o******e
发帖数: 1001 | 1 假定(X,Y)和(Y,Z)分别为bivariate normal distribution, 我们可以证明(X,Z)也是
bivarate normal distribution.
证明过程如下：令u,s,v,t为独立标准正态分布。
从 (X,Y) 为bivarate,我们有：
Y=a_y*u (我们省略均值)
X=a_x*u+b_x*s
从 (Y,Z) 为bivarate,我们有：
Y=c_y*v
Z=d_z*v+e_z*t
因为Y为同一变量，我们有u=v,因此，
X=a_x*u+b_x*s
Z=d_z*u+e_z*t
(X,Z)^T=(a_x,b_x,0;d_z,0,e_z)*(u;s;t)
(X,Z)是独立标准正态分布的线形转化，所以为bivarate.
但是奇怪的是，我从来没有在书上或paper上看到讨论bivarate 的transitivity,我的
证明有错吗？谢谢！ | t****r
发帖数: 702 | 2 Let Z=-X, then (X,Y) bivariate normal and (Y,Z) bivariate normal does not im
ply (X,-X) is normal.
【在 o******e 的大作中提到】
: 假定(X,Y)和(Y,Z)分别为bivariate normal distribution, 我们可以证明(X,Z)也是
: bivarate normal distribution.
: 证明过程如下：令u,s,v,t为独立标准正态分布。
: 从 (X,Y) 为bivarate,我们有：
: Y=a_y*u (我们省略均值)
: X=a_x*u+b_x*s
: 从 (Y,Z) 为bivarate,我们有：
: Y=c_y*v
: Z=d_z*v+e_z*t
: 因为Y为同一变量，我们有u=v,因此，
| n*****n
发帖数: 3123 | 3 It is called singular normal when the covariance matrix is not full ranked.
It is not a good counter-example.
im
【在 t****r 的大作中提到】
: Let Z=-X, then (X,Y) bivariate normal and (Y,Z) bivariate normal does not im
: ply (X,-X) is normal.
| n*****n
发帖数: 3123 | 4 The statement is not correct. I didn't take a look at your proof, but it
should be wrong in somewhere.
Consider the case, X,Y,Z are all standard normal. Y is independent of X and
Z, but X and Z are not independent. So (X, Y) are bivariate normal, (Y,Z)
are bivariate normal, but (X,Z) may not be bivariate normal. Any examples
showing that marginal normal does not imply joint normal can be used here as
counterexample.
【在 o******e 的大作中提到】
: 假定(X,Y)和(Y,Z)分别为bivariate normal distribution, 我们可以证明(X,Z)也是
: bivarate normal distribution.
: 证明过程如下：令u,s,v,t为独立标准正态分布。
: 从 (X,Y) 为bivarate,我们有：
: Y=a_y*u (我们省略均值)
: X=a_x*u+b_x*s
: 从 (Y,Z) 为bivarate,我们有：
: Y=c_y*v
: Z=d_z*v+e_z*t
: 因为Y为同一变量，我们有u=v,因此，
| s*****n
发帖数: 2174 | 5 你的证明错误地方在于：
这个并不成立。 你这样说， 其实是根据X来选择s， 换句话说，
你的s是依赖于X来定义或是导出的， 而不是一个完全自由的标准正态。
同理， 下面的t也是依赖于Z而导出的， 不是完全自由的标准正态。
于是你就不能使用s和t独立这个假设。
如果你这个推理思路成立的话， 我可以说任何两个正态的随即变量X，Y
的联合分布一定是二元正态。
令u，s为独立标准正态分布。
因为X,Y正态，所以X=a*u,Y=b*s
于是(X,Y)^T=(a,b)* (u,s)^T, 可以表示成独立正态的线性组合。
这样的证明显然是滑稽的。 | h***i
发帖数: 3844 | 6 我可以说任何两个正态的随即变量X，Y
的联合分布一定是二元正态。
这个是正确的吧。
多元正太分布的定义可以是：
任何他的component的linear combination也是正太分布。
所以 如果 X，Y是正太，则（X，Y）是二元正态的
【在 s*****n 的大作中提到】
: 你的证明错误地方在于：
: 这个并不成立。 你这样说， 其实是根据X来选择s， 换句话说，
: 你的s是依赖于X来定义或是导出的， 而不是一个完全自由的标准正态。
: 同理， 下面的t也是依赖于Z而导出的， 不是完全自由的标准正态。
: 于是你就不能使用s和t独立这个假设。
: 如果你这个推理思路成立的话， 我可以说任何两个正态的随即变量X，Y
: 的联合分布一定是二元正态。
: 令u，s为独立标准正态分布。
: 因为X,Y正态，所以X=a*u,Y=b*s
: 于是(X,Y)^T=(a,b)* (u,s)^T, 可以表示成独立正态的线性组合。
| s*****n
发帖数: 2174 | 7 这个。。。。。。
我只能说
你的基本统计知识恐怕要重新回回炉啊
【在 h***i 的大作中提到】
: 我可以说任何两个正态的随即变量X，Y
: 的联合分布一定是二元正态。
: 这个是正确的吧。
: 多元正太分布的定义可以是：
: 任何他的component的linear combination也是正太分布。
: 所以 如果 X，Y是正太，则（X，Y）是二元正态的
| k*****u
发帖数: 1688 | 8 这个不对啊。举个例子，X~N(0,1)，Y=-X或者Y=2X
f(X,-X)=? f(X,2X)=?
