发帖数: 1 | 1 Peano公理系统，现代数学的奠基。认为自然数是连续的。
生物系统既非线性也不连续。
现代生物研究，都是试图在非线性不连续的系统中寻找，线性连续。
没办法，人类目前没有语言来描述非线性不连续。
只有废除Peano公理系统，找到新公理， 人类才能再次飞跃 |
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j******n
发帖数: 21641 | 2 来自主题: LeisureTime版 - 梁公启超 记得我们学元数学的时候考试题是用逻辑证明:1+1=2
简单证明如下,不过罗素写了300页
The proof starts from the Peano Postulates, which define the natural
numbers N. N is the smallest set satisfying these postulates:
P1. 1 is in N.
P2. If x is in N, then its "successor" x' is in N.
P3. There is no x such that x' = 1.
P4. If x isn't 1, then there is a y in N such that y' = x.
P5. If S is a subset of N, 1 is in S, and the implication
(x in S => x' in S) holds, then S = N.
Then you have to define addition recursively:
Def: Let a and b be ... 阅读全帖 |
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I*********t
发帖数: 5258 | 3 其实你可以“证明”1+1=2的
http://mathforum.org/library/drmath/view/51551.html
The proof starts from the Peano Postulates, which define the natural numbers
N. N is the smallest set satisfying these postulates:
P1. 1 is in N.
P2. If x is in N, then its "successor" x' is in N.
P3. There is no x such that x' = 1.
P4. If x isn't 1, then there is a y in N such that y' = x.
P5. If S is a subset of N, 1 is in S, and the implication
(x in S => x' in S) holds, then S = N.
Then you have to defi... 阅读全帖 |
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s**********e
发帖数: 33562 | 4 "没有公理系统，确实不算是数学意义上的证明。"
这是你自己说的。你可提了几何二字？
事实上，赵爽的证明是可以补足剩下的严格的部分，那些都是体力活而已。但是最精彩
的构造的部分是他做的。Perelman也没有给出严格的证明，大家不都把功劳归到他头上
？按照你的逻辑，Perelman不也没有给出数学意义上的证明？
至于代数基本定理，高斯过了N年后才有选择公理Peano公理体系这些东西吧？
而且高斯做那么多几何的东西，却还不清楚第五公设到底是不是公设，那他不也是没有
严格的数学证明？ |
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b***e
发帖数: 1419 | 5 大哥，Godel证明的是算术系统的自洽性在算数系统本身的表示中是无法证明的。说白
了就是你自己没办法证明你自己是对（无矛盾）的。算术系统的自洽性由逻辑学家
Gentzen在1936年证明了。证明是基于ordinal counting和ordinal induction，所以不
是在Peano Arithmetic可以表示的范围内。故而和Godel's incompleteness不矛盾。
另外实数连续统的独立性（基于集合论的六条公理）不是Godel的工作。是P.J.科恩。
Gedel仅证明的无冲突。 |
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f*n
发帖数: 254 | 6 大叔，就这个话题来说，只能说，看错书了所以这么煞有介事。
打个比方，直角三角形俩直角边平方和等于斜边平方，偏不去看几何书，就要看一本
从逻辑角度看这个等式的书，当然无可厚非。逻辑就逻辑呗，但要把这个等式讲得多么
复杂多么深奥，好像多么新鲜深刻，其实只是说明逻辑不是解释这个问题的强项，放到
几何书里也就是个普通的技术细节罢了。
就这个构造自然数的话题而言，找一本代数书，翻到Peano公理，Zermelo有个构造法fi
，{fi},{{fi}}..，Neumann也有一个方案fi,{fi},{fi,{fi}}...，都是很具体的集合系
列构造。在代数书里，没有人对着这俩方案跳大神。 |
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wh
发帖数: 141625 | 7 【 以下文字转载自 Guang_Xi 讨论区 】
发信人: liozodell (山水白鹤), 信区: Guang_Xi
标 题: 理科生毁灭世界 （文科生慎入）
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Jul 25 04:44:54 2014, 美东)
刚看到一则。 直看得俺一愣一愣的，要疯掉了。 LOL！
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1、青年问禅师：“大师，我很爱我的女朋友，她也有很多优点，但是总有几个缺点让
我非常讨厌，有什么方法能让她改变？”
禅师浅笑，答：“方法很简单，不过若想我教你，你需先下山为我找一张只有正面没有
背面的纸回来。” 青年略一沉吟，掏出一个莫比乌斯环。
莫比乌斯环只有一面
2、青年问禅师：“我的心被忧愁和烦恼塞满了怎么办？”
禅师若有所思地说：“你随手画一条曲线。用放大镜放大了看。它的周围难道不是十分
明朗开阔吗？”
那个青年画了一条皮亚诺曲线。
皮亚诺曲线可以遍历单位正方形中所有的点，是一条充满空间的曲线
皮亚诺（Peano）曲线是一条能够填满正方形的曲线。在传统概念中，曲线的数维是1维
