Soccer版 - 德国就是比墨西哥菜？“极大似然估计法”骗过了全世界的赌徒和 |
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发帖数: 9770 | 1 原创：超模君 超级数学建模 微信号 supermodeling
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概率与似然
一对好伙伴
世界杯已经进行了半个多月了，早已经有黑眼圈了。
这届世界杯真是冷门频发，转折不断，可谓精彩纷呈，有人欢喜有人忧。有人中大彩，
有人上天台。
（你个几百块钱的就不要挤上来了）
世界杯球赛的结果是如此错综复杂，以致于很少有人能够准确地预测出每一场球赛的结
果。
在这种变幻莫测的运动赛事中，当然离不开概率。今天，超模君就从世界杯球赛的角度
来简单介绍下概率以及他的好基友——似然。
那么先来说大家是如何判断一场比赛的结果呢？
一般大家会通过各种信息，如比赛队伍双方世预赛或者其他赛事的输赢情况、进球数等
等判断双方的综合实力，将这些已有的信息称之为参数。根据这些参数，就可以对比赛
结果进行推测，得到比赛各种结果的可能性，这就是概率。
举个相对简单的例子，一场球赛开赛前，裁判会通过掷硬币的方式决定双方的场地选择
权。
把硬币的正面朝上出现的概率称为硬币的参数。假设硬币是完全公平的，则硬币正面与
反面出现的概率是相同的，都是0.5，即硬币的参数是0.5。
于是可以推测，投掷10次硬币，出现5次正面朝上的概率是：
这种根据已有信息即参数推测结果的各种可能性的方式就是求概率。
那么似然又是什么呢？
“似然”这个词是对英文likelihood的一种较为贴近文言文的翻译，用现代的中文来说
就是“可能性”。
概率是在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果。
而似然则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质即参数进行估计。
比如说，在掷硬币之前，我们并不知道硬币是否是公平的，对硬币自身的性质即参数一
无所知，但我们可以根据掷硬币的结果推测出硬币的大致参数，这就称作似然。
再粗略举一个比赛中的例子，小组赛F组德国对阵墨西哥。根据德国是上届世界杯的冠
军，而墨西哥止步于十六强，可以推测德国队综合实力比墨西哥队强的概率为“高”，
即参数为“高”。
进一步收集更多的信息，发现德国在预选赛取得全胜的优异战绩，墨西哥则是5胜2平1
负。所以，进一步推出参数为“很高”。
再看看先前两队的交战情况。历史上，两队在世界杯交手3次，德国保持不败。1978年
世界杯小组赛德国6-0大胜墨西哥。1986年世界杯¼决赛，两队120分钟战成0-0，
点球战德国4-1胜出；1998年世界杯⅛决赛，德国2-1逆转墨西哥。于是，可以认
为参数最大的可能性为“极高”，也就是说，德国队最有可能比墨西哥要强很多。
这种通过已有结果信息，对原参数进行推断，称作似然。而推测出最可能的参数值，称
为极大似然估计。
我们会有这样的感觉，当已有的结果信息越多时，即实验结果越多，得到的参数可能就
越明确。
再举个例子，出乎人的意料，强大的德国队败给了墨西哥队。如果只根据这一结果对参
数进行推测，就推出了参数最有可能为“低”，即德国队综合实力最有可能没有墨西哥
队强。
这种说法显然有些片面，但这就是似然的本质逻辑。
实际上，当实验结果越来越多时，推测出的参数值就会更精准。
我们对掷硬币的例子进行具体分析，掷10次硬币，发现有6次正面朝上。
我们对该硬币的性质一无所知，所要推测的就是其最可能的参数值。假设这枚硬币是完
全公平的，即硬币的参数是0.5，由此计算出以上实验结果出现的概率为:
当然，硬币也有可能是不公平。设硬币的参数为0.6，则实验结果出现的概率是：
可以看出，参数为0.6使得实验结果出现的概率要比参数为0.5时的大，即以0.6作为参
数的可能性更大，该硬币更倾向于是不公平的。
为了进一步推出最可能的参数值，进行极大似然估计。设硬币的参数为θ，则似然函数
为：
作出似然函数的图像：
从图像中可以看出，参数值为0.6时，概率最大。D(0.6,0.25)为极值点。当参数值大于
或小于0.6时，概率逐渐递减。0.6为最可能的参数值。
所以要进行极大似然估计，就是要找到似然函数的极值。
增加实验次数，设已知50次投掷结果，求出现30次正面朝上时硬币的参数，似然函数的
图像如下：
从图中明显可以看出，似然函数大于0的范围收缩了，也就是说，可以选择的参数值的
分布更加集中了。
随着已知实验结果的增多，我们对事物的性质越来越了解，参数也会越来越明确。
极大似然估计法教会了我们世界压强队更容易赢，但却没告诉我们这届世界杯爱爆出冷
门，你看，德国、阿根廷、葡萄牙、西班牙都回家了，其他所谓的强队还会远吗？
本文由超级数学建模编辑和整理
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