【在 h***i 的大作中提到】
: 我可以说任何两个正态的随即变量X，Y
: 的联合分布一定是二元正态。
: 这个是正确的吧。
: 多元正太分布的定义可以是：
: 任何他的component的linear combination也是正太分布。
: 所以 如果 X，Y是正太，则（X，Y）是二元正态的
| h***i
发帖数: 3844 | 9 。。。。。。
A random vector X = (X1, …, Xk)′ is said to have the multivariate normal
distribution if it satisfies the following equivalent conditions
[1]:
* Every linear combination of its components Y = a1X1 + … + akXk is
normally distributed. That is, for any constant vector a ∈ Rk, the random
variable Y = a′X has a univariate normal distribution.
【在 s*****n 的大作中提到】
: 这个。。。。。。
: 我只能说
: 你的基本统计知识恐怕要重新回回炉啊
| h***i
发帖数: 3844 | 10 okay，忘记了这些case，linear combination没有分布了
【在 k*****u 的大作中提到】
: 这个不对啊。举个例子，X~N(0,1)，Y=-X或者Y=2X
: f(X,-X)=? f(X,2X)=?
| | | t****r
发帖数: 702 | 11 Suppose X has a normal distribution with expected value 0 and variance 1. Le
t W = 1 or -1, each with probability 1/2, and assume W is independent of X.
Let Y = WX. Then
1. X and Y are uncorrelated;
2. Both have the same normal distribution; and
3. X and Y are not independent.
Thus, (X,Y) is NOT bivariate normal.
From http://en.wikipedia.org/wiki/Normally_distributed_and_uncorrelated_does
_not_imply_independent
【在 h***i 的大作中提到】
: okay，忘记了这些case，linear combination没有分布了
| h***i
发帖数: 3844 | 12 mak e sense， thanks！
Le
.
【在 t****r 的大作中提到】
: Suppose X has a normal distribution with expected value 0 and variance 1. Le
: t W = 1 or -1, each with probability 1/2, and assume W is independent of X.
: Let Y = WX. Then
: 1. X and Y are uncorrelated;
: 2. Both have the same normal distribution; and
: 3. X and Y are not independent.
: Thus, (X,Y) is NOT bivariate normal.
: From http://en.wikipedia.org/wiki/Normally_distributed_and_uncorrelated_does
: _not_imply_independent
| d******e
发帖数: 7844 | 13 正态分布不一定有density的
【在 k*****u 的大作中提到】
: 这个不对啊。举个例子，X~N(0,1)，Y=-X或者Y=2X
: f(X,-X)=? f(X,2X)=?
| d******e
发帖数: 7844 | 14 你把充分必要条件弄混了。
【在 h***i 的大作中提到】
: 。。。。。。
: A random vector X = (X1, …, Xk)′ is said to have the multivariate normal
: distribution if it satisfies the following equivalent conditions
: [1]:
: * Every linear combination of its components Y = a1X1 + … + akXk is
: normally distributed. That is, for any constant vector a ∈ Rk, the random
: variable Y = a′X has a univariate normal distribution.
| T*******I
发帖数: 5138 | 15 我直觉地认为此类命题和证明是出自经典的数学思维，在纯粹的统计学里可能毫无意义
，因为我们常常遇到这样的情形：X和Y以及Y和Z之间存在显著的线性关系，而X和Z之间
则未必一定存在显著的线性关系。那种认为X和Z之间因此而一定存在显著线性关系因而
试图证明这个命题从而避免任何抽样估计的必要性的人恐怕还没有走进统计学的殿堂。
因此，如果X和Z之间没有显著的线性关系，讨论甚至试图证明X和Z之间是否存在
bivariate normal distribution就是毫无意义的事情。
关于随机变量及其相互间的关系，只有样本估计一条路可走。
【在 o******e 的大作中提到】
: 假定(X,Y)和(Y,Z)分别为bivariate normal distribution, 我们可以证明(X,Z)也是
: bivarate normal distribution.
: 证明过程如下：令u,s,v,t为独立标准正态分布。
: 从 (X,Y) 为bivarate,我们有：
: Y=a_y*u (我们省略均值)
: X=a_x*u+b_x*s
: 从 (Y,Z) 为bivarate,我们有：
: Y=c_y*v
: Z=d_z*v+e_z*t
: 因为Y为同一变量，我们有u=v,因此，
| k*****u
发帖数: 1688 | | d******e
发帖数: 7844 | 17 Covariance Matrix Rank deficient.
举个简单的例子，x服从N(0,1), y = x，那么(x,y)服从正态分布。但是这个协方差矩
阵rank只有1。无法求逆，自然也无法算density。其实Rank deficient的情况很多，常
用的PCA的假设就是covariance是low rank的。
正态分布的定义是
A random vector is said to be multivariate normally distributed if every
linear combination of its components has a univariate normal distribution.
并不是由density function来定义的。
【在 k*****u 的大作中提到】
: 正太分布没有density？
: 能zkss么？
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