s********r
发帖数: 529 | 1 形如dS_t=adt+bS_tdW_t的SDE是怎么求的呀？我记得版上原来有个帖子，但是现在找不
到了，哪位高手指点一下？
多谢！ |
x******a
发帖数: 6336 | 2 Let Y_t be a solution of dY_t= -bY_t dW_t, find the equation for Y_tW_t.
【在 s********r 的大作中提到】
: 形如dS_t=adt+bS_tdW_t的SDE是怎么求的呀？我记得版上原来有个帖子，但是现在找不
: 到了，哪位高手指点一下？
: 多谢！
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l******i
发帖数: 1404 | 3 S_t = exp(-(1/2)*b^2+b*W_t)+a*t |
s********r
发帖数: 529 | 4 嗯，有道理，多谢多谢
【在 l******i 的大作中提到】
: S_t = exp(-(1/2)*b^2+b*W_t)+a*t
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k*****y
发帖数: 744 | 5 貌似不存在S_t = f(t, W_t)形式的解，因为相应的关于f的PDE's无解。但是不知道有
没有关于Ito integral的解？
【在 l******i 的大作中提到】
: S_t = exp(-(1/2)*b^2+b*W_t)+a*t
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A**u
发帖数: 2458 | |
s********r
发帖数: 529 | 7 楼上的那位同学给的思路很好，就把adt项看成是a*t微分而来的，分解成了一个expone
ntial martingale和a*t的和
【在 k*****y 的大作中提到】
: 貌似不存在S_t = f(t, W_t)形式的解，因为相应的关于f的PDE's无解。但是不知道有
: 没有关于Ito integral的解？
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x******a
发帖数: 6336 | 8 思路很好，差一项(-at dW_t)
【在 l******i 的大作中提到】
: S_t = exp(-(1/2)*b^2+b*W_t)+a*t
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s********r
发帖数: 529 | 9 你是说这位同学的做法错了吗？还是说赞叹了一下？愿闻其祥
【在 x******a 的大作中提到】
: 思路很好，差一项(-at dW_t)
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x******a
发帖数: 6336 | 10 let Y_t=exp(-(1/2)*b^2+b*W_t), then dY_t= bY_t dW_t.
we have
dS_t= d(Y_t+ at)= dY_t + adt= adt+ bY_t dW_t =adt + b(S_t -at) dW_t
【在 s********r 的大作中提到】
: 你是说这位同学的做法错了吗？还是说赞叹了一下？愿闻其祥
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|
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A**u
发帖数: 2458 | 11 dS(t,w) = (S_t + 0.5 S_xx) dt + S_x dw
ds = a dt + b S dw
所以
1 S_t + 0.5 S_xx = a
2 S_x = bS
由 2 S = exp(bx) + c(t)
1. c'(t) + 0.5 b * b * exp(bx) = a
这好象没解
这个题好想，我也看到过，有人贴出来，大概就这么做的 |
s********r
发帖数: 529 | 12 嗯，的确，刚才没有想清楚，那应该怎么做呢这道题目？
【在 x******a 的大作中提到】
: let Y_t=exp(-(1/2)*b^2+b*W_t), then dY_t= bY_t dW_t.
: we have
: dS_t= d(Y_t+ at)= dY_t + adt= adt+ bY_t dW_t =adt + b(S_t -at) dW_t
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L**********u
发帖数: 194 | 13 这种题都不会做，那就要重新看书了。
:-)
【在 s********r 的大作中提到】
: 形如dS_t=adt+bS_tdW_t的SDE是怎么求的呀？我记得版上原来有个帖子，但是现在找不
: 到了，哪位高手指点一下？
: 多谢！
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s********r
发帖数: 529 | 14 嗯啊，我以前会做的，现在忘掉了。。。需要重新看了，不过能否请教一下怎么做呢？
【在 L**********u 的大作中提到】
: 这种题都不会做，那就要重新看书了。
: :-)
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R**T
发帖数: 784 | 15 上次讨论这题的结果貌似就是没解
【在 A**u 的大作中提到】
: dS(t,w) = (S_t + 0.5 S_xx) dt + S_x dw
: ds = a dt + b S dw
: 所以
: 1 S_t + 0.5 S_xx = a
: 2 S_x = bS
: 由 2 S = exp(bx) + c(t)
: 1. c'(t) + 0.5 b * b * exp(bx) = a
