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Statistics版 - 求助:一道统计证明题
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请教一道证明题HELP!!!!!
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相关话题的讨论汇总
话题: ey话题: var话题: bounded话题: pdf话题: ay
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l*******a
发帖数: 12
1
碰到一个不等式的证明,已经证了1个多月了,还是做不出来,希望大牛们帮看一下。
Y is a positive bounded random variable. Prove that
E{Y^2 e^(-Y)}/E{Y e^(-Y)}-E{Y e^(-Y)}/E{e^(-Y)}<=1,
where E is the expectation with respect to Y.
我用R试了几个Y的distribution, e.g. lognormal, uniform,结果都成立,但就是证不
出来对任意分布都成立。
Any hint is appreciated!!
a******n
发帖数: 11246
2
我怎么觉得不太对的。。。
e^{-Y}可以和f(Y)一起作为新的pdf,所以等价于证明
E{Y^2}/EY - EY <= 1
也就是 Var(Y) <= EY。
只要Var(Y)不等于0,总能找到足够大的a,使得Var(aY) > E(aY)的。

【在 l*******a 的大作中提到】
: 碰到一个不等式的证明,已经证了1个多月了,还是做不出来,希望大牛们帮看一下。
: Y is a positive bounded random variable. Prove that
: E{Y^2 e^(-Y)}/E{Y e^(-Y)}-E{Y e^(-Y)}/E{e^(-Y)}<=1,
: where E is the expectation with respect to Y.
: 我用R试了几个Y的distribution, e.g. lognormal, uniform,结果都成立,但就是证不
: 出来对任意分布都成立。
: Any hint is appreciated!!

l*******a
发帖数: 12
3
不是的,如果把e^{-Y}和f(Y)一起作为新的pdf,当a足够大时,e^{-aY}也足够小,所以
Var(aY) 和 E(aY)都趋近于0了。

【在 a******n 的大作中提到】
: 我怎么觉得不太对的。。。
: e^{-Y}可以和f(Y)一起作为新的pdf,所以等价于证明
: E{Y^2}/EY - EY <= 1
: 也就是 Var(Y) <= EY。
: 只要Var(Y)不等于0,总能找到足够大的a,使得Var(aY) > E(aY)的。

t****r
发帖数: 702
4
how come log-normal is bounded?

【在 l*******a 的大作中提到】
: 碰到一个不等式的证明,已经证了1个多月了,还是做不出来,希望大牛们帮看一下。
: Y is a positive bounded random variable. Prove that
: E{Y^2 e^(-Y)}/E{Y e^(-Y)}-E{Y e^(-Y)}/E{e^(-Y)}<=1,
: where E is the expectation with respect to Y.
: 我用R试了几个Y的distribution, e.g. lognormal, uniform,结果都成立,但就是证不
: 出来对任意分布都成立。
: Any hint is appreciated!!

t****r
发帖数: 702
5
well, I spent some time on it, hope it will give you some thoughts.
Let f(t)=E(e^{tY}), the moment generating function of Y. Then define
g(t)=log(f(t)), which becomes the cumulant generating function of Y. Since Y
is bounded and positive, we can show that g(t) is well defined for any t
and is strictly convex and strictly increasing in t. (you may google
property of the cumulant generating function).
Your statement is equivalent to show g''(t)<= g'(t) when t=-1. But I don't
have time to look into that.
Maybe this not the way to do it, may be it is :)
Hope this helps.

【在 l*******a 的大作中提到】
: 碰到一个不等式的证明,已经证了1个多月了,还是做不出来,希望大牛们帮看一下。
: Y is a positive bounded random variable. Prove that
: E{Y^2 e^(-Y)}/E{Y e^(-Y)}-E{Y e^(-Y)}/E{e^(-Y)}<=1,
: where E is the expectation with respect to Y.
: 我用R试了几个Y的distribution, e.g. lognormal, uniform,结果都成立,但就是证不
: 出来对任意分布都成立。
: Any hint is appreciated!!

a******n
发帖数: 11246
6
都趋向于0不说明什么啊。你似乎是把我两步混在一起了。
我第一步是把Y的pdf转换为e^{-Y}*f{Y}。
详细点就是let g{Y}=e^{-Y}*f{Y} /∫e^{-Y}*f{Y}dY
then g{Y} is a valid pdf and
原来的E{Y^2 e{-Y}}(expectation with respect to pdf f)
等于现在的E{Y^2}(expectation wrt g)。
同样其余几个表达式变为EY和1。
所以其实就是要证明 E{Y^2}/EY - EY <= 1。
这时候的Y pdf是g,同样是positive and bounded.
但我觉得这是不对的。

【在 l*******a 的大作中提到】
: 不是的,如果把e^{-Y}和f(Y)一起作为新的pdf,当a足够大时,e^{-aY}也足够小,所以
: Var(aY) 和 E(aY)都趋近于0了。

a******n
发帖数: 11246
7
我随便举个很简单的例子好了。
E{Y^2}/EY - EY <= 1,等价于Var(Y)<=EY。
让Y这样:p(Y=1)=1/2 , p(Y=5)=1/2。这时候EY=3, varY=4。
这个pmf相当于上面提到的g,如果要转换为f,那么
f正比于g/E^{-Y}。
所以变换后的pmf是p(Y=1)=k/2 *e^{-1}, p{Y=5}=k/2 *e^{-5}
这里k就是一个系数使得上面pmf是一个valid pmf。
这时候原来的不等式就是不对的。

