o*******e
发帖数: 31 | 1 自由电子打向H原子，
靶原子处于基态1S.
散射后，H原子被激发到
2P. 求Total Cross-section.
用Born近似，要计算积分：
其中 V 是相互作用势能
V=-e^2/r1+e^2/r12
(第一项为自由电子与靶原子核的作用，
第二项是两电子间的库仑势)
自由电子用平面波表示,
so
Initial state: (SAI1s)*Exp(ik0 dot r1)/[(2PI)^(3/2)]
Final satae: (SAI2p)*Exp(ik dot r1)/[(2PI)^(3/2)]
V中第一项vanish了， 只需求第二项积分：
其中
r12=|r1-r2|
(r1,r2 分别为自由电子和束缚电子的position vector).
这个积分该怎么求阿？
请高手帮帮忙，谢了。 | a*********r
发帖数: 116 | 2 You can expand 1/|r1-r2| by spherical harmonic function, then
integrate out r2. When you do this, there will be three spherical
harmonic functions. Such integration can be represented by 3-j symbol
in the angular momentum problem. Now only finite terms are left and
you can begin to integrate r1. Good luck.
【在 o*******e 的大作中提到】
: 自由电子打向H原子，
: 靶原子处于基态1S.
: 散射后，H原子被激发到
: 2P. 求Total Cross-section.
: 用Born近似，要计算积分：
:
: 其中 V 是相互作用势能
: V=-e^2/r1+e^2/r12
: (第一项为自由电子与靶原子核的作用，
: 第二项是两电子间的库仑势)
| q*****m
发帖数: 73 | 3 The answer could be found on P333 of Schiff, Quantum Mechanics.
You can integrate over the coordinate of the electron first,
use some trick:
\int e^{-i q.r1} / r1 dr1 <--- q and r1 are vectors here
= lim_{\alpha->0} 4 \pi/q
\int_0^{\infinty} sin(q r1) e^{-\alpha r1} dr1
=4 \pi/q^2
Then the Total Cross-section is given by
4 \pi |c|^2 e^2 /q^2
\int( exp(i \vec{q r2}) -1) <2p|1s> dr1
【在 o*******e 的大作中提到】
: 自由电子打向H原子，
: 靶原子处于基态1S.
: 散射后，H原子被激发到
: 2P. 求Total Cross-section.
: 用Born近似，要计算积分：
:
: 其中 V 是相互作用势能
: V=-e^2/r1+e^2/r12
: (第一项为自由电子与靶原子核的作用，
: 第二项是两电子间的库仑势)
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