M****i
发帖数: 58 | 1 问题写在附件里，想了很久也没想通，麻烦各位大牛给指点一下，谢谢！ |
r**a
发帖数: 536 | 2 一个不太成熟的想法：注意到你要证明的那个公式左右两边的主要区别是左边有个1_{\
tau \leq T}右边没有这个。自然的想法是把左边的joint pdf写出来，然后积掉1_{\
tau \leq T}对应的那个变量。我没算，但是感觉应该work。 |
M****i
发帖数: 58 | 3 谢谢你的想法，算联合分布是通用的方法，应该是可行的。
但是书上说其实这个问题根本不需要很多计算，只是对每一个时刻t考虑那个停时T_H （因为在T_H时刻股价等于H）然后用强马尔科夫性质以及我最后在PS里给出的那个算期望的公式就行了。我就是这一点想不通，不知道该怎么做？？？？？ |
r**a
发帖数: 536 | 4 你考虑一下下面的证明。这里考虑最简单情况 t=0.
\begin{align}
&E[e^{-rT}f^H(S_T)1_{\tau\leq T}|\mathcal F_0]\\
=&E[e^{-rT}E[f^H(S_T)1_{\tau\leq T}|\mathcal F_\tau]|\mathcal F_0]\\
=&E[e^{-rT}E[f^H(S_T)|\mathcal F_\tau]|\mathcal F_0]
\end{align}
According to strong Markov property, we have
$$
E[f^H(S_T)|\mathcal F_\tau]=E[f^H(S(\tau+(T-\tau))|\mathcal F_\tau]
=E[f^H(\tilde{S}(t)],
$$
where $\tilde{S}(t)=S(\tau+(T-\tau))$ and $\tilde{S}(0)=S(\tau)=H$. Then use
the formula in your P.S., we may get the equation you want. |
g******r
发帖数: 29 | 5 这是老太太书里的英文翻译吗?
【在 M****i 的大作中提到】
: 问题写在附件里，想了很久也没想通，麻烦各位大牛给指点一下，谢谢！
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M****i
发帖数: 58 | 6 我想了一下你的证明，看附件
【在 r**a 的大作中提到】
: 你考虑一下下面的证明。这里考虑最简单情况 t=0.
: \begin{align}
: &E[e^{-rT}f^H(S_T)1_{\tau\leq T}|\mathcal F_0]\\
: =&E[e^{-rT}E[f^H(S_T)1_{\tau\leq T}|\mathcal F_\tau]|\mathcal F_0]\\
: =&E[e^{-rT}E[f^H(S_T)|\mathcal F_\tau]|\mathcal F_0]
: \end{align}
: According to strong Markov property, we have
: $$
: E[f^H(S_T)|\mathcal F_\tau]=E[f^H(S(\tau+(T-\tau))|\mathcal F_\tau]
: =E[f^H(\tilde{S}(t)],
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M****i
发帖数: 58 | 7 是的呀，书上给了一个不是很数学的证明，我想按照书上的思路从数学角度来算一下，
但是就是算不出来，你给讲讲呗，谢谢啦！
【在 g******r 的大作中提到】
: 这是老太太书里的英文翻译吗?
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g******r
发帖数: 29 | 8 想法就是
对于这个 UpIn 的 barrier option
replication的方法就是当 S=H 的时候 买payoff 为 f^H(S_T) 的option
然后由最后那个公式
St=H 的时候 买payoff 为 f^H(S_T) 的option
等价于 St=H 的时候 买 payoff 为 (S_T / H )^r * f^H( H^2 / S_T ) 的 option
又注意到 要让 f^H( H^2 / S_T ) != 0 等价于 S_T > H (类似reflecting principle
, 其实就是把 option in the money 的 path 翻折上去了)
所以 St=H 的时候 买 payoff 为 (S_T / H )^r * f^H( H^2 / S_T ) 的 option
等价于一开始就买 payoff 为 (S_T / H )^r * f^H( H^2 / S_T ) 的 option
因为这个option end in the money的话 St一定会碰到barrier的.
【在 g******r 的大作中提到】
: 这是老太太书里的英文翻译吗?
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r**a
发帖数: 536 | 9
Sorry, I was wrong. Consider the following proof:
First, lets split the whole thing into two cases: 1. S(t) never hits H for 0
want to proof holds trivialy. Both sides are equal to zero. The advantage of
this splitting is you can get rid of the function $1_{\tau < T}$ in the
payoff function.
Now lets consider the 2nd case. Suppose $S(\tau)=H$.Suppose $t=\tau$, i.e.
consider the price at time $\tau$. The payoff function of up-in option at
time T is $f^H(S_T)$. You can proof that if the spot stock price $S(\tau)$
is equal to H, then $E[f^H(S_T)|\mathcal F_\tau]=E[(S_T/H)^2f^H(H^2/S_T)|\
mathcal F_\tau]$.
Thus you have shown that $P_1(\tau, S(\tau))=P_2(\tau, S(\tau))$. Next you
just need to discount this back to time t, i.e. e^{-r{\tau-t)}E[P_1(\tau, S(
\tau)]|\mathcal F_t]$. Here I assume that $t<\tau$.
