j*******a
发帖数: 101 | 1 Steele 的书 stochastic calculus and Financial App. 的56页，
先定义这个Ta,布朗运动到level a的时间。
Ta = inf(t: Bt = a)
先是说P( Ta < inf ) = 1, 这个时间Ta小于无穷的概率是1。
然后是E(Ta) = inf; 这个Ta的期望值是无穷，这个和上面不矛盾吗？
我半路出家，请专业人士给点提示。多谢诶。 |
D********n
发帖数: 978 | 2 在(0, 1]上做个1/x的积分吧。然后把(0, 1]当成sample space, 把积分当成
Expectation想一想。
不过LZ如果这个还不是很清楚的话，直接看stochastic calculus可能有点难。
BTW, 我不是出家人。
【在 j*******a 的大作中提到】
: Steele 的书 stochastic calculus and Financial App. 的56页，
: 先定义这个Ta,布朗运动到level a的时间。
: Ta = inf(t: Bt = a)
: 先是说P( Ta < inf ) = 1, 这个时间Ta小于无穷的概率是1。
: 然后是E(Ta) = inf; 这个Ta的期望值是无穷，这个和上面不矛盾吗？
: 我半路出家，请专业人士给点提示。多谢诶。
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d********t
发帖数: 9628 | 3
第一个很好理解啊，就是Ta
第二个对于symmetric的motion，考虑Infnity是另一个边界
E(Ta)=a*infinity = infinity
【在 j*******a 的大作中提到】
: Steele 的书 stochastic calculus and Financial App. 的56页，
: 先定义这个Ta,布朗运动到level a的时间。
: Ta = inf(t: Bt = a)
: 先是说P( Ta < inf ) = 1, 这个时间Ta小于无穷的概率是1。
: 然后是E(Ta) = inf; 这个Ta的期望值是无穷，这个和上面不矛盾吗？
: 我半路出家，请专业人士给点提示。多谢诶。
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p*******n
发帖数: 776 | 4 我是这样理解的，infinity的测度是0，然后期望E=finite*1+infinity*0=infinity
【在 j*******a 的大作中提到】
: Steele 的书 stochastic calculus and Financial App. 的56页，
: 先定义这个Ta,布朗运动到level a的时间。
: Ta = inf(t: Bt = a)
: 先是说P( Ta < inf ) = 1, 这个时间Ta小于无穷的概率是1。
: 然后是E(Ta) = inf; 这个Ta的期望值是无穷，这个和上面不矛盾吗？
: 我半路出家，请专业人士给点提示。多谢诶。
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A*****s
发帖数: 13748 | 5 一个事件会发生
和
发生的时间期望爆棚
是两件不矛盾的事情啊
有很多random variable的期望都是无穷的啊
【在 j*******a 的大作中提到】
: Steele 的书 stochastic calculus and Financial App. 的56页，
: 先定义这个Ta,布朗运动到level a的时间。
: Ta = inf(t: Bt = a)
: 先是说P( Ta < inf ) = 1, 这个时间Ta小于无穷的概率是1。
: 然后是E(Ta) = inf; 这个Ta的期望值是无穷，这个和上面不矛盾吗？
: 我半路出家，请专业人士给点提示。多谢诶。
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d****d
发帖数: 2919 | 6 不矛盾，
P( Ta < inf ) = 1,
不是说Ta＝inf的路径绝对没有，实际上永远到不了a的路径也是无穷多条（比如在原地
打转就行了）。只是到不了a的路径数跟Ta＜inf的路径数比起来是底阶的inf。
（就跟在实数轴上随机取一点，取到无理数的概率是１一个套路，这不等于说实数轴上
全是无理数。）
但是算E［Ta］的时候，这些永远到不了a的项也有贡献，
E［Ta］＝ Ta＜inf 的项＊Ta＜inf的概率 ＋ Ta＝inf的那些项＊Ta＝inf 的概率。
Ta＜inf的肯定是有限的，但后面那项，其实就是 inf＊０。
inf＊０ 是 inf，有限，或者０都行，就看谁更高阶了。
实际上是那个inf 更高阶，所以最后E［Ta］＝inf。
【在 j*******a 的大作中提到】
: Steele 的书 stochastic calculus and Financial App. 的56页，
: 先定义这个Ta,布朗运动到level a的时间。
: Ta = inf(t: Bt = a)
: 先是说P( Ta < inf ) = 1, 这个时间Ta小于无穷的概率是1。
: 然后是E(Ta) = inf; 这个Ta的期望值是无穷，这个和上面不矛盾吗？
: 我半路出家，请专业人士给点提示。多谢诶。
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x******a
