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发帖数: 2939 | 1 ☆─────────────────────────────────────☆
btphy (btphy) 于 (Sat May 25 03:19:10 2013, 美东) 提到:
版上弱智真多，这么简单的问题都搞不清楚。证明如下。
exp(2i pi e)=(exp(2i pi) )^e=1^e=1
==> 2i pi e=ln(1)=0
==> pi e=0
证毕。
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feverpitch (狂热) 于 (Sat May 25 05:42:46 2013, 美东) 提到:
这个问题很难啊
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heathen (The real folk blues) 于 (Sat May 25 05:57:11 2013, 美东) 提到:
不难。刚才搞错了，LZ的公式“正确”。不过还可以更简单。
exp(2*i*pi)=1 ==> 2*i*pi=ln(1)=0 ==> pi=0.
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devilphoenix (Four legs good, two legs bad!) 于 (Sat May 25 06:21:20 2013, 美东) 提到:
我觉得2=0更符合这个推理的本质
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scherbenmeer (我是德吹) 于 (Sat May 25 08:03:28 2013, 美东) 提到:
pi*e = 0 IS TRUE => pi= 0 or e = 0 TRUE
Grats!Compared to this new discovery, Tom Zhang's work is just full of shit!
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yapple (稳似泰山共携手，陶然一笑友情深) 于 (Sat May 25 09:36:44 2013, 美东) 提到:
lz = 2
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noname (无名氏) 于 (Sat May 25 09:50:53 2013, 美东) 提到:
pi = 屁
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qooqoo (bu ming bai) 于 (Sat May 25 10:50:48 2013, 美东) 提到:
2i=楼主很二
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jsczhill (jsczhill) 于 (Sat May 25 11:10:51 2013, 美东) 提到:
lz = 2
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logic98 (logic) 于 (Sat May 25 11:24:32 2013, 美东) 提到:
骂人没意思，楼主数学挺好的。这玩意儿可以算一个祥缪了吧？整个推理比较严密，只
有一个地方有个小小的漏洞。
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ncatlab (弃疾) 于 (Sat May 25 11:33:11 2013, 美东) 提到:
可以算一个祥瑞 :)
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popokaka (风) 于 (Sat May 25 11:46:43 2013, 美东) 提到:
所以，所有实数的积都是零
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firearasi (firearasi) 于 (Sat May 25 12:07:14 2013, 美东) 提到:
楼主很2,忽略了沿圆周转一圈能回到原处的常识:
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 12:48:24 2013, 美东) 提到:
what's the definition of 1^e? why it equals 1?
please specify.
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shouruo (shouruo) 于 (Sat May 25 12:50:09 2013, 美东) 提到:
ln(1)=0在实数域上成立，在复数域上不成立：）
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 12:50:17 2013, 美东) 提到:
re
我觉得从某个角度来看, 比我那个挖坑的证明严密多了.
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ncatlab (弃疾) 于 (Sat May 25 13:09:39 2013, 美东) 提到:
这个坑好
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 13:12:50 2013, 美东) 提到:
这坑一般,
对数函数的多值性降低了这个坑的档次,
看我这个坑, 我这才是神坑:
http://www.mitbbs.com/article_t/WaterWorld/2033845.html
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btphy (btphy) 于 (Sat May 25 13:13:42 2013, 美东) 提到:
1的任意次幂都等于1，难道9年制义务教育还没有普及吗。
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 13:13:52 2013, 美东) 提到:
http://www.mitbbs.com/article_t/WaterWorld/2033845.html
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shouruo (shouruo) 于 (Sat May 25 13:14:08 2013, 美东) 提到:
显然楼主用实数域上的定理，却引入复数，可能是在讽刺一些人关于素数的证明方式吧？
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 13:14:33 2013, 美东) 提到:
呵呵, 大胆傲娇的做个断言:
目测版上99%的人都不知道第一处错误在哪.
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btphy (btphy) 于 (Sat May 25 13:14:39 2013, 美东) 提到:
Why are you talking about geometry now? Are we discussing algebra here?