Furthermore, in your P.S., the equality is not accurate. E[f^H(S_T)]=E[(S_T/
H)^2f^H(H^2/S_T)]$ has a condition that $S_0=H$. You may check paper "
Hedging complex barrier options" by Carr and Chou.
【在 M****i 的大作中提到】
: 我想了一下你的证明，看附件
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M****i
发帖数: 58 | 10 谢谢你的解释，从对冲的角度来看这个问题很直观！
principle
【在 g******r 的大作中提到】
: 想法就是
: 对于这个 UpIn 的 barrier option
: replication的方法就是当 S=H 的时候 买payoff 为 f^H(S_T) 的option
: 然后由最后那个公式
: St=H 的时候 买payoff 为 f^H(S_T) 的option
: 等价于 St=H 的时候 买 payoff 为 (S_T / H )^r * f^H( H^2 / S_T ) 的 option
: 又注意到 要让 f^H( H^2 / S_T ) != 0 等价于 S_T > H (类似reflecting principle
: , 其实就是把 option in the money 的 path 翻折上去了)
: 所以 St=H 的时候 买 payoff 为 (S_T / H )^r * f^H( H^2 / S_T ) 的 option
: 等价于一开始就买 payoff 为 (S_T / H )^r * f^H( H^2 / S_T ) 的 option
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M****i
发帖数: 58 | 11 Thank you for all your help on this question, I am really appreciate it. I
think I had made a mistake in understanding the author's conclusion. In fact
, it is easy to show that the equality is true on the event $\tau>t$ by
considering $T_H$ and using strong Markov property. Moreover, on the event $
\tau\leq t$, it is not necessay to prove it because the barrier is already
attained, so that the option is nothing but a standard European one. By the
way, the last formula in PS of my post is true, the condition $S_0=H$ is not
necessary, you can check it directly.
0
you
of
【在 r**a 的大作中提到】
:
: Sorry, I was wrong. Consider the following proof:
: First, lets split the whole thing into two cases: 1. S(t) never hits H for 0
: : want to proof holds trivialy. Both sides are equal to zero. The advantage of
: this splitting is you can get rid of the function $1_{\tau < T}$ in the
: payoff function.
: Now lets consider the 2nd case. Suppose $S(\tau)=H$.Suppose $t=\tau$, i.e.
: consider the price at time $\tau$. The payoff function of up-in option at
: time T is $f^H(S_T)$. You can proof that if the spot stock price $S(\tau)$
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r**a
发帖数: 536 | 12
fact
$
the
not
Oh, yes, you're right. I misunderstood your formula. I did not notice you
set up a condition on the initial spot price already.
【在 M****i 的大作中提到】
: Thank you for all your help on this question, I am really appreciate it. I
: think I had made a mistake in understanding the author's conclusion. In fact
: , it is easy to show that the equality is true on the event $\tau>t$ by
: considering $T_H$ and using strong Markov property. Moreover, on the event $
: \tau\leq t$, it is not necessay to prove it because the barrier is already
: attained, so that the option is nothing but a standard European one. By the
: way, the last formula in PS of my post is true, the condition $S_0=H$ is not
: necessary, you can check it directly.
:
: 0
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g******r
发帖数: 29 | 13 这个是老太太的解释 哈哈
【在 M****i 的大作中提到】
: 谢谢你的解释，从对冲的角度来看这个问题很直观！
:
: principle
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M****i
发帖数: 58 | 14 哈哈，地球人都知道。。。
原本就是想把老太太的解释数学化，但是之前没成功，现在仔细一看才发现结论是在
barrier还没达到时给出的，晕死。。。所以现在给个数学证明就没有问题了。
【在 g******r 的大作中提到】
: 这个是老太太的解释 哈哈
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r******6
发帖数: 808 | |
r******6
发帖数: 808 | 16 请问ＰＳ里最后那个公式是怎么证明的呢？
【在 M****i 的大作中提到】
: 哈哈，地球人都知道。。。
: 原本就是想把老太太的解释数学化，但是之前没成功，现在仔细一看才发现结论是在
: barrier还没达到时给出的，晕死。。。所以现在给个数学证明就没有问题了。
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r**a
发帖数: 536 | 17 check paper "Hedging complex barrier options" by Carr and Chou.
【在 r******6 的大作中提到】
: 请问ＰＳ里最后那个公式是怎么证明的呢？
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k*****y
发帖数: 744 | 18 I guess you can use the substitution of W by Y:
(mu - sigma^2/2) * (T-t) + sigma * (T-t) * W
= -(mu - sigma^2/2) * (T-t) - sigma * (T-t) * Y
【在 r******6 的大作中提到】
: 请问ＰＳ里最后那个公式是怎么证明的呢？
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g******r
发帖数: 29 | 19
觉得是用 Girsanov 定理
若 Z_t 是一个 P 上面的 exponential martingale
考虑 dQ / dP = Z_t
而且有 Z_t in P ~ 1/Z_t in Q
E_p[ f ( Z_t ) ] = E_q[ f(Z_t) * 1/Z_t ] = E_p[ Z_t f( 1/Z_t )]
【在 r******6 的大作中提到】
: 请问ＰＳ里最后那个公式是怎么证明的呢？
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