发帖数: 6336 | 7 这个理解不是正确的，
在Lesbesgue积分中，0*\infinity =0. 如果我没记错。
【在 p*******n 的大作中提到】
: 我是这样理解的，infinity的测度是0，然后期望E=finite*1+infinity*0=infinity
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j*******a
发帖数: 101 | |
K*V
发帖数: 192 | 9 Ta定义可以解释清楚一点吗？ inf在定义里是什么意思。
【在 j*******a 的大作中提到】
: Steele 的书 stochastic calculus and Financial App. 的56页，
: 先定义这个Ta,布朗运动到level a的时间。
: Ta = inf(t: Bt = a)
: 先是说P( Ta < inf ) = 1, 这个时间Ta小于无穷的概率是1。
: 然后是E(Ta) = inf; 这个Ta的期望值是无穷，这个和上面不矛盾吗？
: 我半路出家，请专业人士给点提示。多谢诶。
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w*********o
发帖数: 434 | 10 from the definition of real analysis,
0*inf =0 |
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p*******n
发帖数: 776 | 11 那怎么解释期望是infinity呢？呵呵
【在 x******a 的大作中提到】
: 这个理解不是正确的，
: 在Lesbesgue积分中，0*\infinity =0. 如果我没记错。
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D********n
发帖数: 978 | 12 楼上诸位，请不要将数学民科化了。
尤其是我引的这个帖子，就语法上来看显然都是不对的。有劳你给大家找出来0*inf =
0是在哪里定义的。
1/n * n当n趋于无穷的时候趋于0么？
【在 w*********o 的大作中提到】
: from the definition of real analysis,
: 0*inf =0
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W*****k
发帖数: 158 | 13 这个主题的讨论真是各种亮点
【在 j*******a 的大作中提到】
: Steele 的书 stochastic calculus and Financial App. 的56页，
: 先定义这个Ta,布朗运动到level a的时间。
: Ta = inf(t: Bt = a)
: 先是说P( Ta < inf ) = 1, 这个时间Ta小于无穷的概率是1。
: 然后是E(Ta) = inf; 这个Ta的期望值是无穷，这个和上面不矛盾吗？
: 我半路出家，请专业人士给点提示。多谢诶。
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j*******a
发帖数: 101 | 14 dumand说的在理吧?
=
【在 D********n 的大作中提到】
: 楼上诸位，请不要将数学民科化了。
: 尤其是我引的这个帖子，就语法上来看显然都是不对的。有劳你给大家找出来0*inf =
: 0是在哪里定义的。
: 1/n * n当n趋于无穷的时候趋于0么？
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x******a
发帖数: 6336 | 15 Show me a nonnegative function f on R such that \int f =0.
=
【在 D********n 的大作中提到】
: 楼上诸位，请不要将数学民科化了。
: 尤其是我引的这个帖子，就语法上来看显然都是不对的。有劳你给大家找出来0*inf =
: 0是在哪里定义的。
: 1/n * n当n趋于无穷的时候趋于0么？
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x******a
发帖数: 6336 | 16 I am afraid not. A null set does not affect the integral at all.
【在 j*******a 的大作中提到】
: dumand说的在理吧?
:
: =
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j*******a
发帖数: 101 | 17 那你来个更加严密的给大家扫盲扫盲？就算积功德，呵呵。
【在 x******a 的大作中提到】
: I am afraid not. A null set does not affect the integral at all.
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d****d
发帖数: 2919 | 18 迪里黑里函数在R上就是Lebesgue 可积的，而且积分为零。
(黎曼不可积)
【在 x******a 的大作中提到】
: Show me a nonnegative function f on R such that \int f =0.