所以

【在 a******n 的大作中提到】
: 都趋向于0不说明什么啊。你似乎是把我两步混在一起了。
: 我第一步是把Y的pdf转换为e^{-Y}*f{Y}。
: 详细点就是let g{Y}=e^{-Y}*f{Y} /∫e^{-Y}*f{Y}dY
: then g{Y} is a valid pdf and
: 原来的E{Y^2 e{-Y}}(expectation with respect to pdf f)
: 等于现在的E{Y^2}(expectation wrt g)。
: 同样其余几个表达式变为EY和1。
: 所以其实就是要证明 E{Y^2}/EY - EY <= 1。
: 这时候的Y pdf是g,同样是positive and bounded.
: 但我觉得这是不对的。

l*******a
发帖数: 12
8
非常感谢你的解答,对我的理解很有帮助。
这个问题是从一个survival analysis的问题来的. 如果Y是bernoulli, 它代表的其实
是exposure。由于考虑问题的角度不一样,我没有考虑过odds ratio 很大的情况.
很感谢你给出的反例,我可以define一些constraint使得要证的不等式满足。
如果Y是continuous,你能想到一些凡例吗?
万分感谢!

【在 a******n 的大作中提到】
: 我随便举个很简单的例子好了。
: E{Y^2}/EY - EY <= 1,等价于Var(Y)<=EY。
: 让Y这样:p(Y=1)=1/2 , p(Y=5)=1/2。这时候EY=3, varY=4。
: 这个pmf相当于上面提到的g,如果要转换为f,那么
: f正比于g/E^{-Y}。
: 所以变换后的pmf是p(Y=1)=k/2 *e^{-1}, p{Y=5}=k/2 *e^{-5}
: 这里k就是一个系数使得上面pmf是一个valid pmf。
: 这时候原来的不等式就是不对的。
:
: 所以

l*******a
发帖数: 12
9
什么是holder公式?是不是反了呀?我用Cauchy-Schwarz 不等式,分子大于0。
q*****q
发帖数: 158
10
举个简单的例子看看吧。比如 两点分布 P(Y = 1) = P(Y = 2) = 0.5, 算算看看咯。

【在 l*******a 的大作中提到】
: 什么是holder公式?是不是反了呀?我用Cauchy-Schwarz 不等式,分子大于0。
a******n
发帖数: 11246
11
朋友我都说得那么明显了。。。。
你要连续的一样容易啊。
Y1=Uniform(0,a)。算出Var和E(和a有关)
这样对某个a来说,Var(Y1)>E(Y1)。
然后Y的pdf就是Y1的pdf除以e^{-Y}。在这里就是
f(Y)=1/a / e^{-Y}。

【在 l*******a 的大作中提到】
: 非常感谢你的解答,对我的理解很有帮助。
: 这个问题是从一个survival analysis的问题来的. 如果Y是bernoulli, 它代表的其实
: 是exposure。由于考虑问题的角度不一样,我没有考虑过odds ratio 很大的情况.
: 很感谢你给出的反例,我可以define一些constraint使得要证的不等式满足。
: 如果Y是continuous,你能想到一些凡例吗?
: 万分感谢!

a******n
发帖数: 11246
12
还是要严谨一点的...大于和小于完全就是两回事。
用holder inequality可以证明大于0,其实这是显然的,
就好比证明一个变量的variance大于0 -,=

下。
证不

【在 q*****q 的大作中提到】
: 举个简单的例子看看吧。比如 两点分布 P(Y = 1) = P(Y = 2) = 0.5, 算算看看咯。
q*****q
发帖数: 158
13
不好意思不好意思。就在脑子里过了大概想了一下,没认真看。丢人了~~~

【在 a******n 的大作中提到】
: 还是要严谨一点的...大于和小于完全就是两回事。
: 用holder inequality可以证明大于0,其实这是显然的,
: 就好比证明一个变量的variance大于0 -,=
:
: 下。
: 证不

1 (共1页)
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这个是什么model模拟出来的,用R做的EM algorithm: why H(theta,theta‘) maximized at theta'?
啥分布产生standard deviations用于simulation 较靠谱?怎么求 泊松分布的自然对数 的均值跟方差 假设 k!=0
test count data distribution in SAS弱问一个概率分布问题
包子求助 density of sum of two dependent rv问个问题
开学咯 问一道linear algebra的题目how to generate truncated gamma distribution in pytho
请教一道证明题HELP!!!!!
问个证明题请教怎么样转置?
请教如果计算CI for the ratio of two independent means?一道概率证明题请教! 大家帮忙啊
相关话题的讨论汇总
话题: ey话题: var话题: bounded话题: pdf话题: ay