f*********5
发帖数: 367 | 1 已知X和Y都是N(0,1)分布的随机变量，但不知道他们俩是否独立还是有怎么的相关性，
连是否bivariate normal distribution都不知道，问能否确定
E[X|X+Y=1]？
我自己简单验证当X=Y或者X和Y独立的时候答案是0.5，但是能否证明无论他俩满足什么
相关性答案都是0.5？或者有没有大牛给个答案不是0.5的反例？
百思不得其解，求解惑 |
r**a
发帖数: 536 | 2 X=Y/2
【在 f*********5 的大作中提到】
: 已知X和Y都是N(0,1)分布的随机变量，但不知道他们俩是否独立还是有怎么的相关性，
: 连是否bivariate normal distribution都不知道，问能否确定
: E[X|X+Y=1]？
: 我自己简单验证当X=Y或者X和Y独立的时候答案是0.5，但是能否证明无论他俩满足什么
: 相关性答案都是0.5？或者有没有大牛给个答案不是0.5的反例？
: 百思不得其解，求解惑
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k*****n
发帖数: 117 | 3 If joint pdf f(x,y) doesn't have to be continuous.
E[X|X+Y=1] can be anything.
construct
f'(x,y) =
{ f(x,y) when x+y<>1;
g(x)/D when x+y=1; }
where f(x,y) be pdf of bivariante normal N([0,0]; [1,0; 0,1]), i.e. no
correlation
D = \int_{x+y=1}_f(x,y)dxdy = \int_x_f(x,1-x)dx
then you can define any g(x,y) by yourself as long as
int_x_g(x)dx is finite.
E[X|X+Y=1] = E[g(x)] can be anything
e.g. g(x) = 1 on [2, 3] and 0 otherwise.
【在 f*********5 的大作中提到】
: 已知X和Y都是N(0,1)分布的随机变量，但不知道他们俩是否独立还是有怎么的相关性，
: 连是否bivariate normal distribution都不知道，问能否确定
: E[X|X+Y=1]？
: 我自己简单验证当X=Y或者X和Y独立的时候答案是0.5，但是能否证明无论他俩满足什么
: 相关性答案都是0.5？或者有没有大牛给个答案不是0.5的反例？
: 百思不得其解，求解惑
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B******5
发帖数: 4676 | 4 1 == var(X) != var(Y) == 1
【在 r**a 的大作中提到】
: X=Y/2
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w**********y
发帖数: 1691 | 5 E[X|X+Y] = E[Y|X+Y]
done. |
f*********5
发帖数: 367 | 6 当X和Y是独立的时候是对的，如果他们有其它的关系的话这个也对吗？
【在 w**********y 的大作中提到】
: E[X|X+Y] = E[Y|X+Y]
: done.
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f*********5
发帖数: 367 | 7 谢谢！这个在零测度上动手脚的方法比较深刻！
【在 k*****n 的大作中提到】
: If joint pdf f(x,y) doesn't have to be continuous.
: E[X|X+Y=1] can be anything.
: construct
: f'(x,y) =
: { f(x,y) when x+y<>1;
: g(x)/D when x+y=1; }
: where f(x,y) be pdf of bivariante normal N([0,0]; [1,0; 0,1]), i.e. no
: correlation
: D = \int_{x+y=1}_f(x,y)dxdy = \int_x_f(x,1-x)dx
: then you can define any g(x,y) by yourself as long as
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D********i
发帖数: 103 | 8 不太看得懂kfsimon的构造。但是不管X和Y是否独立，他们的地位应该总是对称的（符
合同样的分布）
you can always rename X as Y and Y as X.
E[X|X+Y=1]=E[Y|Y+X=1]=E[Y|X+Y=1]
1=E[X+Y|X+Y=1]=E[X|X+Y]+E[Y|X+Y]=2E[X|X+Y]
E[A+B]=E[A]+E[B]总是对的，不管A和B是什么关系
【在 f*********5 的大作中提到】
: 当X和Y是独立的时候是对的，如果他们有其它的关系的话这个也对吗？
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k*****n
发帖数: 117 | 9 E[X|X+Y=1]=E[Y|Y+X=1] --- wrong!
但是不管X和Y是否独立，他们的地位应该总是对称的（符合同样的分布）
----
This comes down to joint behavior of (X,Y) - which can be anything
imaginable. And the joint pdf f(x,y) doesn't have to be reflexive with
respect to line y=x i.e. x and y are interchangable
【在 D********i 的大作中提到】
: 不太看得懂kfsimon的构造。但是不管X和Y是否独立，他们的地位应该总是对称的（符
: 合同样的分布）
: you can always rename X as Y and Y as X.
: E[X|X+Y=1]=E[Y|Y+X=1]=E[Y|X+Y=1]
: 1=E[X+Y|X+Y=1]=E[X|X+Y]+E[Y|X+Y]=2E[X|X+Y]
: E[A+B]=E[A]+E[B]总是对的，不管A和B是什么关系
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w**********y
发帖数: 1691 | 10 "已知X和Y都是N(0,1)分布的随机变量，但不知道他们俩是否独立还是有怎么的相关性"
【在 k*****n 的大作中提到】
: E[X|X+Y=1]=E[Y|Y+X=1] --- wrong!