， 正方形是2维。
一... 阅读全帖 |
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l*****n
发帖数: 125 | 8 停机问题和哥德尔的不完备定理是不同的问题，前者是关于undecidability, 后者是关
于incompleteness，虽然直观上来说，他们的证明都和理发师悖论有关。
另外，first order logic是sound and complete的，只不过undecidable, 你说的 “
一阶逻辑的不自洽性和不完备性”是完全不存在的。哥德尔的不完备定理并不是说FOL
is incomplete，而是说任何可以包含peano arithmetic的证明系统是不完备的，这完
全是两回事。 |
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s**********n
发帖数: 3199 | 9 没看楼主原帖－－cs的表示有洁癖没法读．．．开始觉得你也是cs的，后来看到peano
arithmetic觉得你还是数学系底，，，
目测楼主所谓自洽不是sound把，是指consistency吧．．．当然consistency完全不足
与soundness,completeness并列，从cs角度，重要性难望soundness／completeness项
背。
洁癖再为你补充下：soundness指whatever provable (in the proof system) is
indeed semantically true (according to the logic) (completeness反之，any
truth is also provable)，严格说，soundness/completeness一起组成任何逻辑系统
的最重要性质－－即是否存在proof system that is sound and complete；稍次是
decidability涉及有无procedure可以在某proof system里能derive (prove) 所有
stateme... 阅读全帖 |
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z*****3
发帖数: 1793 | 10 首先，halting problem和 Godel's incompleteness theorem必然联系。Godel讲的就
是undecidability.我想你是没上过symbolic logic. 要学Godel's incompleteness
theorem必须先学decidability和undecidability。
http://en.wikipedia.org/wiki/On_Formally_Undecidable_Propositio
这篇文章就是出处。
其次，这里的不自洽性是inconsistent，和soundness没关系。Godel 我上symbolic
logic的时候老师是这样翻译的。soundness应该翻译成可靠性。
所以他说的是对的，
“Any effectively generated theory capable of expressing elementary
arithmetic cannot be both consistent and complete”
http://en.wikipedia.org/wiki/Göd... 阅读全帖 |
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l*****n
发帖数: 125 | 11
peano
我也是CS的。。。
我没有在翻译楼主的话，也没有把自洽翻译成sound，只是描述一个事实：FOL is
sound and complete.
Consistency一般是用来描述一个theory的，所以“一阶逻辑的不自洽性”就是个伪命
题，懒得说了。。
解释的挺好，可以再补充一点：一阶逻辑的完备性和哥德尔不完备性定理中的完备性是
两个不同的概念，前者是指一个证明系统，后者是指一个theory |
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r****y
发帖数: 26819 | 12 不对，学术版前几天讨论自然数的时候还有人要求用peano postulates证明1+1=2呢，估
计TV版上能做的人不到3个。。。 |
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s**l
发帖数: 11983 | 13 peano postulates是啥东东？
1＋1＝2, of course. 还要证明吗？
，估 |
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r****y
发帖数: 26819 | 14 要不说人家学术呢，学术就是最简单的东西都有很多说道。
peano postulates这种，抽象代数里类似的很多，定义运算然后玩证明的例子很多。 |
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F**********y
发帖数: 936 | 15 刘路是不是欠你钱了?先是贬journal of symbolic logic为二流甚至不入流的刊物，后
又说他的结果不怎么样。
你们新加坡国立大学数学系主任在那刊物上发过一篇，你能不能问问他他的其他文章投
J.Symbolic Logic,能否投中？
他也是数理逻辑界成名的人物，看看他的论文：
1. C. T. Chong and Yue Yang, $\Sigma_2$ induction and infinite injury
priority arguments. Part I: Maximal sets and the jump operator. J. Symbolic
Logic, 63 (1998), 797-814
2. C. T. Chong and Yue Yang, $\Sigma_2$ induction and infinite injury
priority arguments. Part II: Tame $\Sigma_2$ coding and the jump operator.
Annals of Pure and Applied Logic 87... 阅读全帖 |
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c**********r
发帖数: 891 | 16 我看你连“自然数”这个概念的数学定义都搞不清楚。
你说说怎么证明1+1=2，不等于3吧？用Peano Postulates.
