c**a 发帖数: 316 | |
l*******l 发帖数: 248 | |
x********o 发帖数: 519 | 3 use definition
【在 c**a 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : how to (dis)prove?
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c**a 发帖数: 316 | 4 I think we can disprove it.
E(Wt+Wt/2 | Ws +Ws/2) = E(Wt|Ws+Ws/2) + E(Wt/2|Ws+Ws/2)
=E(B1 + Ws|Ws+Ws/2) + E(B2+Ws/2|Ws+Ws/2)
=E(B1+ B2|Ws+Ws/2) + E(Ws+Ws/2|Ws+Ws/2)
Hence, Wt+Wt/2 is a martingale iff the first term is zero.
B1 =W(t)-W(s) and its conditional expectation is zero.
B2 = W(t/2)-W(s/2) and its conditional expectation is generally not zero.
If we take the derivative we have
0.5dw(t/2) +dw(t)
since we have dw(t/2), we dont know if it is a martingale. |
l*******l 发帖数: 248 | |
A*****s 发帖数: 13748 | 6 怎么对brownian motion求导?!
【在 l*******l 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 求导,看有没有dt
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a**n 发帖数: 3801 | 7 应该是conditional on filtration (当前所有的信息),不是当前值
E[W_t|F_s]=W_s
E[W_{t/2} |F_s] = W_{t/2} 如果 t/2
【在 c**a 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : I think we can disprove it. : E(Wt+Wt/2 | Ws +Ws/2) = E(Wt|Ws+Ws/2) + E(Wt/2|Ws+Ws/2) : =E(B1 + Ws|Ws+Ws/2) + E(B2+Ws/2|Ws+Ws/2) : =E(B1+ B2|Ws+Ws/2) + E(Ws+Ws/2|Ws+Ws/2) : Hence, Wt+Wt/2 is a martingale iff the first term is zero. : B1 =W(t)-W(s) and its conditional expectation is zero. : B2 = W(t/2)-W(s/2) and its conditional expectation is generally not zero. : If we take the derivative we have : 0.5dw(t/2) +dw(t) : since we have dw(t/2), we dont know if it is a martingale.
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r*******y 发帖数: 1081 | 8 so it is not a martingale.
it is an interesting problem, W(t) is a martingale but
W(t/2) is not a martingale.
【在 a**n 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 应该是conditional on filtration (当前所有的信息),不是当前值 : E[W_t|F_s]=W_s : E[W_{t/2} |F_s] = W_{t/2} 如果 t/2
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A*****s 发帖数: 13748 | 9 ill-defined problem
did not define the information structure, did not define the current time
【在 r*******y 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : so it is not a martingale. : it is an interesting problem, W(t) is a martingale but : W(t/2) is not a martingale.
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a**n 发帖数: 3801 | 10 martingale都是相对于一个information set而言的
如果你的information来自于W_t, 那X_t=W_{t/2}当然不是martingale
【在 r*******y 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : so it is not a martingale. : it is an interesting problem, W(t) is a martingale but : W(t/2) is not a martingale.
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k**u 发帖数: 60 | 11 W(t/2)=sqrt(1/2) W(t)
but W(t/2) is a weak soultion, don't know whether it follows the filtration
generated by W(t) exactly.
不过, 感觉W(t/2)+ W(t) 是martingale.
纠结的地方是这个martingale,的filtration是什么样的。 |
A*****s 发帖数: 13748 | 12
why?
w(t) = w(t/2) + [w(t)-w(t/2)]
w(t/2)和w(t)-w(t/2)是独立的
你说的那个是volatility的关系吧?
【在 k**u 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : W(t/2)=sqrt(1/2) W(t) : but W(t/2) is a weak soultion, don't know whether it follows the filtration : generated by W(t) exactly. : 不过, 感觉W(t/2)+ W(t) 是martingale. : 纠结的地方是这个martingale,的filtration是什么样的。
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k**u 发帖数: 60 | 13 W(t)= W(t/2) + (W(t)- W(t/2))也是对的啊,
这里不是要求W(t/2)的导么~, 你这样化,还是要求W(t/2)的。
W(t/2)对于对W(t)做了个time change, 具体thoerom是:
Let f(t) be an adapted positive increasing differentiable process and
dX(t)= sqrt(f'(t))dW(t);
then the process W(f(t)) is a week solution.