: 这好象没解
: 这个题好想，我也看到过，有人贴出来，大概就这么做的
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R**T
发帖数: 784 | 16 愿闻其详
【在 L**********u 的大作中提到】
: 这种题都不会做，那就要重新看书了。
: :-)
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i**w
发帖数: 71 | 17 Shreve II Problem 6.1
analytical solution to general linear SDE
【在 s********r 的大作中提到】
: 形如dS_t=adt+bS_tdW_t的SDE是怎么求的呀？我记得版上原来有个帖子，但是现在找不
: 到了，哪位高手指点一下？
: 多谢！
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k*****y
发帖数: 744 | 18 先换元把dW前面的S搞掉，然后稍微凑了一下，好像还make sense。 |
A**u
发帖数: 2458 | 19 你解的
怎么想的，
Xt到可以猜猜， Yt你是怎么猜到的
有没有推导，同样适用在其他题目的办法
【在 k*****y 的大作中提到】
: 先换元把dW前面的S搞掉，然后稍微凑了一下，好像还make sense。
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k*****y
发帖数: 744 | 20 大概仿照shreve上hull-white model公式推导的想法。基本就是换元尽量把右边的S搞
掉，相当于分离变量。如果右边没有S了，就直接做个积分。
【在 A**u 的大作中提到】
: 你解的
: 怎么想的，
: Xt到可以猜猜， Yt你是怎么猜到的
: 有没有推导，同样适用在其他题目的办法
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A**u
发帖数: 2458 | 21 再问一下
我在11楼的回复哪里有错误呢
【在 k*****y 的大作中提到】
: 大概仿照shreve上hull-white model公式推导的想法。基本就是换元尽量把右边的S搞
: 掉，相当于分离变量。如果右边没有S了，就直接做个积分。
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R**T
发帖数: 784 | 22 没错误，不是无解，是解很复杂（不是简单的exponential)，解不出来...
你把kinect的结果代进去验证一下，那两个方程没问题
【在 A**u 的大作中提到】
: 再问一下
: 我在11楼的回复哪里有错误呢
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G******r
发帖数: 76 | 23 大牛解第二步的那个偏微分的时候马虎了吧。不过这个解法真的很直观。最后的解和
ihtw，kinecty大牛说的那个是一样的。
【在 A**u 的大作中提到】
: 再问一下
: 我在11楼的回复哪里有错误呢
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k*****y
发帖数: 744 | 24 我之前也误以为解SDE，就是相当于解PDE's，最近看interest rate那部分发现其实是不对的。这样的误解来源于Geometric Brownian Motion的Stock Price是这样的形式。
但是如果能写成连续函数S(t, w)，然后结果是把w换成W_t的话，相当于S只是依赖于W在t的值，与之前的路径无关。所以我觉得存在这样的解在这样的evolution方程下是基本不可能的。
解方程，my 2 cents是基本靠凑，分离变量，说得fancy点叫找conservation或first integral。
【在 A**u 的大作中提到】
: 再问一下
: 我在11楼的回复哪里有错误呢
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s********r
发帖数: 529 | 25 嗯，的确是高手，请问一下，那个积分是最简形式了吗？我们可以大概知道其分布吗？
多谢回答！
【在 k*****y 的大作中提到】
: 先换元把dW前面的S搞掉，然后稍微凑了一下，好像还make sense。
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A**u
发帖数: 2458 | 26 应该可以解，
但我前面算错了
前面写的
dS(t,w) = (S_t + 0.5 S_xx) dt + S_x dw
ds = a dt + b S dw
所以
1 S_t + 0.5 S_xx = a
2 S_x = bS
由 2 S = exp(bx) + c(t)
1. c'(t) + 0.5 b * b * exp(bx) = a
这好象没解
这个题好想，我也看到过，有人贴出来，大概就这么做的
________________________________________________
方程还是不变.
2--> S = c(t)exp(bx)
1--> (c'(t) + 0.5 b*b*c(t) exp(bx) = a
所以 c'(t) + 0.5b*b*c(t) = a * exp(-bx).
这时 y' + p(t)y = g(t) 形式, p(t) = 0.5b*b, g(t) = a * exp(-bx)
乘以 z(t) 两边
z(t) y' + z(t)p(t) y = z(t) g(t)
有 z'(t) = z(t)p(t).
所以z(t) = exp(p(t)从0到T的积分)
(zy)' = z(t)g(t)
zy = \int exp(0.5b*b*s-b*x) ds
这样，差不多就和你的解形式一样了.
再继续倒倒，待会排版出来，贴附件吧 乱七八糟的.
