J*****n
发帖数: 4859 | 1 今天看two sample test，里面有个概率的东西，很久没有做BT了，就当面实题出给大
家吧。
有1，2，。。。,n。从里面取m个数（不放回），取和，设为P,
那么E(P)和Var(P)的公式是什么。 |
s********r
发帖数: 529 | 2 E(P)应该比较简单,Var(P)让我想一下
【在 J*****n 的大作中提到】
: 今天看two sample test，里面有个概率的东西，很久没有做BT了，就当面实题出给大
: 家吧。
: 有1，2，。。。,n。从里面取m个数（不放回），取和，设为P,
: 那么E(P)和Var(P)的公式是什么。
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C***m
发帖数: 120 | 3 0=Var(X1+X2+...+Xn)
=Var(X1)+Var(X2)+...+Var(Xn)+\sum Cov(Xi,Xj)
=n*Var+n(n-1)Cov
with,
E=1/n*(1+2+...n)
Var=1/n*(1^2+2^2+3^2+...n^2)-E^2=(n^2-1)/12
=>
Cov=-(n+1)/12
so,
Var(X1+X2+...Xm)=m*Var+m(m-1)*Cov=m(n^2-1)/12-(n+1)m*(m-1)/12
=m(n+1)(n-m)/12
is it correct? |
G******r
发帖数: 76 | 4 E[P] = m(n+1)/2 ？
【在 s********r 的大作中提到】
: E(P)应该比较简单,Var(P)让我想一下
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S*********g
发帖数: 5298 | 5 是，这个是对的
我是用递推公式算的
E_m(P)= [n(n+1)/2 + (n-m)*E_{m-1}(P)]/(n-m+1)
E(P^2)应该也可以用这样的递推公式算
【在 G******r 的大作中提到】
: E[P] = m(n+1)/2 ？
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G******r
发帖数: 76 | 6 大牛是下面这个思路吗？
\sum i I_{i be picked up}
【在 S*********g 的大作中提到】
: 是，这个是对的
: 我是用递推公式算的
: E_m(P)= [n(n+1)/2 + (n-m)*E_{m-1}(P)]/(n-m+1)
: E(P^2)应该也可以用这样的递推公式算
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S*********g
发帖数: 5298 | 7 我是这么算的。
如果取了m-1个之后总和是x的话，取m个数的总和的期望值是
x + (n(n+1)/2 - x)/(n-m+1)
所以得到一个递推公式，试一下取1,2,3个数的情况就发现应该是m(n+1)/2
【在 G******r 的大作中提到】
: 大牛是下面这个思路吗？
: \sum i I_{i be picked up}
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G******r
发帖数: 76 | 8 刚回帖太快了，没看到你下面的递推。我仔细想想
【在 S*********g 的大作中提到】
: 是，这个是对的
: 我是用递推公式算的
: E_m(P)= [n(n+1)/2 + (n-m)*E_{m-1}(P)]/(n-m+1)
: E(P^2)应该也可以用这样的递推公式算
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G******r
发帖数: 76 | 9 恩，明白了。
【在 S*********g 的大作中提到】
: 我是这么算的。
: 如果取了m-1个之后总和是x的话，取m个数的总和的期望值是
: x + (n(n+1)/2 - x)/(n-m+1)
: 所以得到一个递推公式，试一下取1,2,3个数的情况就发现应该是m(n+1)/2
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P****d
发帖数: 369 | 10 赞！
【在 C***m 的大作中提到】
: 0=Var(X1+X2+...+Xn)
: =Var(X1)+Var(X2)+...+Var(Xn)+\sum Cov(Xi,Xj)
: =n*Var+n(n-1)Cov
: with,
: E=1/n*(1+2+...n)
: Var=1/n*(1^2+2^2+3^2+...n^2)-E^2=(n^2-1)/12
: =>
: Cov=-(n+1)/12
: so,
: Var(X1+X2+...Xm)=m*Var+m(m-1)*Cov=m(n^2-1)/12-(n+1)m*(m-1)/12
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c**********e
发帖数: 2007 | 11 Yes, Var = m(n+1)(n-m)/12. This is correct.
【在 C***m 的大作中提到】
: 0=Var(X1+X2+...+Xn)
: =Var(X1)+Var(X2)+...+Var(Xn)+\sum Cov(Xi,Xj)
: =n*Var+n(n-1)Cov
: with,
: E=1/n*(1+2+...n)
: Var=1/n*(1^2+2^2+3^2+...n^2)-E^2=(n^2-1)/12
: =>
: Cov=-(n+1)/12
: so,
: Var(X1+X2+...Xm)=m*Var+m(m-1)*Cov=m(n^2-1)/12-(n+1)m*(m-1)/12
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a****y
发帖数: 99 | 12 how to get the recursive relation for E(P^2) ? Thanks.
define Q_m \equiv P_m^2.
