m**********e
发帖数: 220 | 1 从n张不同的牌中随机抽取一张牌，抽到之后再放回，这样一直抽到跟前面的牌有重复
的为止。记随机变量Tn为抽过的次数，那么n趋向于无穷的时候，Tn/sqrt(n)趋向于什
么分布？是依分布函数收敛
是有名字的分布吗？
这是个经典问题吗？
谢谢。。 | c******r
发帖数: 300 | 2 Had a mistake in the first run (did not use Taylor expansion to work out the
details):
P(Tn/sqrt(n) >= c) -> exp(-c^2/2) via Stirling formula and Taylor expansion
【在 m**********e 的大作中提到】
: 从n张不同的牌中随机抽取一张牌，抽到之后再放回，这样一直抽到跟前面的牌有重复
: 的为止。记随机变量Tn为抽过的次数，那么n趋向于无穷的时候，Tn/sqrt(n)趋向于什
: 么分布？是依分布函数收敛
: 是有名字的分布吗？
: 这是个经典问题吗？
: 谢谢。。
| m******4
发帖数: 15 | 3 Let r = Tn/sqrt(n)
then
P(r) -> r*exp(-r^2/2)
and
P(r>=c) -> exp(-r^2/2) | k***n
发帖数: 997 | 4
请问这一步是怎么得到的？
【在 m******4 的大作中提到】
: Let r = Tn/sqrt(n)
: then
: P(r) -> r*exp(-r^2/2)
: and
: P(r>=c) -> exp(-r^2/2)
| m******4
发帖数: 15 | 5 Let k = Tn, then I think P(k) = n!/(n-k)!/n^k * k/n
To study the behavior of P(k) in the limit n --> inf,
the ratio k/n should be finite, otherwise, given any fixed k,
P(k) --> 0 when n --> inf.
Now, n and n-k are very large and we can use Stirling formula.
Here, we study the ratio r=k/sqrt(n), I use Mathematica and find
Limit[Sqrt[n]*P( k->r*sqrt(n) ), n->Infinity] --> exp(-r^2/2)*r
Very interesting, the most probable k is sqrt(n), perphas this
is the reason we choose r=k/sqrt(n).
【在 k***n 的大作中提到】
:
: 请问这一步是怎么得到的？
| m******4
发帖数: 15 | 6 Wow, Taylor expansion, I am too lazy, haha
the
expansion
【在 c******r 的大作中提到】
: Had a mistake in the first run (did not use Taylor expansion to work out the
: details):
: P(Tn/sqrt(n) >= c) -> exp(-c^2/2) via Stirling formula and Taylor expansion
| k***n
发帖数: 997 | 7
P[Rn=r]=P[Tn/sqrt(n)=r]=P[Tn=sqrt(n)r]=P(sqrt(n)r),只要把k换成sqrt(n)r
就行了吧，这里Limit后面第一个Sqrt[n]是怎么出现的？
【在 m******4 的大作中提到】
: Let k = Tn, then I think P(k) = n!/(n-k)!/n^k * k/n
: To study the behavior of P(k) in the limit n --> inf,
: the ratio k/n should be finite, otherwise, given any fixed k,
: P(k) --> 0 when n --> inf.
: Now, n and n-k are very large and we can use Stirling formula.
: Here, we study the ratio r=k/sqrt(n), I use Mathematica and find
: Limit[Sqrt[n]*P( k->r*sqrt(n) ), n->Infinity] --> exp(-r^2/2)*r
: Very interesting, the most probable k is sqrt(n), perphas this
: is the reason we choose r=k/sqrt(n).
| m******4
发帖数: 15 | 8 可以简单的理解为一种归一化的要求吧。事实上，当n趋近无穷的时候，
这个问题从离散的情况变成连续的，此时，单个事件的概率为0，只有
谈论某个区间的概率才有意义。
可以想象一个uniform的分布，P(k) = 1/N, k从1到N。如果离散变量k被rescale成
r=k/N，当N趋于无穷时，r趋于连续。原来对k在1到N上的求和，变成对r在0到1上的
积分，此时r的概率密度为p(r)=1。可以想象成
p(r)=lim(P(r=k/N) * N, N-> inf)=1。
呵呵，当然，这个解释是比较粗俗的 ^_^
)r
【在 k***n 的大作中提到】
:
: P[Rn=r]=P[Tn/sqrt(n)=r]=P[Tn=sqrt(n)r]=P(sqrt(n)r),只要把k换成sqrt(n)r
: 就行了吧，这里Limit后面第一个Sqrt[n]是怎么出现的？
:
| k***n
发帖数: 997 | 9
Thanks for the details. I'm starting to get the point.
【在 m******4 的大作中提到】
: 可以简单的理解为一种归一化的要求吧。事实上，当n趋近无穷的时候，
: 这个问题从离散的情况变成连续的，此时，单个事件的概率为0，只有
: 谈论某个区间的概率才有意义。
: 可以想象一个uniform的分布，P(k) = 1/N, k从1到N。如果离散变量k被rescale成
: r=k/N，当N趋于无穷时，r趋于连续。原来对k在1到N上的求和，变成对r在0到1上的
: 积分，此时r的概率密度为p(r)=1。可以想象成
: p(r)=lim(P(r=k/N) * N, N-> inf)=1。
: 呵呵，当然，这个解释是比较粗俗的 ^_^
:
: )r
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