k*********r
发帖数: 11 | 1 一个fair coin，你可以掷任意多次，一旦你停下来，那你的payoff就是前面投掷中
head的比例。请问这个game的fair price是多少？
（请大牛给出解题思路）
谢谢！ |
l*****y
发帖数: 56 | 2 假设投了n次，那么 expected payoff
E_n= \sum k=0 ^ n k/n(n choose k)(1/2)^n = (1/2)^n \sum_k=1^n (n-1 choose k-
1) = 1/2.
所以結果和投的次数无关，payoff都是１/２, 所以ｆａｉｒ ｐｒｉｃｅ 应该也是
１/２.
一点愚见，请指教。 |
k*********r
发帖数: 11 | 3 我觉得结果应该大于1/2.
设想你掷一次，那么是head的话你就应该终止游戏（payoff 为最大值1），是tail你就
继续掷，所以expected payoff=0.5*1+0.5*X>0.5.
我的想法是既然可以无限次的掷，那么理论上总是可以掷到head的比例无限接近于1,
所以gamne price应该是1。
不过觉得好像太简单了点。
k-
【在 l*****y 的大作中提到】
: 假设投了n次，那么 expected payoff
: E_n= \sum k=0 ^ n k/n(n choose k)(1/2)^n = (1/2)^n \sum_k=1^n (n-1 choose k-
: 1) = 1/2.
: 所以結果和投的次数无关，payoff都是１/２, 所以ｆａｉｒ ｐｒｉｃｅ 应该也是
: １/２.
: 一点愚见，请指教。
|
p********6
发帖数: 1802 | 4 假设投出了k个head停下来，那么k应该满足
k/N>E(pay off |k)=(k+1/2)/N
所以k>N/2的时候应该停下下来。
【在 k*********r 的大作中提到】
: 一个fair coin，你可以掷任意多次，一旦你停下来，那你的payoff就是前面投掷中
: head的比例。请问这个game的fair price是多少？
: （请大牛给出解题思路）
: 谢谢！
|
l*****y
发帖数: 56 | 5 我是这样理解的
E(total payoff)=\sum_k=1^\infty E(total payoff| rolls=k)Pr(rolls=k)
然后前面算过conditional payoff 总是1/2, 那么最后的payoff应该也是1/2.
【在 k*********r 的大作中提到】
: 我觉得结果应该大于1/2.
: 设想你掷一次，那么是head的话你就应该终止游戏（payoff 为最大值1），是tail你就
: 继续掷，所以expected payoff=0.5*1+0.5*X>0.5.
: 我的想法是既然可以无限次的掷，那么理论上总是可以掷到head的比例无限接近于1,
: 所以gamne price应该是1。
: 不过觉得好像太简单了点。
:
: k-
|
C***m
发帖数: 120 | 6 先按照你这里的说法，就是假设这个game price是在最开始支付一次的，然后期望得到
payoff。
因为symmetric random walk是recurrent的，所以从0点(或者任意点)出发总能回到0点
，也就是说这个比例至少可以到1/2
expected payoffz至少是0.5*1+0.5*1/2=0.75
另外一方面，考虑任何一条直线y=mx, m>0.我的感觉是random walk不一定总能碰到这
条直线。考虑一个brownian motion W_t,从-1开始出发，计算 W_t-mt碰到0的概率。这
个概率绿皮书上算过，不是1，而是p=e^(-2m).所以理论上prob=1掷到head的比例最多
就是1/2
【在 k*********r 的大作中提到】
: 我觉得结果应该大于1/2.
: 设想你掷一次，那么是head的话你就应该终止游戏（payoff 为最大值1），是tail你就
: 继续掷，所以expected payoff=0.5*1+0.5*X>0.5.
: 我的想法是既然可以无限次的掷，那么理论上总是可以掷到head的比例无限接近于1,
: 所以gamne price应该是1。
: 不过觉得好像太简单了点。
:
: k-
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m*****y
发帖数: 8 | |
o**o
发帖数: 3964 | 8 Why touch 0 then stop? I think if you control the stop time, the payoff can
be infinitely close to 1.