EQ_m= E \sum_{i / x1,..x_{m-1}} (i + P_{m-1} ) ^2 /(n-m+1)
= EQ_{m-1} + \frac{2}{n-m+1} \left( \sum_i EP_{m-1} - EQ_{m-1} \right) +
1/(n-m+1) \sum_{i / x1,..x_{m-1}} i^2
I got stuck in the last term. don't know how to express it in term of P_{m-1
} or Q_{m-1}
【在 S*********g 的大作中提到】
: 是，这个是对的
: 我是用递推公式算的
: E_m(P)= [n(n+1)/2 + (n-m)*E_{m-1}(P)]/(n-m+1)
: E(P^2)应该也可以用这样的递推公式算
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G******r
发帖数: 76 | 13 \sum_{i / x1,..x_{m-1}} i^2 应该等于 n(n+1)(2n+1)/6 * (n-m+1)/n ?
我按照 P = \sum i 1_{i be picked up} 算的，和前面Caxim几位大牛算的是一样的。
+
-1
【在 a****y 的大作中提到】
: how to get the recursive relation for E(P^2) ? Thanks.
: define Q_m \equiv P_m^2.
: EQ_m= E \sum_{i / x1,..x_{m-1}} (i + P_{m-1} ) ^2 /(n-m+1)
: = EQ_{m-1} + \frac{2}{n-m+1} \left( \sum_i EP_{m-1} - EQ_{m-1} \right) +
: 1/(n-m+1) \sum_{i / x1,..x_{m-1}} i^2
: I got stuck in the last term. don't know how to express it in term of P_{m-1
: } or Q_{m-1}
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a****y
发帖数: 99 | 14 get it.
thanks.
【在 G******r 的大作中提到】
: \sum_{i / x1,..x_{m-1}} i^2 应该等于 n(n+1)(2n+1)/6 * (n-m+1)/n ?
: 我按照 P = \sum i 1_{i be picked up} 算的，和前面Caxim几位大牛算的是一样的。
:
: +
: -1
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l*******z
发帖数: 108 | 15 觉得这样解不对啊。是没有放回的取，那么Var(X1)!=Var(X2)!=...!=Var(Xn)
这样解是认识每取一个的E 和Var都是一样的，没有放回的取，是不一样的吧。
但答案似乎是正确的。
我觉得还是应该用递归来，E(P) 用SuperString的方法，
Var(P)= E(P)^2- E(P^2)
E(P^2)还是用递归，就想于是sample变成了{1^2,2^2….n^2}，思路还是和SuperString
一样，但答案我没有验证，有点复杂，不知道对不对。
如果答案是对的，我们就可以得出一个有趣结果，有放回和没有放回的 sample 的 E和
Var是一样的！下面谁来完成这个验证工作啊？
【在 S*********g 的大作中提到】
: 我是这么算的。
: 如果取了m-1个之后总和是x的话，取m个数的总和的期望值是
: x + (n(n+1)/2 - x)/(n-m+1)
: 所以得到一个递推公式，试一下取1,2,3个数的情况就发现应该是m(n+1)/2
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n****e
发帖数: 629 | 16 Caxim's solution is very neat and I think you didn't get it.
BTW obviously the without replacement condition matters. consider n=m.
SuperString
【在 l*******z 的大作中提到】
: 觉得这样解不对啊。是没有放回的取，那么Var(X1)!=Var(X2)!=...!=Var(Xn)
: 这样解是认识每取一个的E 和Var都是一样的，没有放回的取，是不一样的吧。
: 但答案似乎是正确的。
: 我觉得还是应该用递归来，E(P) 用SuperString的方法，
: Var(P)= E(P)^2- E(P^2)
: E(P^2)还是用递归，就想于是sample变成了{1^2,2^2….n^2}，思路还是和SuperString
: 一样，但答案我没有验证，有点复杂，不知道对不对。
: 如果答案是对的，我们就可以得出一个有趣结果，有放回和没有放回的 sample 的 E和
: Var是一样的！下面谁来完成这个验证工作啊？
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o**o
发帖数: 3964 | 17 You guys make it too complicated. Both E(p) and E(p^2) can be drived by
symmetry.
【在 J*****n 的大作中提到】
: 今天看two sample test，里面有个概率的东西，很久没有做BT了，就当面实题出给大
: 家吧。
: 有1，2，。。。,n。从里面取m个数（不放回），取和，设为P,
: 那么E(P)和Var(P)的公式是什么。
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l*****y
发帖数: 56 | 18 E(P)可以用数数的方法做。
每次取m个数，总共有(n choose m)种取法，每种概率一样，都是1/(n choose m), 只
要算出所要的和，再乘以这个概率就可以。
要求所有的和，可以考虑每个数在这个求和中都出现了（n-1 choose m-1)次，所以
E(P)=(n-1 choose m-1)*(1+n)*n/(2*(n choose m))= m*(1+n)/2 .