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 13:15:32 2013, 美东) 提到:
who told you that?
please prove it, I do NOT think it is right.
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btphy (btphy) 于 (Sat May 25 13:16:10 2013, 美东) 提到:
因为多数人中学数学学得还不错吧，不象你。
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btphy (btphy) 于 (Sat May 25 13:16:55 2013, 美东) 提到:
1x1x1x1x...x1=1。这还要证明吗？
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 13:17:00 2013, 美东) 提到:
哦, 为了防止 "其实你并不知道你的证明第一处错误出现在哪" 的这种可能, 特地奉上
一篇帖子:
http://www.mitbbs.com/article_t/WaterWorld/2033845.html
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ncatlab (弃疾) 于 (Sat May 25 13:20:00 2013, 美东) 提到:
他们都是赤裸裸的嫉妒你挖了个好坑
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shouruo (shouruo) 于 (Sat May 25 13:28:32 2013, 美东) 提到:
终于找到一个数学比我还差的，欣慰了
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 13:49:34 2013, 美东) 提到:
it means that for all k∈正整数, 1^k=1
it doesn't mean that for all k ∈数, 1^k=1
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btphy (btphy) 于 (Sat May 25 14:08:37 2013, 美东) 提到:
OK, if you insist，我就给你个高数的证明：
1=exp(2pi i)=exp(0 i)
==> 1^e=(exp(0i))^e=exp(0 e i)=exp(0 i)=1.
这下你心服口服了吧？
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shouruo (shouruo) 于 (Sat May 25 14:21:42 2013, 美东) 提到:
其实我以为楼主故意塞了一个e进指数里，是一个高手来着
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 14:26:16 2013, 美东) 提到:
服了.
你是对的.
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 14:26:30 2013, 美东) 提到:
事实证明, 这99%包括我自己.
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 14:28:46 2013, 美东) 提到:
真心问一下, 你这个证明除了没有注意到对数函数的多值性以外, 还错那了?
我现在是真看不懂了.......
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ncatlab (弃疾) 于 (Sat May 25 14:33:01 2013, 美东) 提到:
我认为 在复数域里 a^b是个多值函数
因为它是通过 e^{b*ln(a)} 来定义的
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shouruo (shouruo) 于 (Sat May 25 14:38:37 2013, 美东) 提到:
表示糊涂楼主到底是高手还是低手
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ncatlab (弃疾) 于 (Sat May 25 14:41:25 2013, 美东) 提到:
楼主是假装低手的高手
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logic98 (logic) 于 (Sat May 25 14:47:24 2013, 美东) 提到:
楼主用的是故意混淆复数域里指数函数是非一一函数和实数域里指数函数是1-1函数得
出这个看似荒谬的结论的。也就是说 e^x = e^y 在实数域里（也就是说如果x,y都是实
数）可以推出x=y,但在复数域里（如果x,y可以使复数）是得不出这个结论的。
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shouruo (shouruo) 于 (Sat May 25 14:52:33 2013, 美东) 提到:
表示楼上几位都是高手
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 14:55:44 2013, 美东) 提到:
感觉似乎不是,
不信你看一下该贴第三楼
http://www.mitbbs.com/article_t/Mathematics/31202633.html
该牛人给出的前提条件是a,b都是实数, 我还没想明白原因.
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 14:58:04 2013, 美东) 提到:
又感觉你是对的...
我不知道, 没想到我复数学得这么差. .. 我得面闭一会想清楚..
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 15:00:43 2013, 美东) 提到:
你这个说的就是对数函数的多值性问题 (即指数函数的逆不唯一),
楼主的证明中除了这个错误以外, 还有其他错误. 看这个帖子:
http://www.mitbbs.com/article_t/Mathematics/31202633.html
没有犯你说的错误, 不过还是有各种奇怪的事情发生.
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btphy (btphy) 于 (Sat May 25 15:14:55 2013, 美东) 提到:
是吗? 那么为什么e^(i pi)=-1 却是唯一的?
