c*****7
发帖数: 54 | 1 n元齐次线性方程A(m*n)x = 0,如果R(A)=n,那么A的一个n阶非零子式所对应的n个方程
只有零解, 为什么满秩就只有零解呢? 怎么理解呢? 谢谢! | s*****n
发帖数: 2174 | 2 首先 如果 rank(A) = n, 说明 m >= n, 并且 A 中的 m-n 行 可以通过另外 n 行线性
表示. A 的任意一个 n 阶非零子式其实就是A里面n个线性无关的行. 其所对应的矩阵
一定是满秩(nxn)矩阵B.
Bx = 0 显然只有零解, 以下一些都是对的:
(1). 因为B是可逆方阵啊. x = B^{-1}0 = 0.
(2). 通过Cramer法则, 也很容易看出来只有零解. 因为
x(i) = |B'| / |B| 其中B' 是 B 中的第i列被0向量代替所得. 分母>0, 分子为0.
(3). 前面说了, rank(B) = n, 说明 B 是列满秩的. 如果存在非零解y 使得 By=0, 那
么B中的某列必然可以被别的列线性表示. 这前后矛盾. | c*****7
发帖数: 54 | 3 明白了,谢谢!
【在 s*****n 的大作中提到】
: 首先 如果 rank(A) = n, 说明 m >= n, 并且 A 中的 m-n 行 可以通过另外 n 行线性
: 表示. A 的任意一个 n 阶非零子式其实就是A里面n个线性无关的行. 其所对应的矩阵
: 一定是满秩(nxn)矩阵B.
: Bx = 0 显然只有零解, 以下一些都是对的:
: (1). 因为B是可逆方阵啊. x = B^{-1}0 = 0.
: (2). 通过Cramer法则, 也很容易看出来只有零解. 因为
: x(i) = |B'| / |B| 其中B' 是 B 中的第i列被0向量代替所得. 分母>0, 分子为0.
: (3). 前面说了, rank(B) = n, 说明 B 是列满秩的. 如果存在非零解y 使得 By=0, 那
: 么B中的某列必然可以被别的列线性表示. 这前后矛盾.
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