算Var(P), 只要求出E(P^2), 同样的思路可以算，考虑每个(x1+x2+...xn)^2中有多少
个xi^2 和 xi*xj (i
E(P^2)= m/n*[(n+1)(2n^2+1)/6]+ n^2*(n-1)^2*(n+1)*(3n+2)/(n choose m). |
o**o
发帖数: 3964 | 19 ....back from dinner. If you believe each of the n numbers is equally
likely to be picked, then E(p) is simply m/n*\Sum k, and E(p^2) is m/n*\Sum
k^2, where k = 1,...,n.
【在 o**o 的大作中提到】
: You guys make it too complicated. Both E(p) and E(p^2) can be drived by
: symmetry.
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l*****y
发帖数: 56 | 20 I think P^2 is the square of the sum, not the sum of squares
Sum
【在 o**o 的大作中提到】
: ....back from dinner. If you believe each of the n numbers is equally
: likely to be picked, then E(p) is simply m/n*\Sum k, and E(p^2) is m/n*\Sum
: k^2, where k = 1,...,n.
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S*********g
发帖数: 5298 | 21 E(P^2) 里的P^2是总和之后的平方，不是平方之后的和
SuperString
【在 l*******z 的大作中提到】
: 觉得这样解不对啊。是没有放回的取，那么Var(X1)!=Var(X2)!=...!=Var(Xn)
: 这样解是认识每取一个的E 和Var都是一样的，没有放回的取，是不一样的吧。
: 但答案似乎是正确的。
: 我觉得还是应该用递归来，E(P) 用SuperString的方法，
: Var(P)= E(P)^2- E(P^2)
: E(P^2)还是用递归，就想于是sample变成了{1^2,2^2….n^2}，思路还是和SuperString
: 一样，但答案我没有验证，有点复杂，不知道对不对。
: 如果答案是对的，我们就可以得出一个有趣结果，有放回和没有放回的 sample 的 E和
: Var是一样的！下面谁来完成这个验证工作啊？
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a****t
发帖数: 720 | 22 totally you have (n choose m) way to pick up m numbers, each way has same
probability, and notice each number i from 1 to n in this (n choose m) ways
appears m times, so expectation is
(1+n)*n*m/(n choose m)=m(n+1)/2
var can be calculated in same way.
【在 J*****n 的大作中提到】
: 今天看two sample test，里面有个概率的东西，很久没有做BT了，就当面实题出给大
: 家吧。
: 有1，2，。。。,n。从里面取m个数（不放回），取和，设为P,
: 那么E(P)和Var(P)的公式是什么。
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y****n
发帖数: 60 | 23 可不可以看成做很多次实验，一次取m个数，和的最小值是m*(m+1)/2, 最大值是 m*(
2n-m+1)/2, 这个应该是这两个数之间的 discrete uniform distribution. 和跟前面
的大牛算出来都一样，可是方差不一样 m*(n-m)*(m*(n-m)+2)/12 ? 那个大牛看一下我
哪里想错了。谢谢
【在 S*********g 的大作中提到】
: E(P^2) 里的P^2是总和之后的平方，不是平方之后的和
:
: SuperString
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k*****y
发帖数: 744 | 24 这个貌似不是uniform，想想掷两个色子的和的分布？不过还是关于median对称的。
【在 y****n 的大作中提到】
: 可不可以看成做很多次实验，一次取m个数，和的最小值是m*(m+1)/2, 最大值是 m*(
: 2n-m+1)/2, 这个应该是这两个数之间的 discrete uniform distribution. 和跟前面
: 的大牛算出来都一样，可是方差不一样 m*(n-m)*(m*(n-m)+2)/12 ? 那个大牛看一下我
: 哪里想错了。谢谢
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M*******r
发帖数: 165 | 25 I got same result, ppl may need this:
http://pirate.shu.edu/~wachsmut/ira/infinity/answers/sm_sq_cb.h
【在 C***m 的大作中提到】
: 0=Var(X1+X2+...+Xn)
: =Var(X1)+Var(X2)+...+Var(Xn)+\sum Cov(Xi,Xj)
: =n*Var+n(n-1)Cov
: with,
: E=1/n*(1+2+...n)
: Var=1/n*(1^2+2^2+3^2+...n^2)-E^2=(n^2-1)/12
: =>
: Cov=-(n+1)/12
: so,
: Var(X1+X2+...Xm)=m*Var+m(m-1)*Cov=m(n^2-1)/12-(n+1)m*(m-1)/12
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