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ncatlab (弃疾) 于 (Sat May 25 15:17:40 2013, 美东) 提到:
如果a, b是实数，x是复数
先写x = e^{t +i (theta + 2k pi)}
k \in all integers
x^{a b} = e^{a b t + i a b theta + i k alpha}
where alpha = 2 pi a b
On the other hand
x^a = e^{a t + i (a theta + 2 k a pi)}
= e^{a t + i(a theta + 2k a pi + 2 m pi)}
m \in all integers
(x^a)^b = e^{a b t + i(a b theta + 2k a b pi +2 m b pi)}
=e^{a b t + i a b theta + i k alpha + i m beta}
where beta = 2 pi b
作为多值函数 x^{a b} = (x^a)^b iff
{e^{i k alpha} | k integer} = {e^{i(k alpha + m beta)} | k,m integer}
iff beta = n alpha + l *2 pi for some int n and l
iff b = n a b + l for some int n and l.
所以比方说当 a = 2, b = e
那个等式就不成立
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 15:20:57 2013, 美东) 提到:
我被你坑了.
1^e不是只能等于1的.
比如也可以等于 e^(2 pi * i * e)=cos(2pi*e) + i * sin (2pi*e)
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 15:21:58 2013, 美东) 提到:
似乎事实又证明, 我不在这99%里....
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ncatlab (弃疾) 于 (Sat May 25 15:22:42 2013, 美东) 提到:
这是个量子力学系统
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btphy (btphy) 于 (Sat May 25 15:23:10 2013, 美东) 提到:
什么叫也可以等于，到底等于几你拿定主意没有啊? 你这样就好比说凶手既可以是孙铊
也可以是贝铊一样。
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shouruo (shouruo) 于 (Sat May 25 15:28:27 2013, 美东) 提到:
明白了，其实其多值性来自于ln(x)
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ncatlab (弃疾) 于 (Sat May 25 15:31:33 2013, 美东) 提到:
单数日孙双数日贝
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 15:32:15 2013, 美东) 提到:
好好看ncatlab的发言,
你如果不认为我说的是对的的话, 那么请指出我这个帖子中证明的谬误所在:
http://www.mitbbs.com/article_t/WaterWorld/2033845.html
如果你觉得1^e死活都只能是1的话, 嘿嘿, 请承认e是整数.
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 15:37:59 2013, 美东) 提到:
你是对的
你说的十分清楚
(除了 {e^{k alpha + m beta} | k,m integer} 中笔误少写个i以外)
赞.
-------
我悲剧, 复变学的东西全还给老师了.
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 15:38:57 2013, 美东) 提到:
羞愧于我自己挖了那么好的一个坑, 竟然都不知道自己是凭什么挖的.
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 15:48:07 2013, 美东) 提到:
吹毛求疵一下~:
最后说 "a = pi, b = e
那个等式就不成立"
这个不一定.. pi和e是不是代数独立的, 目前还没证出来.
我理解你的本意, 如果取a=1, b=e, 或者 a=1, b=pi,
那都没问题.
纯属吹毛求疵的, 勿怨. (我只是希望, 47楼这种清楚明晰意义深刻的论述, 能少一点
瑕疵就更好了" )
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ncatlab (弃疾) 于 (Sat May 25 15:49:02 2013, 美东) 提到:
多谢指正！
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ncatlab (弃疾) 于 (Sat May 25 15:56:47 2013, 美东) 提到:
a取1是没有问题的
因为可以取 n = 1, l = 0
不过a取2就是反例了
我已经把原帖找这个改过来了
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 15:59:15 2013, 美东) 提到:
嗯, 你是对的. 我脑子又抽了, 哈哈!
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 16:01:58 2013, 美东) 提到:
另外:
http://www.mitbbs.com/article_t/Mathematics/31202633.html
这个贴子里三楼的例子更有意思.
相当于是X=e, 但是a和b是一般复数的情况.
很巧妙的利用了a=b=1+2*pi*i时 (e^a)^b这一多值函数的性质.