我刚想了,W(t/2) + W(t) 应该不是mtg.
W(t/2) is a mtg w.r.t F_{t/2},
W(t) is a mtg w.r.t. F_t;
貌似filtration 不能乱加,所以不是。。。
【在 A*****s 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : : why? : w(t) = w(t/2) + [w(t)-w(t/2)] : w(t/2)和w(t)-w(t/2)是独立的 : 你说的那个是volatility的关系吧?
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A*****s 发帖数: 13748 | 14 能问一下么,你们老说的这个对W(t)求导,是求dW(t)么?
求导按理说是dW(t)/dt,明显不存在啊。。。几天之内看见两次,彻底晕了。。。
另外这个theorem是SDE里的么?严重需要复习。。。谢谢!
【在 k**u 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : W(t)= W(t/2) + (W(t)- W(t/2))也是对的啊, : 这里不是要求W(t/2)的导么~, 你这样化,还是要求W(t/2)的。 : W(t/2)对于对W(t)做了个time change, 具体thoerom是: : Let f(t) be an adapted positive increasing differentiable process and : dX(t)= sqrt(f'(t))dW(t); : then the process W(f(t)) is a week solution. : 我刚想了,W(t/2) + W(t) 应该不是mtg. : W(t/2) is a mtg w.r.t F_{t/2}, : W(t) is a mtg w.r.t. F_t; : 貌似filtration 不能乱加,所以不是。。。
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D********n 发帖数: 978 | 15 大家的说法是“按理”的,你的说法不“按理”。
【在 A*****s 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 能问一下么,你们老说的这个对W(t)求导,是求dW(t)么? : 求导按理说是dW(t)/dt,明显不存在啊。。。几天之内看见两次,彻底晕了。。。 : 另外这个theorem是SDE里的么?严重需要复习。。。谢谢!
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A*****s 发帖数: 13748 | 16 就是说大家把dW(t)叫做求导咯?终于明白了。。。
这个在国内的时候叫求微啊。。。differentiate
【在 D********n 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 大家的说法是“按理”的,你的说法不“按理”。
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a**n 发帖数: 3801 | 17 其实都是积分。。。嘿嘿
【在 A*****s 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 就是说大家把dW(t)叫做求导咯?终于明白了。。。 : 这个在国内的时候叫求微啊。。。differentiate
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A*****s 发帖数: 13748 | 18 re...所以听见求导很ft。。。
【在 a**n 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 其实都是积分。。。嘿嘿
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k**u 发帖数: 60 | 19 就是这意思~
【在 A*****s 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 就是说大家把dW(t)叫做求导咯?终于明白了。。。 : 这个在国内的时候叫求微啊。。。differentiate
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A*****s 发帖数: 13748 | 20 那个theorem是在什么书里的?shreve里没有吧?SDE的书里有么?
【在 k**u 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 就是这意思~
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k**u 发帖数: 60 | 21 不记得哪儿看到了,SDE的里面肯定有。
let c be a constant,
B(ct)的variance 是sqrt(c) *t;
sqrt(c)*t也是sqrt(c)*B(t)的variance,
根据levy charactization of brownian motion
B(ct)=sqrt(c)B(t) in the sense of distribution.
so dB(ct)=sqrt(c)dB(t)
将ct换成f(t)就是证明。
不过更复杂点。。。
【在 A*****s 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 那个theorem是在什么书里的?shreve里没有吧?SDE的书里有么?
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A*****s 发帖数: 13748 | 22 好,多谢!
【在 k**u 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 不记得哪儿看到了,SDE的里面肯定有。 : let c be a constant, : B(ct)的variance 是sqrt(c) *t; : sqrt(c)*t也是sqrt(c)*B(t)的variance, : 根据levy charactization of brownian motion : B(ct)=sqrt(c)B(t) in the sense of distribution. : so dB(ct)=sqrt(c)dB(t) : 将ct换成f(t)就是证明。 : 不过更复杂点。。。
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