a***a
发帖数: 161 | 1 平面上有一条任意形状的封闭曲线。
证明：线上定然存在三点可以构成等边三角形。
想得我头都大了…… | m****i
发帖数: 159 | 2 任取一点，然后以这个点为中心把整个曲线旋转60度，新曲线和老曲线的交点肯定不止1
个（证明略。。。），然后用两个交点作为等边三角形的两个点，找出第三个点，一定在
老曲线上。
【在 a***a 的大作中提到】
: 平面上有一条任意形状的封闭曲线。
: 证明：线上定然存在三点可以构成等边三角形。
: 想得我头都大了……
| a**a
发帖数: 416 | 3 也不成. 我给一个光滑曲线下的证明. 如果曲线是逐段光滑的, 总可以找到一点,
曲线的斜率在该点连续. 以这一点为固定点, 任取曲线上另外一点为参数点,
然后就得到以这两点为顶点的正三角形的第三点. 这第三点可能有两个, 可以固定
一个方向不变, 这样当参数点在曲线上运动时, 第三点就会产生一条逐段光滑的
曲线, 这个曲线是闭合的, 而且和原曲线交于固定点. 其斜率在该点也是连续的,
但是和原曲线在该点处的斜率差60度, 说明它们是相交! 这样就必然存在另外一个
交点. 该交点就是所求! 证毕.
【在 m****i 的大作中提到】
: 任取一点，然后以这个点为中心把整个曲线旋转60度，新曲线和老曲线的交点肯定不止1
: 个（证明略。。。），然后用两个交点作为等边三角形的两个点，找出第三个点，一定在
: 老曲线上。
| a**a
发帖数: 416 | 4 sorry, 为了将功补过, 我这里提出另外一种证明. 可以定义曲线上一点的邻域角为
这样的角度, 即以该点为中心, 一个极小的实数为半径,做圆, 使得该圆恰好和曲线
交为两点, 这两点所割在闭合曲线内部的弧线所对应的就是邻域角.显然, 如果该曲线
占据有限的面积, 总可以找到一个足够大的半径,使得以该点为中心的圆和曲线相切
且完全包含曲线.这时候, 两点汇为一点, 其夹角为零. 这样,如果我们选取的点具有
邻域角大于60度, 当半径逐步增大时, 连续交点的夹角是半径的一个连续函数, 最后
到达零. 中间必然经过60度的点. 这时的两个交点就是所求. 证毕.
【在 m****i 的大作中提到】
: 任取一点，然后以这个点为中心把整个曲线旋转60度，新曲线和老曲线的交点肯定不止1
: 个（证明略。。。），然后用两个交点作为等边三角形的两个点，找出第三个点，一定在
: 老曲线上。
| m****i
发帖数: 159 | 5 而且我发现，这个证明即使在光华曲线的情形下也不严格。
问题出在最后，即使斜率差60度，也不能证明必然存在另一个交点，如果这个“新”交点
恰好就是原来的固定点呢？（这意味着这个曲线和自己相交，但是这应该是允许的，而且
交点数量可以是无穷多。。。）
更别提health刚才说的怪异曲线了（他为什么给删了？是不是已经找到了解决方案？），
比如康托曲线之类。
可能还是不要从可切性这一点考虑更好些。应该有更简单的方法证明存在一个以上的交点
。
【在 a**a 的大作中提到】
: sorry, 为了将功补过, 我这里提出另外一种证明. 可以定义曲线上一点的邻域角为
: 这样的角度, 即以该点为中心, 一个极小的实数为半径,做圆, 使得该圆恰好和曲线
: 交为两点, 这两点所割在闭合曲线内部的弧线所对应的就是邻域角.显然, 如果该曲线
: 占据有限的面积, 总可以找到一个足够大的半径,使得以该点为中心的圆和曲线相切
: 且完全包含曲线.这时候, 两点汇为一点, 其夹角为零. 这样,如果我们选取的点具有
: 邻域角大于60度, 当半径逐步增大时, 连续交点的夹角是半径的一个连续函数, 最后
: 到达零. 中间必然经过60度的点. 这时的两个交点就是所求. 证毕.
| w***t
发帖数: 96 | 6 what the heck. wield thoughts. just start with a small equilateral triangle
inside the closed curve with A and B on the curve, slides B. show that the C
will cross the curve from inside to outside.