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ncatlab (弃疾) 于 (Sat May 25 16:08:26 2013, 美东) 提到:
这年头 灌个水都处处是陷阱 :)
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btphy (btphy) 于 (Sat May 25 16:13:39 2013, 美东) 提到:
好吧，pi不是整数你承认吧？那么请问 e^(i pi)除了可以等于-1以外还可以等于几？
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 16:38:52 2013, 美东) 提到:
突然发现一个很神奇的事情:
1^e是不是等于1?
在复平面上看来, f(z)=1^z是一个多值函数, 1^e的值是一个数集.
但倘若我们就死死认定 (或者强行定义) 1^e=1, 那么会发生什么呢?
根据我的坑 http://www.mitbbs.com/article_t/WaterWorld/2033845.html,
若我们真的这么死死认定 (或者强行定义) 1^e=1, 在更广泛的体系 (即复数域) 下,
我们会导出 e只能是整数.
神奇的地方在于: 我们先不要去过多关注e本身是个什么东西 (就是说不要去想e=2.
718281828...这类事情), 把e看做一个普通的符号, 为了体现我的观点, 不妨就先把e
换成a好了, a就是一个普通的符号a, 我们不关心a的性质,
那么我们得到了这么一句话:
(在我们承认复数域存在前提下) 对于符号a来说, 如果强行要求 1^a=1, 那么a只能是
整数!
a甚至不能是任意一个实数.
这个非常有意思, 我尚且不知道这句话说明了什么... 这句话似乎暗示着 "如果我们讨
论的空间变大, 那么原本无矛盾的 "定义", 甚至有可能变错"
具体来讲, 我们如果只承认实数的存在性, 不承认复数的存在性 (即就是死活都认为负
实数是不能开根号的), 那我们可以说 "1的任何实数幂次都是1" 在"不承认有复数" 的
前提下, "1的任何实数幂次都是1" 这句话, (应该) 没什么问题.
但我们一旦认为复数存在, 我们就不能声称 "1的任何实数幂次都是1" 了, 这会带来某
些荒诞的结果.
不过, 从另一方面来说, 将1的任何实数次幂都定义为1, 似乎在 "日常生活中" 根本看
不到任何问题, 这是我觉得有趣又可怕的地方. 会不会说我们现在用到的某个公理或是
命题, 虽然看上去 "显然是对的", 但是, 在更高级的智慧意义下, 就可能是错的呢?
(注, 这里说的 "高级", 相当于是 实数 进化为 复数 的这种 "高级", 比如说 "选择
公理" "连续统假设" 这些, 在目前的人看来, 他看上去似乎有可能对, 有可能不对,
你可以把它当做公理, 也可以不把它当做公理. 但是会不会对于某种 "更高级的智慧"
而言, 选择公理是对是错, 是显然的呢? 就好像我们正常人都会认为 "复数的存在性显
然是合理的", 但是有可能以猫狗这类动物的智商而言, 他们就不会认为 "复数的存在
性显然是合理的", 如果再往下退化, 到了草履虫这种级别的, 可能连 "实数的存在性
显然" 都不认可了, 只认可自然数和有理数. 这里的 "猫狗" "草履虫" 都是打比方,
具体应该是什么样, 是不是真的如我说的这样, 我也不知道. )
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 16:43:31 2013, 美东) 提到:
e^(i pi) =-1, 毫无疑问.
1^e和e^(i pi) 有本质区别.
简单来说, a^b 这个 "数" 是怎样的 "数", 和a有很大关系.
指数的定义都是基于自然对数e的, e有特殊的地位, 而1没有.
我这么说可能太空泛了, 我自己也觉得不能100%说服别人.
-----
换个方式吧:
如果你觉得1^e=1这是妥妥成立毫无问题的话, 那你看看这个帖子 (我挖的坑) 的证明
错在哪了:
http://www.mitbbs.com/article_t/WaterWorld/2033845.html
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ncatlab (弃疾) 于 (Sat May 25 17:19:45 2013, 美东) 提到:
你的想法是对的，我补充一下。
前面说 f(z)= z^b 一般来说是多值的，楼主就又挖了一个优秀的连环坑（真心佩服楼主
）：
那为什么 e^{i pi} = -1 是单值的？难道我们的理论有特殊点？当然不是。
回想我们在学复数的第一堂课时，脑子里还没有单值多值的概念，我们很容易的接受了
e^{i theta} = cos(theta) + i sin(theta).
