性都不一定有
: 学数学的人，一上来就容易先想存在性和唯一性，还有定义合理性，这个在面试里要吃亏。
|
S*********g
发帖数: 5298 | 9
这步就不对。这步你用了f_(n+1) = f_n^(x),实际上这个等式不成立
1.1^(1.1^1.1) = 1.1116
(1.1^1.1)^1.1 = 1.1222
【在 x******a 的大作中提到】
: It seems to me if the function is defined as
: f(x)=lim f_n(x)
: where f_n(x)=x^(x^(...^x)) include n 'x'es.
: then for any fixed x>1. f(x) is not well defined since
: f_(n+1)/f_n =f_n^{x-1}>x^{x-1}=c>1 and
: f_(n+1)>c^n converges to infinity.
: Any other way to explain the function f(x)?
: btw, good catch LZ.
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a********e
发帖数: 508 | 10 这个题目没问题了，不用管这个函数在其他点点定义，只要看f(sqrt(2))就行了
把x=sqrt(2)按函数中迭代n次后的数值记为a_n，那么得到的数列是单调递增有界的。
所有极限存在
if 2>a_n>a_{n-1}, then 2=x^2>a_{n+1}=x^a_n>x^a_{n-1}=a_n
【在 v****0 的大作中提到】
: 题目是http://www.quantnet.com/forum/threads/quantitative-interview-questions-and-answers.437/ 上的第一道
: 给出的答案是 sqrt(2)
: 问题是 定义 函数 f(x) = x^(x^x(^x...))))
: 如果这个函数在实数（或者复数域）上有定义 我们可以按那个解法解
: 因为 f(x)=x^f(x) 如果 f（x)=2 那么 x^f(x) = x^2 =2
: 那么 x = sqrt(2).
: 问题是解法本身没有保证这个函数有定义
: f（x）如果是有限的，一定是单调函数 (如果 0: 那我们解一下 f(y)=9, 按上述解法 y=9^(1/9)
: y
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v****0
发帖数: 1887 | 11 I still do not get it.
let x=sqrt(2);
X = 1.41421356237310
X^X = 1.63252691943815
X^X^X = 2.00000000000000
X^X^X^X = 2.66514414269023
X^X^X^X^X =4.00000000000000
X^X^X^X^X^X =7.10299330131603
X^X^X^X^X^X^X =16.0000000000000
How the series converges to 2?
【在 g***s 的大作中提到】
: agree what you said.
: but sqrt(2) is correct for this question.
: 里面给的解答只给出了 假设存在的前提。得到sqrt(2)后，需要进一步确认sqrt(2)可
: 以令f（x）
: 收敛到２上。
:
: questions-and-answers.437/ 上的第一道
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v****0
发帖数: 1887 | 12 I still do not get it.
let x=sqrt(2);
X = 1.41421356237310
X^X = 1.63252691943815
X^X^X = 2.00000000000000
X^X^X^X = 2.66514414269023
X^X^X^X^X =4.00000000000000
X^X^X^X^X^X =7.10299330131603
X^X^X^X^X^X^X =16.0000000000000
How the series converges to 2?
Let X=0.066, the series turns out to be
0.0660
0.8358
0.9882
0.9992
0.9999
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
what I can tell is that f(x) could be defined on (0,1].
【在 S*********g 的大作中提到】
: 不一定非得在整个实数域上有定义吧。
: 这个函数在x=sqrt(2)附近收敛就可以了吧。
: 你这个证明过程还假设f(y)=9这个等式能成立
: 如果你做个简单的数值计算，就会发现，f(y)到2.5左右就开始发散了
: f(y)=9这个等式是不可能成立的。
: 而且这个函数也不是单调的，最小值在x=0.066附近出现。
: x=9^(1/9)的话，f(x)=1.4114
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g***s
发帖数: 3811 | 13 it is x^(x^x(^x...))))
not x^x^x....^x
在 vt1000 (蜀都笑笑生) 的大作中提到: 】 |
D**u
发帖数: 204 | 14 This indeed is a very interesting question, and
looks like a paradox (e.g. if f(x)=4, following
the logic, we will get x= 4^(1/4) = sqrt(2),
the same answer for solving f(x) = 2.)
