s***e
发帖数: 911 | 1 用复平面的办法. 找本数学物理方法的书, 你能查到下述内容:
I=Integrate[f[x]*Exp[i*a*x],{x,-Infinity,Infinity}]
=2*Pi*i*上半复平面f[x]的留数,
f[x]->0, 当|x|->infinity, 是唯一要求.
sin[x]是exp[ix]的虚部. 你用这个定理作就成了.
这个题目稍微复杂点.上半平面没有留数, 但是实数轴上有奇点. 唯一的奇点在实轴
上(x=0). 你的画个半园把这个奇点挖掉. 这个奇点的留数是一, 对积分的贡献
是i*Pi(乘以留数). 取虚部就是Pi.从0到无穷的积分就是Pi/2了. | s***e
发帖数: 911 | 2
考虑从实数轴-R到R的sin[x]/x=Im[Exp[ix]/x]的积分. 在复平面作一个回路:
-R=>-e=>e=>R=>-R
其中-R=>-e是实轴上的路线, -e=>e表示一个半径为e的小半圆(上半平面), 绕过奇点;
e=>R是实数轴上的线; R=>-R是半径为R的上半平面的圆.
这个回路所围区域留数为零, 所以:
Integrate[Exp[iz]/z, 逆时针(正向)回路]=2 Pi i*(留数)=0
但是上面的回路积分可以分解为:
Integrate[Exp[ix]/x,{x,-R,-e}]
+Integrate[Exp[ix]/x,{x,e,R}]
+Integrate[Exp[iz]/z,{半径为e的顺时针(负向)的小圆弧}]
+Integrate[Exp[iz]/z,{半径为R的逆时针(正向)大圆弧}]
R->Infinity, 根据所谓Jordan引理,
Integrate[Exp[iz]/z,{半径为R的逆时针(正向)大圆弧}]=0;
e->0, 则
Integrate[Exp[ix]/x,{x,-R,-e}]+Integrate[Exp[ix]/x,{x,
【在 s***e 的大作中提到】
: 用复平面的办法. 找本数学物理方法的书, 你能查到下述内容:
: I=Integrate[f[x]*Exp[i*a*x],{x,-Infinity,Infinity}]
: =2*Pi*i*上半复平面f[x]的留数,
: f[x]->0, 当|x|->infinity, 是唯一要求.
: sin[x]是exp[ix]的虚部. 你用这个定理作就成了.
: 这个题目稍微复杂点.上半平面没有留数, 但是实数轴上有奇点. 唯一的奇点在实轴
: 上(x=0). 你的画个半园把这个奇点挖掉. 这个奇点的留数是一, 对积分的贡献
: 是i*Pi(乘以留数). 取虚部就是Pi.从0到无穷的积分就是Pi/2了.
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