排好了.
kinecty 你怎么贴附件的
我没看到 点击添加附件的选项
贴tex code吧
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
Solve $dS(t) = adt + bS(t)dW(t)$,
because of Ito formula $dS(t) = (S_t + \frac{1}{2}S_xx)dt + S_x dW$, we have
\begin{align}
S_t + \frac{1}{2}S_xx & = & a \\
S_x = b S
\end{align}
From the second $S = c(t) e^{bx}$,
\begin{equation}
(c'(t) + \frac{1}{2} b^2 c(t)) e^{bx} = a
\end{equation}
\begin{equation}
(c'(t) + \frac{1}{2} b^2 c(t)) = ae^{-bx}
\end{equation}
Multiply $\mu(t)$ on both sides
\begin{equation}
\mu(t)c'(t) + \frac{1}{2} b^2 \mu(t)c(t)) = ae^{-bx}\mu(t)
\end{equation}
\begin{equation}
(\mu(t)c(t))' = ae^{-bx}\mu(t)
\end{equation}
\begin{equation}
\mu'(t) = \frac{1}{2} b^2 \mu(t)
\end{equation}
\begin{equation}
\mu(t) = e^{\frac{1}{2}b^2 t}
\end{equation}
\begin{equation}
\mu(t)c(t) = \int_0^t a e^{-bx} e^{\frac{1}{2}b^2 s} ds + cons
\end{equation}
\begin{equation}
c(t) = \frac{\int_0^t a e^{-bx} e^{\frac{1}{2}b^2 s} ds + cons} { e^{\frac{1
}{2}b^2 t}}
\end{equation}
\begin{equation}
S = \frac{\int_0^t a e^{-bx} e^{\frac{1}{2}b^2 s} ds + cons} { e^{\frac{1}{2
}b^2 t}} e^{bx}
\end{equation}
\begin{equation}
S = \frac{\int_0^t a e^{-bW(s)} e^{\frac{1}{2}b^2 s} ds + cons} { e^{\frac{1
}{2}b^2 t}} e^{bW(t)}
\end{equation}
consider boundary
\begin{equation}
S = \frac{\int_0^t a e^{-bW(s)} e^{\frac{1}{2}b^2 s} ds + S(0)} { e^{\frac{1
}{2}b^2 t}} e^{bW(t)}
\end{equation}
This is the same as your solution.
\end{document}
是不对的。这样的误解来源于Geometric Brownian Motion的Stock Price是这样的形式。
W在t的值，与之前的路径无关。所以我觉得存在这样的解在这样的evolution方程下是
基本不可能的。
integral。
【在 k*****y 的大作中提到】
: 我之前也误以为解SDE，就是相当于解PDE's，最近看interest rate那部分发现其实是不对的。这样的误解来源于Geometric Brownian Motion的Stock Price是这样的形式。
: 但是如果能写成连续函数S(t, w)，然后结果是把w换成W_t的话，相当于S只是依赖于W在t的值，与之前的路径无关。所以我觉得存在这样的解在这样的evolution方程下是基本不可能的。
: 解方程，my 2 cents是基本靠凑，分离变量，说得fancy点叫找conservation或first integral。
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k*****y
发帖数: 744 | |
l******i
发帖数: 1404 | 28 傲骨的做法完全是普适的，可行的。
唯一要注意的是不能把t和x当成两个无关的variable来解，
不然你会在过程中把x提到有关dt的积分外面去。
解这个ODE过程中，要记住x=x(t)
具体原因我也说不清楚，傲骨你要有想法就多说说吧。
【在 A**u 的大作中提到】
: 应该可以解，
: 但我前面算错了
: 前面写的
: dS(t,w) = (S_t + 0.5 S_xx) dt + S_x dw
: ds = a dt + b S dw
: 所以
: 1 S_t + 0.5 S_xx = a
: 2 S_x = bS
: 由 2 S = exp(bx) + c(t)
: 1. c'(t) + 0.5 b * b * exp(bx) = a
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r****t
发帖数: 10904 | 29 现在时兴把 -(1/2)*b^2 * t 简写成 -(1/2)*b^2 么？还是我搞错了?
【在 x******a 的大作中提到】
: let Y_t=exp(-(1/2)*b^2+b*W_t), then dY_t= bY_t dW_t.
: we have
: dS_t= d(Y_t+ at)= dY_t + adt= adt+ bY_t dW_t =adt + b(S_t -at) dW_t
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r****t
发帖数: 10904 | 30 貌似 \mu(t) 自己也有一个 const factor C_0: \mu(t) = exp(1/2*b^2*t + C_0),
不知道到最后能不能在 boundary 下确定
【在 A**u 的大作中提到】
: 应该可以解，
: 但我前面算错了
: 前面写的
: dS(t,w) = (S_t + 0.5 S_xx) dt + S_x dw
: ds = a dt + b S dw
: 所以
: 1 S_t + 0.5 S_xx = a
: 2 S_x = bS
: 由 2 S = exp(bx) + c(t)
: 1. c'(t) + 0.5 b * b * exp(bx) = a
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L******2
发帖数: 274 | 31 这个解太吊了。佩服。
【在 k*****y 的大作中提到】
: 先换元把dW前面的S搞掉，然后稍微凑了一下，好像还make sense。
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