★ 发自iPhone App: ChineseWeb - 中文网站浏览器
【在 C***m 的大作中提到】
: 先按照你这里的说法，就是假设这个game price是在最开始支付一次的，然后期望得到
: payoff。
: 因为symmetric random walk是recurrent的，所以从0点(或者任意点)出发总能回到0点
: ，也就是说这个比例至少可以到1/2
: expected payoffz至少是0.5*1+0.5*1/2=0.75
: 另外一方面，考虑任何一条直线y=mx, m>0.我的感觉是random walk不一定总能碰到这
: 条直线。考虑一个brownian motion W_t,从-1开始出发，计算 W_t-mt碰到0的概率。这
: 个概率绿皮书上算过，不是1，而是p=e^(-2m).所以理论上prob=1掷到head的比例最多
: 就是1/2
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a****h
发帖数: 126 | 9 答案是 0.75 吗？
【在 k*********r 的大作中提到】
: 一个fair coin，你可以掷任意多次，一旦你停下来，那你的payoff就是前面投掷中
: head的比例。请问这个game的fair price是多少？
: （请大牛给出解题思路）
: 谢谢！
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k*********r
发帖数: 11 | 10 我也不知道，当时没答上来，呵呵。
【在 a****h 的大作中提到】
: 答案是 0.75 吗？
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b******9
发帖数: 47 | 11 When there is H, you will stop.
Therefore it is Price = sum 1/2^i *(1/i)
where i starts from 1 to inifity.
Result is 0.693147. |
l*****y
发帖数: 56 | 12 还是用动太规划来做合理些，我的想法太简单了，谢谢
【在 m*****y 的大作中提到】
: 应该没有显式解。
: 数值解为 0.79295350640770
: 参考 http://zhiqiang.org/blog/science/when-to-stop.html
|
P*****s
发帖数: 758 | 13 不懂这个题，但是有点像perpetual American option |
y****8
发帖数: 11 | 14 Assuming that you have thrown N times, and there are K heads in the first N
throws. So the payoff is P(N,K) = K/N
you only stop when the expectation of next roll is smaller than the current
one.
In other words, E[payoff] = 0.5 * (K+1)/(N+1) + 0.5 * K/(N+1) = 1/2
so the payoff of this is always 1/2 |
P****d
发帖数: 369 | |
m***I
发帖数: 467 | 16 Interesting... 如果做一阶近似，当k/(n+k)>=1/2*(k/(n+k+1)+(k+1)/(n+k+1))时
stop, stop rule就是简单的在第一次heads=tails+1的时候停止，这种假设下可以算出
price=(5+sqrt(2)*ln(1+sqrt(2)))/8=0.7808... not bad...
【在 m*****y 的大作中提到】
: 应该没有显式解。
: 数值解为 0.79295350640770
: 参考 http://zhiqiang.org/blog/science/when-to-stop.html
|
K**r
发帖数: 2193 | 17 如果认定了head比tail多一次的话，那么必须要掷1,3,5,7..次才能退出，而对应的
payoff是1， 2/3 ， 3/5.....
with probability 1/2, 1/8 , 1/32.....
最后数值解的期望值是0.608 |
K**r
发帖数: 2193 | 18 奇怪， 我用Ｒ模拟一千次的话，ｐａｙｏｆｆ平均数的确是0.79
如果计算平均投掷次数的话是....无法给出确切解
不过下面的程序加了boundary condition。 最多投掷10000次
payoff=function(a){
n=length(a)
for (i in 1:n){
k=n
if(sum(a[1:i])>(i/2)){k=i #如果H的次数大于投掷次数一半的话退出
break}else{}
}
ans=c(sum(a[1:k])/k,k) #计算payoff, quit的次数
ans
}
times=1000 #1000次game模拟
b=rep(0,times)
quit=rep(0,times)
for (j in 1:times){
a=sample(0:1,size=10000,replace=TRUE) #10000次随机0,1序列
payoff(a)[1]->b[j]
payoff(a)[2]->quit[j]
}
ave(b)[1] #1000次平均payoff
ave(quit)[1] |
q*l
发帖数: 26 | |
k*********r
发帖数: 11 | 20 一个fair coin，你可以掷任意多次，一旦你停下来，那你的payoff就是前面投掷中
head的比例。请问这个game的fair price是多少？
（请大牛给出解题思路）
谢谢！ |
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l*****y
发帖数: 56 | 21 假设投了n次，那么 expected payoff
E_n= \sum k=0 ^ n k/n(n choose k)(1/2)^n = (1/2)^n \sum_k=1^n (n-1 choose k-
1) = 1/2.