【在 a**a 的大作中提到】
: sorry, 为了将功补过, 我这里提出另外一种证明. 可以定义曲线上一点的邻域角为
: 这样的角度, 即以该点为中心, 一个极小的实数为半径,做圆, 使得该圆恰好和曲线
: 交为两点, 这两点所割在闭合曲线内部的弧线所对应的就是邻域角.显然, 如果该曲线
: 占据有限的面积, 总可以找到一个足够大的半径,使得以该点为中心的圆和曲线相切
: 且完全包含曲线.这时候, 两点汇为一点, 其夹角为零. 这样,如果我们选取的点具有
: 邻域角大于60度, 当半径逐步增大时, 连续交点的夹角是半径的一个连续函数, 最后
: 到达零. 中间必然经过60度的点. 这时的两个交点就是所求. 证毕.
| m****i
发帖数: 159 | 7 http://www.scidiv.bcc.ctc.edu/Math/Snowflake.html
段光
,
也成
【在 a**a 的大作中提到】
: sorry, 为了将功补过, 我这里提出另外一种证明. 可以定义曲线上一点的邻域角为
: 这样的角度, 即以该点为中心, 一个极小的实数为半径,做圆, 使得该圆恰好和曲线
: 交为两点, 这两点所割在闭合曲线内部的弧线所对应的就是邻域角.显然, 如果该曲线
: 占据有限的面积, 总可以找到一个足够大的半径,使得以该点为中心的圆和曲线相切
: 且完全包含曲线.这时候, 两点汇为一点, 其夹角为零. 这样,如果我们选取的点具有
: 邻域角大于60度, 当半径逐步增大时, 连续交点的夹角是半径的一个连续函数, 最后
: 到达零. 中间必然经过60度的点. 这时的两个交点就是所求. 证毕.
| H****h
发帖数: 1037 | 8 First, by mengyi, choose A on the curve and rotate the curve 60 degrees
about A, if the new curve and the old one intersect at some B!=A, let C
be the preimage of B before the rotation, then ABC is what we need.
However, not every A on the curve satisfies this property. For example,
if the curve is the boundary of some triangle, and A is one of the vertexes
with angle less than 60 degrees.
Now I assume the curve is a simple closed curve which is homeomorphic to
a circle. By Jordan curve theorem, | w***t
发帖数: 96 | 9 that's trivial la, since you started from an infinite small triangle abc
inside the curve. enlarge it or move it, it will touch the boundary at one
point. denote it by A. construct a equilateral triangle Axy inside abc.
enlarge Axy with A fixed, it will touch the boundary at another point,
denoted it by B. construct an equilateral triangle ABC inside Axy.
ABC is contained in Axy, contained in abc. it remains in the curve, with
AB on the boundary. quite obvious, and it is strict la. | H****h
发帖数: 1037 | 10 To find a triangle with 3 vertexes on the curve that is similar to
any given triangle, it suffices to prove that after a rotaion of
X>0 degrees about some A on the curve and then shrink by ratio k<=1,
the new curve intersects the old one at some point other than A.
I use the same way to find such A, that is A is touched by some disk
inside the curve. Denote C1 the curve, and D1 the disk. After a
rotation and shrink, we get C2 and D2. I want to prove C2 cannot be
contained in the inner part of C1
【在 H****h 的大作中提到】
: First, by mengyi, choose A on the curve and rotate the curve 60 degrees
: about A, if the new curve and the old one intersect at some B!=A, let C
: be the preimage of B before the rotation, then ABC is what we need.
: However, not every A on the curve satisfies this property. For example,
: if the curve is the boundary of some triangle, and A is one of the vertexes
: with angle less than 60 degrees.
: Now I assume the curve is a simple closed curve which is homeomorphic to
: a circle. By Jordan curve theorem,
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