The source of this paradox goes back to where we can
define x, and what is the range of f(x).
Actually x can not take values bigger than e^(1/e)
(otherwise f(x) will diverge) and max(f(x))= e.
Notice that x = f(x)^(1/f(x)).
If g(y) = y^(1/y), we can show that g(y) reaches
maximum when y = e.
This explains that x =< e^(1/e).
To show that f(x) =< e when x =< e^(1/e),
let f_n(x) = x^...^x (total n x), then we can use
induction on n to show that f_n(x) =< e.
Take limit on n, then f(x) =< e.
【在 v****0 的大作中提到】
: I still do not get it.
: let x=sqrt(2);
: X = 1.41421356237310
: X^X = 1.63252691943815
: X^X^X = 2.00000000000000
: X^X^X^X = 2.66514414269023
: X^X^X^X^X =4.00000000000000
: X^X^X^X^X^X =7.10299330131603
: X^X^X^X^X^X^X =16.0000000000000
: How the series converges to 2?
|
S*********g
发帖数: 5298 | 15 x 1.414213562
x^x 1.632526919
x^(x^x) 1.760839556
x^(x^(x^x)) 1.840910869
x^(x^(x^(x^x))) 1.892712697
x^(x^(x^(x^(x^x)))) 1.926999702
x^(x^(x^(x^(x^(x^x))))) 1.950034774
x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^x)))))) 1.965664887
x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^x))))))) 1.976341754
x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^x)))))))) 1.983668399
x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^x))))))))) 1.988711773
x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^x)))))))))) 1.992190883
x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^x))))))))))) 1.994594451
x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^x)))))))))))) 1.996256666
x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^x))))))))))))) 1.997407001
x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^x)))))))))))))) 1.998203478
x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^x))))))))))))))) 1.998755133
【在 v****0 的大作中提到】
: I still do not get it.
: let x=sqrt(2);
: X = 1.41421356237310
: X^X = 1.63252691943815
: X^X^X = 2.00000000000000
: X^X^X^X = 2.66514414269023
: X^X^X^X^X =4.00000000000000
: X^X^X^X^X^X =7.10299330131603
: X^X^X^X^X^X^X =16.0000000000000
: How the series converges to 2?
|
x******a
发帖数: 6336 | 16 hehe, thank you for pointing out.
【在 S*********g 的大作中提到】
: x 1.414213562
: x^x 1.632526919
: x^(x^x) 1.760839556
: x^(x^(x^x)) 1.840910869
: x^(x^(x^(x^x))) 1.892712697
: x^(x^(x^(x^(x^x)))) 1.926999702
: x^(x^(x^(x^(x^(x^x))))) 1.950034774
: x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^x)))))) 1.965664887
: x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^x))))))) 1.976341754
: x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^(x^x)))))))) 1.983668399
|
v****0
发帖数: 1887 | 17 It is my bad.
【在 g***s 的大作中提到】
: it is x^(x^x(^x...))))
: not x^x^x....^x
: 在 vt1000 (蜀都笑笑生) 的大作中提到: 】
|
D**u
发帖数: 204 | 18 "f(y)到2.5左右就开始发散了"
It is e = 2.718...
"而且这个函数也不是单调的，最小值在x=0.066附近出现"
It is x = (1/e)^e.
When x is smaller, x^...^x is "bouncing back and forth"
when n is even or odd, and not converge.
This means that both x and f(x) also have a lower bound
when x<1 (which seems less obvious than the existence
of an upper bound).
Namely, x >= (1/e)^e, and f(x) >= 1/e.