这个式子当时是怎么塞到我们脑子里的？一个常用的证法是利用泰勒展开：我们取实数
域上的函数 e^x 的泰勒展开，然后带入 x = i theta.
换句话说，当我们用 g(z) = e^z 时，我们的意思是： e^x 这个在实轴上的实值函数
到复数域的analytical extension（解析延拓）. 我们知道analytical extension如果
存在（存在性不是这个坑的主要问题），一定是唯一的。所以，e^z这个函数是单值的。
接下去我们定义 ln(z) 为 e^z 的反函数，那个函数是多值得。
在接下去我们定义 z^b = e^{ln(z) * b}。ln( )多值，e^{} 单值，合起来一般来说是
多值。
回到原来的问题：e^{i pi} = -1 指的是 e^z = -1 when z = i pi. 如果我们实在要
计算 z^{i pi}在 z = e的值，那还是多值的了。
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sgrastar (Theodore) 于 (Sat May 25 21:23:11 2013, 美东) 提到:
haha
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 21:34:32 2013, 美东) 提到:
你说的是对的.
唉, 看来我学复变的时候, 过多的用了 "直观认识", 很多基本问题都没搞懂.
另外, 我觉得其实就 "强行认为" 1^e=1其实也是没问题的. 包括前面有人说: "在复平
面上, 1^0.5={+1,-1}" 我觉得就算强行认为1^0.5=1也没有问题, 关键是不要随随便便
把1^0.5和sqrt(1)等同起来.
所以其实我最开始说的还是有问题. 我指出楼主证明中的第一个错误是 "在复数域的前
提下, 1^z=1".
其实我这么说是有问题的, 楼主证明的第一个错误, 严格来说, 应该是随随便便用了 X
^(a*b)=(X^a)^b, 而这个式子在复数域上往往是不对的, 后续的 "1^e到底是不是1" 的
问题, 其实不是很convincing.
楼主
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logic98 (logic) 于 (Sat May 25 22:29:09 2013, 美东) 提到:
你们这些人怎么基本的数学概念都搞得乱七八糟的。还什么多值函数，如果一个映射是
多值的，就不能再称为函数了。也就是说，f(x) 一定有一个定值。如果f(x)既可以等
于a,也可以等于b,f就不是函数。
指数函数在复空间也是函数，也就是说，a^x对任何a,x都是唯一的，不存在什么1^e还
可能有不同的值。
这里的问题是函数是不是1-1函数（即不清中文是怎么表述了，英文叫injective
funciton).也就是说如果 f(a) = f(b),那么a必然等于b.回到指数函数，它在实数空间
里是injective,也就说如果e^a=e^b,那么a=b,但这个在复空间不成立，因为e^0 = e^{i
2\pi}.
楼主变得魔术是从e^{2\pi e i} = e^0 推出 2\pi e i = 0，这里用的假设是指数函数
是injective,但这个在复空间里已经不成立了。
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 23:25:09 2013, 美东) 提到:
........
因为你没明白我们在讨论什么.
"从e^{2pi e i} = e^0 推出 2pi e i = 0" 并不是唯一的错误.
否则你怎么说明这个帖子的 "证明" 是错的? :
http://www.mitbbs.com/article_t/WaterWorld/2033845.html
这里面可没有对指数函数取逆.
{i
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 23:27:49 2013, 美东) 提到:
发现一个严重的问题.
那就是这个论证中, 默认了在多值函数的意义下: e^(a*b)=(e^a)^b
但是这一点好像并不显然成立.
为什么多值函数意的义下这个等式是对的?
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 23:31:22 2013, 美东) 提到:
好吧....没事了没事了.....
我又一次忘了a^b是怎么定义的了.......
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shouruo (shouruo) 于 (Sat May 25 23:38:09 2013, 美东) 提到:
实实在在做几个题吧：
1^0.1 = ?