: 但是不管X和Y是否独立，他们的地位应该总是对称的（符合同样的分布）
: ----
: This comes down to joint behavior of (X,Y) - which can be anything
: imaginable. And the joint pdf f(x,y) doesn't have to be reflexive with
: respect to line y=x i.e. x and y are interchangable
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K*V
发帖数: 192 | 11 answer is always 1/2 no matter what correlation between x and y.
性"
【在 w**********y 的大作中提到】
: "已知X和Y都是N(0,1)分布的随机变量，但不知道他们俩是否独立还是有怎么的相关性"
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r**i
发帖数: 886 | 12 要求X Y 都是 N（0，1）的分布，这个变换不能成立吧。
【在 r**a 的大作中提到】
: X=Y/2
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r**a
发帖数: 536 | 13 yes, you are right.
【在 r**i 的大作中提到】
: 要求X Y 都是 N（0，1）的分布，这个变换不能成立吧。
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r**a
发帖数: 536 | 14 you conclusion is based on the symmetry of the joint distribution of x, y.
But how do you prove this joint distribution must be symmetric on x and y?
If x and y are independent, then it is trivial.
【在 K*V 的大作中提到】
: answer is always 1/2 no matter what correlation between x and y.
:
: 性"
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r**a
发帖数: 536 | 15 Consider an asymmetric copula: uv+uv(1-u)(1-v)[(a-b)v(1-u)+b] for all |b|<=1
and (b-3-sqrt(9+6b-3b^2))/2 <= a <= 1.
Using this asymmetric copula, we may construct an asymmetric joint
distribution of X and Y, which may further lead to E[X|X+Y=1] != 0.5.
【在 f*********5 的大作中提到】
: 已知X和Y都是N(0,1)分布的随机变量，但不知道他们俩是否独立还是有怎么的相关性，
: 连是否bivariate normal distribution都不知道，问能否确定
: E[X|X+Y=1]？
: 我自己简单验证当X=Y或者X和Y独立的时候答案是0.5，但是能否证明无论他俩满足什么
: 相关性答案都是0.5？或者有没有大牛给个答案不是0.5的反例？
: 百思不得其解，求解惑
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c*******6
发帖数: 24 | 16 set Z=X+Y, then E[X|X+Y=1]=E[Z-Y|Z=1]=E[1-Y]=0.5
or
due to sym E[X|X+Y=1]=E[Y|X+Y=1], then 1=E[X+Y|X+Y=1]=E[X|X+Y=1]+E[Y|X+Y=1]=
2E[X|X+Y=1] -> E[X|X+Y=1]=0.5
【在 f*********5 的大作中提到】
: 已知X和Y都是N(0,1)分布的随机变量，但不知道他们俩是否独立还是有怎么的相关性，
: 连是否bivariate normal distribution都不知道，问能否确定
: E[X|X+Y=1]？
: 我自己简单验证当X=Y或者X和Y独立的时候答案是0.5，但是能否证明无论他俩满足什么
: 相关性答案都是0.5？或者有没有大牛给个答案不是0.5的反例？
: 百思不得其解，求解惑
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r**a
发帖数: 536 | 17 Not correct, see the comments in below
E[Z-Y|Z=1]=E[1-Y|Z=1] instead E[Z-Y|Z=1]=E[1-Y]. Further, E[1-Y]=1 instead
of 0.5.
E[X|X+Y=1]=E[Y|X+Y=1] needs to be proved. Actually, as another guy and I
mentioned before, if X and Y are not independent, then the joint
distribution is not necessarily symmetric on x and y.
【在 c*******6 的大作中提到】
: set Z=X+Y, then E[X|X+Y=1]=E[Z-Y|Z=1]=E[1-Y]=0.5
: or
: due to sym E[X|X+Y=1]=E[Y|X+Y=1], then 1=E[X+Y|X+Y=1]=E[X|X+Y=1]+E[Y|X+Y=1]=
: 2E[X|X+Y=1] -> E[X|X+Y=1]=0.5
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r**a
发帖数: 536 | 18 How do you prove D = int_{x+y=1}_f(x,y)dxdy = int_x_f(x,1-x)dx is
nonvanishing?
【在 k*****n 的大作中提到】
: If joint pdf f(x,y) doesn't have to be continuous.
: E[X|X+Y=1] can be anything.
: construct
: f'(x,y) =
: { f(x,y) when x+y<>1;
: g(x)/D when x+y=1; }
: where f(x,y) be pdf of bivariante normal N([0,0]; [1,0; 0,1]), i.e. no
: correlation
: D = \int_{x+y=1}_f(x,y)dxdy = \int_x_f(x,1-x)dx
: then you can define any g(x,y) by yourself as long as
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x******a
发帖数: 6336 | 19 You may want to read the Borel Paradox on page 205 in the statistical
inference by casella and Berger
【在 f*********5 的大作中提到】
: 已知X和Y都是N(0,1)分布的随机变量，但不知道他们俩是否独立还是有怎么的相关性，
: 连是否bivariate normal distribution都不知道，问能否确定
: E[X|X+Y=1]？
: 我自己简单验证当X=Y或者X和Y独立的时候答案是0.5，但是能否证明无论他俩满足什么
: 相关性答案都是0.5？或者有没有大牛给个答案不是0.5的反例？
: 百思不得其解，求解惑
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