【在 S*********g 的大作中提到】
: 不一定非得在整个实数域上有定义吧。
: 这个函数在x=sqrt(2)附近收敛就可以了吧。
: 你这个证明过程还假设f(y)=9这个等式能成立
: 如果你做个简单的数值计算，就会发现，f(y)到2.5左右就开始发散了
: f(y)=9这个等式是不可能成立的。
: 而且这个函数也不是单调的，最小值在x=0.066附近出现。
: x=9^(1/9)的话，f(x)=1.4114
|
v****0
发帖数: 1887 | 19 excellent.
Just draw a figure to support your argument.
Let y = f(x) = x^(x^(x^(x.....))))), and x = g (y), where g(f(x))=x.
g() is not a function, for x>1,
In the case of x=sqrt(2), f(x) might be 4 or 2
interesting.
【在 D**u 的大作中提到】
: This indeed is a very interesting question, and
: looks like a paradox (e.g. if f(x)=4, following
: the logic, we will get x= 4^(1/4) = sqrt(2),
: the same answer for solving f(x) = 2.)
: The source of this paradox goes back to where we can
: define x, and what is the range of f(x).
: Actually x can not take values bigger than e^(1/e)
: (otherwise f(x) will diverge) and max(f(x))= e.
: Notice that x = f(x)^(1/f(x)).
: If g(y) = y^(1/y), we can show that g(y) reaches
|
n******t
发帖数: 4406 | 20 这就是不懂数学的人瞎写。。。
其实真正应该是定义f(x) = x
f_{n+1}(x) = x^f_n(x)
【在 v****0 的大作中提到】
: excellent.
: Just draw a figure to support your argument.
: Let y = f(x) = x^(x^(x^(x.....))))), and x = g (y), where g(f(x))=x.
: g() is not a function, for x>1,
: In the case of x=sqrt(2), f(x) might be 4 or 2
: interesting.
|
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S*********g
发帖数: 5298 | 21 f(x)到不了4
【在 v****0 的大作中提到】
: excellent.
: Just draw a figure to support your argument.
: Let y = f(x) = x^(x^(x^(x.....))))), and x = g (y), where g(f(x))=x.
: g() is not a function, for x>1,
: In the case of x=sqrt(2), f(x) might be 4 or 2
: interesting.
|
p*****k
发帖数: 318 | 22 totally off-topic:
if interested, this is known as tetration (love the name! or plainly, power
tower), which is pretty well studied. actually Euler first showed that the
infinite power tower converges when the base is between e^(-e) and e^(1/e),
as DuGu indicated. it could be extended to complex plane by using Lambert's
W function.
(the height of the power tower could also be extended to real and complex,
but that's probably a little too much)
there is a very interesting related article by Gardner about Graham's number
(he used Knuth's up-arrow notation). finite tower height though:P |
G********d
发帖数: 10250 | 23 好奇你们在说啥复变函数？。。。
这跟复变什么关系？？？？
对于某些x
你是不是想说这题假设了那个极限的存在而且极限又不是well defined。。。
【在 v****0 的大作中提到】
: excellent.
: Just draw a figure to support your argument.
: Let y = f(x) = x^(x^(x^(x.....))))), and x = g (y), where g(f(x))=x.
: g() is not a function, for x>1,
: In the case of x=sqrt(2), f(x) might be 4 or 2
: interesting.
|
D**u
发帖数: 204 | 24 Good to know the background, that is very interesting.
power
the
,
's
number
【在 p*****k 的大作中提到】
: totally off-topic:
: if interested, this is known as tetration (love the name! or plainly, power
: tower), which is pretty well studied. actually Euler first showed that the
: infinite power tower converges when the base is between e^(-e) and e^(1/e),
: as DuGu indicated. it could be extended to complex plane by using Lambert's
: W function.
: (the height of the power tower could also be extended to real and complex,
: but that's probably a little too much)
: there is a very interesting related article by Gardner about Graham's number
: (he used Knuth's up-arrow notation). finite tower height though:P
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