1^0.27 = ?
3.5^0.3 = ?
1^i = ?
1^(0.3i) = ?
3.5^(0.3i) = ?
i ^ 1.5 = ?
(3+2.5i) ^ i = ?
(2.3+3.5i) ^ (1.2 + 3.1i) = ?
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l63 (l63) 于 (Sat May 25 23:57:14 2013, 美东) 提到:
i^1.5
=exp((i*pi/2+i*2*k*pi)*1.5)
=exp(i*pi*3/4+i*3*k*pi)
=sqrt(2)/2*w
其中w=1+i,1-i,-1+i,-1-i
--------
其他题不会.
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logic98 (logic) 于 (Sun May 26 00:02:33 2013, 美东) 提到:
哦，原来你们说的是这个阿。问题就是 a^{b*c} = (a^b)^c这个公式只对实数成立。这
个里面有说明：
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_function
指数函数还是函数，1^x = 1对任何数（包括实数复数都成立）。不可能出现1^x有多个
值的情况。
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ncatlab (弃疾) 于 (Sun May 26 00:04:52 2013, 美东) 提到:
这里用的是我在前面帖子里的e^z幂函数在a,b,ab的值
而不是指数函数在e的值
因为这两个都写成 x^y的形式
所以才产生了歧义
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shouruo (shouruo) 于 (Sun May 26 00:11:19 2013, 美东) 提到:
显然1^0.5有两个解：1和-1
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 00:35:10 2013, 美东) 提到:
所以ln(0)=1不是第一个出错的地方.
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iamwq (will) 于 (Sun May 26 01:49:05 2013, 美东) 提到:
2=0 证明
exp(2i pi 2/pi)=(exp(2i pi) )^(2/pi)=1^(2/pi)=1
==> 2i pi (2/pi)=ln(1)=0
==> pi 2/pi= 2 = 0
证毕
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l63 (l63) 于 (Sun May 26 08:49:06 2013, 美东) 提到:
对数是不能乱取的.
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shouruo (shouruo) 于 (Sun May 26 12:42:32 2013, 美东) 提到:
任何数的实数次方好像可以得到：
任何复数先写为 C = Amplitude * exp(i*Phase+iK*2*pi), K=0,1,2,..., 幅度
Amplitude>0为实数，相位Phase为任意实数
则 C^m = abs(Amplitude^m) * exp[(i*Phase+iK*2*pi) * m],其中m为任意实数
但是如果m为复数，我就不会玩了。
又：在朱令案的讨论中，终于对我上升到人身攻击，这是迟早的事情。暴民终究是暴民
，即使有几个假惺惺作出君子的姿态。我还是站在神经病医院的围墙外看他们几个暴民
在里面狂欢吧。
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ncatlab (弃疾) 于 (Sun May 26 15:41:21 2013, 美东) 提到:
把C写成 exp(A+i(Phase + iK 2 pi)), where A is real,
你就可以扩展到 m为复数的情况了
又：这也是一个学习历史的过程，未尝不是件好事
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logic98 (logic) 于 (Sun May 26 23:16:22 2013, 美东) 提到:
错大了。1^0.5就是1。记住：函数只能有一个值，有超过一个值的就不是函数。
1^0.5不是定义成x^2=1的所有解得。
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shouruo (shouruo) 于 (Sun May 26 23:41:18 2013, 美东) 提到:
有点意思，多谢
C = exp(A+i(Phase + K 2 pi)), where A is real
C ^ i = exp{[A+i(Phase + K 2 pi)] * i} = exp[ i A - (Phase + K 2 pi)]
有无穷多个值？
C ^ （-i） = exp{[A+i(Phase + K 2 pi)] * （-i）} = exp[ -i A + (Phase + K 2
pi)]
有无穷多个值且趋向于无穷大？
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ncatlab (弃疾) 于 (Mon May 27 13:06:06 2013, 美东) 提到:
对
指数函数的多值性是很有意思的
2
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l63 (l63) 于 (Tue May 28 00:28:33 2013, 美东) 提到:
复数域上, sqrt(z)是函数吗? |
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