所以結果和投的次数无关，payoff都是１/２, 所以ｆａｉｒ ｐｒｉｃｅ 应该也是
１/２.
一点愚见，请指教。 |
k*********r
发帖数: 11 | 22 我觉得结果应该大于1/2.
设想你掷一次，那么是head的话你就应该终止游戏（payoff 为最大值1），是tail你就
继续掷，所以expected payoff=0.5*1+0.5*X>0.5.
我的想法是既然可以无限次的掷，那么理论上总是可以掷到head的比例无限接近于1,
所以gamne price应该是1。
不过觉得好像太简单了点。
k-
【在 l*****y 的大作中提到】
: 假设投了n次，那么 expected payoff
: E_n= \sum k=0 ^ n k/n(n choose k)(1/2)^n = (1/2)^n \sum_k=1^n (n-1 choose k-
: 1) = 1/2.
: 所以結果和投的次数无关，payoff都是１/２, 所以ｆａｉｒ ｐｒｉｃｅ 应该也是
: １/２.
: 一点愚见，请指教。
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p********6
发帖数: 1802 | 23 假设投出了k个head停下来，那么k应该满足
k/N>E(pay off |k)=(k+1/2)/N
所以k>N/2的时候应该停下下来。
【在 k*********r 的大作中提到】
: 一个fair coin，你可以掷任意多次，一旦你停下来，那你的payoff就是前面投掷中
: head的比例。请问这个game的fair price是多少？
: （请大牛给出解题思路）
: 谢谢！
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l*****y
发帖数: 56 | 24 我是这样理解的
E(total payoff)=\sum_k=1^\infty E(total payoff| rolls=k)Pr(rolls=k)
然后前面算过conditional payoff 总是1/2, 那么最后的payoff应该也是1/2.
【在 k*********r 的大作中提到】
: 我觉得结果应该大于1/2.
: 设想你掷一次，那么是head的话你就应该终止游戏（payoff 为最大值1），是tail你就
: 继续掷，所以expected payoff=0.5*1+0.5*X>0.5.
: 我的想法是既然可以无限次的掷，那么理论上总是可以掷到head的比例无限接近于1,
: 所以gamne price应该是1。
: 不过觉得好像太简单了点。
:
: k-
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C***m
发帖数: 120 | 25 先按照你这里的说法，就是假设这个game price是在最开始支付一次的，然后期望得到
payoff。
因为symmetric random walk是recurrent的，所以从0点(或者任意点)出发总能回到0点
，也就是说这个比例至少可以到1/2
expected payoffz至少是0.5*1+0.5*1/2=0.75
另外一方面，考虑任何一条直线y=mx, m>0.我的感觉是random walk不一定总能碰到这
条直线。考虑一个brownian motion W_t,从-1开始出发，计算 W_t-mt碰到0的概率。这
个概率绿皮书上算过，不是1，而是p=e^(-2m).所以理论上prob=1掷到head的比例最多
就是1/2
【在 k*********r 的大作中提到】
: 我觉得结果应该大于1/2.
: 设想你掷一次，那么是head的话你就应该终止游戏（payoff 为最大值1），是tail你就
: 继续掷，所以expected payoff=0.5*1+0.5*X>0.5.