:
: =
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D********n
发帖数: 978 | 19 你到底是乘法不懂，积分不懂还是极限不懂？
\int f = 0和你那个无厘头的0*inf = 0有啥关系？
【在 x******a 的大作中提到】
: Show me a nonnegative function f on R such that \int f =0.
:
: =
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x******a
发帖数: 6336 | 20 对不起，刚才吃饭去了。吃饭的时候在想这个，下面是我想说的。
1。我给大家真诚道歉，打搅了大家欢乐而有体现水平的讨论。
2。我感谢大家给我的启发。跟楼上各位比，我认识到自己的面试中的不足。A）大家的
解释简洁而又具体，看起来令人心悦神怡。我总是用模糊的语言解释问题。想当然的认
为别人也该这么想。B） 讲你是错的这样的话，去argue。这样令路人甲
不悦的话，更不用说面试官本人了。C）去参与自己不懂的不确定的。
3。再次道歉，请大家别介意，接着讨论，我在边上学习不出声。 |
i**w
发帖数: 71 | 21 Rigorous proof can be found in Shreve II. But it helps to understand the
discrete version: random walk.
Consider for now a barrier a=1 for a symmetric random walk. Within 2m steps,
around O(1/sqrt(m))of all paths never hit the barrier or X_i < 1 for all i<
=2m.
Given this claim, P( Ta <= 2m ) ~ 1 - O(1/sqrt(m)) approaches 1 as 2m goes
to infinity. In the mean time, E(Ta) > 2m*O(1/sqrt(m)) approaches infinity
as 2m goes to infinity.
Now proof:
1. Given 2m steps, there are a total of 2^(2m) paths, out of which sum_0_(m-
1) C(2m,n) paths ends up above 1. As long as the number of downward walk n
is less than m, there are more upward walk, so we arrives above 1 at the
last step. These paths counts toward paths that hit barrier.
2. Now consider reflection principle, any of the paths that hit barrier then
goes downward and arrives below 1 has a mirror path in the first category.
Please google or read Shreve for detail. Thus we have another
sum_0_(m-1) C(2m,n)paths that hit the barrier.
3. the number of path that never hits the barrier is C(2m, m)=2^(2m) -
category1 - category2.
so the probability of never hit barrier = C(2m,m)/2^(2m)~1/(pi*m)
Intuitively, E(T_1| T_1 < infinity) should be 2, which is proved in Shreve.
However, once taking into account the paths that never hits barrier E(T_1) =
2+O(infinity) = infinity.
For general a, similar procedure follows.
【在 j*******a 的大作中提到】
: Steele 的书 stochastic calculus and Financial App. 的56页，
: 先定义这个Ta,布朗运动到level a的时间。
: Ta = inf(t: Bt = a)
: 先是说P( Ta < inf ) = 1, 这个时间Ta小于无穷的概率是1。
: 然后是E(Ta) = inf; 这个Ta的期望值是无穷，这个和上面不矛盾吗？
: 我半路出家，请专业人士给点提示。多谢诶。
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i**w
发帖数: 71 | 22 A related problem is the Gambler's ruin/Drunkman Walk, one version (as in
the GREEN bible is:
With equal probability you go up or down by 1 step. The probability of
hitting barrier a>0 before hitting a lower barrier -b<0 is b/(a+b). The
average total number of steps before hitting either one (win or lose) is a*b.
This is quite intuitive: the further away you are from the lower barrier,
the bigger your winning (hitting barrier a) probability, and it is linear.
The average number of steps needs some work.
Anyway, now let b->infinity, your probability of winning approaches 1, which
is again natural: since I am infinite away from losing it is veirually
impossible for me to lose. And a*b->infinity follows, which means you
probably want work out the expression a*b.
【在 j*******a 的大作中提到】
: Steele 的书 stochastic calculus and Financial App. 的56页，
: 先定义这个Ta,布朗运动到level a的时间。
: Ta = inf(t: Bt = a)
: 先是说P( Ta < inf ) = 1, 这个时间Ta小于无穷的概率是1。
: 然后是E(Ta) = inf; 这个Ta的期望值是无穷，这个和上面不矛盾吗？
: 我半路出家，请专业人士给点提示。多谢诶。
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