: 我的想法是既然可以无限次的掷，那么理论上总是可以掷到head的比例无限接近于1,
: 所以gamne price应该是1。
: 不过觉得好像太简单了点。
:
: k-
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m*****y
发帖数: 8 | |
o**o
发帖数: 3964 | 27 Why touch 0 then stop? I think if you control the stop time, the payoff can
be infinitely close to 1.
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【在 C***m 的大作中提到】
: 先按照你这里的说法，就是假设这个game price是在最开始支付一次的，然后期望得到
: payoff。
: 因为symmetric random walk是recurrent的，所以从0点(或者任意点)出发总能回到0点
: ，也就是说这个比例至少可以到1/2
: expected payoffz至少是0.5*1+0.5*1/2=0.75
: 另外一方面，考虑任何一条直线y=mx, m>0.我的感觉是random walk不一定总能碰到这
: 条直线。考虑一个brownian motion W_t,从-1开始出发，计算 W_t-mt碰到0的概率。这
: 个概率绿皮书上算过，不是1，而是p=e^(-2m).所以理论上prob=1掷到head的比例最多
: 就是1/2
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a****h
发帖数: 126 | 28 答案是 0.75 吗？
【在 k*********r 的大作中提到】
: 一个fair coin，你可以掷任意多次，一旦你停下来，那你的payoff就是前面投掷中
: head的比例。请问这个game的fair price是多少？
: （请大牛给出解题思路）
: 谢谢！
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k*********r
发帖数: 11 | 29 我也不知道，当时没答上来，呵呵。
【在 a****h 的大作中提到】
: 答案是 0.75 吗？
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b******9
发帖数: 47 | 30 When there is H, you will stop.
Therefore it is Price = sum 1/2^i *(1/i)
where i starts from 1 to inifity.
Result is 0.693147. |
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l*****y
发帖数: 56 | 31 还是用动太规划来做合理些，我的想法太简单了，谢谢
【在 m*****y 的大作中提到】
: 应该没有显式解。
: 数值解为 0.79295350640770
: 参考 http://zhiqiang.org/blog/science/when-to-stop.html
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P*****s
发帖数: 758 | 32 不懂这个题，但是有点像perpetual American option |
y****8
发帖数: 11 | 33 Assuming that you have thrown N times, and there are K heads in the first N
throws. So the payoff is P(N,K) = K/N
you only stop when the expectation of next roll is smaller than the current
one.
In other words, E[payoff] = 0.5 * (K+1)/(N+1) + 0.5 * K/(N+1) = 1/2
so the payoff of this is always 1/2 |
P****d
发帖数: 369 | |
m***I
发帖数: 467 | 35 Interesting... 如果做一阶近似，当k/(n+k)>=1/2*(k/(n+k+1)+(k+1)/(n+k+1))时
stop, stop rule就是简单的在第一次heads=tails+1的时候停止，这种假设下可以算出
price=(5+sqrt(2)*ln(1+sqrt(2)))/8=0.7808... not bad...
【在 m*****y 的大作中提到】
: 应该没有显式解。
: 数值解为 0.79295350640770
: 参考 http://zhiqiang.org/blog/science/when-to-stop.html
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K**r
发帖数: 2193 | 36 奇怪， 我用Ｒ模拟一千次的话，ｐａｙｏｆｆ平均数的确是0.79
如果计算平均投掷次数的话是....无法给出确切解
不过下面的程序加了boundary condition。 最多投掷10000次
payoff=function(a){
n=length(a)
for (i in 1:n){
k=n
if(sum(a[1:i])>(i/2)){k=i #如果H的次数大于投掷次数一半的话退出
break}else{}
}
ans=c(sum(a[1:k])/k,k) #计算payoff, quit的次数
ans
}
times=1000 #1000次game模拟
b=rep(0,times)
quit=rep(0,times)
for (j in 1:times){
a=sample(0:1,size=10000,replace=TRUE) #10000次随机0,1序列
payoff(a)[1]->b[j]
payoff(a)[2]->quit[j]
}
ave(b)[1] #1000次平均payoff
ave(quit)[1] |
q*l
发帖数: 26 | |