我估计这种问题你连想都没想过，也就停留在掰手指的阶段，跟只会用计算器的老美有
半毛钱的区别。 |
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r****y
发帖数: 26819 | 17 这个，知道peano postulates，照着加法的定义就很容易证吧。
难度只是大多数人不知道有这么个东西而已。而不在于证明本身。 |
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f******k
发帖数: 297 | 18 peano curve. but it has to be self intersecting everywhere. |
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j******w
发帖数: 690 | 19 这个要看你相对于哪个公理系统。
如果是相对于PA(Peano axioms)证明PvsNP的独立性还有可能。但是这个基本也是毫无
进展。很多
搞证明论的试图在PA的极弱的子公理下证明PvsNP的独立性都没有成功。
如果是相对于ZFC就麻烦了。ZFC对于表述简单的命题有个绝对性原理。这本来对于证明
是件好事
情。但是如果这类简单的命题是独立于ZFC的，那么它的独立性都不可证。也就意味着
不能像
Cohen那样用个forcing 就造出来了。也许Pvs NP就是个大基数公理也说不定。 |
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L*****s
发帖数: 6046 | 20 希尔伯特
李文林
(中国科学院数学研究所)
希尔伯特，D．(Hilbert，David)1862年1月23日生于德国柯尼斯堡；1943年2月14
日卒于格丁根．数学．
希尔伯特出身于东普鲁士的一个中产家庭．祖父大卫·菲尔赫哥特·勒贝雷希特·
希尔伯特(David Fürchtegott LeberechtHilbert)和父亲奥托·希尔伯特(Otto
Hilbert)都是法官，祖父还获有“枢密顾问”头衔．母亲玛丽亚·特尔思·埃尔特曼(
Ma-ria Therse Erdtmann)是商人的女儿，颇具哲学、数学和天文学素养．希尔伯特幼
年受到母亲的教育、启蒙，八岁正式上学，入皇家腓特烈预科学校．这是一所有名的私
立学校，E．康德(Kant)曾就读于此．不过该校教育偏重文科，希尔伯特从小喜爱数学
，因此在最后一学期转到了更适合他的威廉预科学校．在那里，希尔伯特的成绩一跃而
上，各门皆优，数学则获最高分“超”．老师在毕业评语中写道：“该生对数学表现出
强烈兴趣，而且理解深刻，他用非常好的方法掌握了老师讲授的内容，并能有把握地、
灵活地应用它们．”
1880年秋，希尔伯特进柯尼斯堡大学攻读数学... 阅读全帖 |
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e*******n
发帖数: 4912 | 21 201. Nobert Wiener听学术报告的习惯是一般迟到几分钟，然后在
第一排坐下，拿出本杂志很认真的看，如果他比较累就会睡上
一觉，在报告快结束时问一个关键的问题，或者自己来做一个
小型报告
Wiener经常会让人列出美国最伟大的十个数学家，1930s有一
次在duke大学的一次数学会议上，一些人故意只列出9个，然
后观察Wiener那种表情
202. 在Princeton大学曾经流传着一些数学家证明定理的“显然”
标准
if Wedderburn says it's obvious,everybody in the
room has seen it ten minutes ago
if Bohnenblust says it's obvious,it's obvious
if Bochner says it's obvious,you can figure it out
in half an hour
if von Neumann says it's obvious,you can prove it
in three months if you are a genius
if... 阅读全帖 |
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l*******l
发帖数: 13923 | 22 刚看到一则。 直看得俺一愣一愣的，要疯掉了。 LOL！
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1、青年问禅师：“大师，我很爱我的女朋友，她也有很多优点，但是总有几个缺点让
我非常讨厌，有什么方法能让她改变？”
禅师浅笑，答：“方法很简单，不过若想我教你，你需先下山为我找一张只有正面没有
背面的纸回来。” 青年略一沉吟，掏出一个莫比乌斯环。
莫比乌斯环只有一面
2、青年问禅师：“我的心被忧愁和烦恼塞满了怎么办？”
禅师若有所思地说：“你随手画一条曲线。用放大镜放大了看。它的周围难道不是十分
明朗开阔吗？”
那个青年画了一条皮亚诺曲线。
皮亚诺曲线可以遍历单位正方形中所有的点，是一条充满空间的曲线
皮亚诺（Peano）曲线是一条能够填满正方形的曲线。在传统概念中，曲线的数维是1维
， 正方形是2维。
一般来说，一维的东西是不可能填满2维的方格的。但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例。
这说明我们对维数的认识是有缺陷的，有必要重新考察维数的定义。这就是分形几何考
虑的问题。在分形几何中， 维数可以是分数叫做分维。
此外皮亚诺曲线是连续的但处处不可导的曲线。因此如果我们... 阅读全帖 |
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h*******l
发帖数: 1542 | 23 华罗庚，陈景润，陈省身，丘成桐， Albert Einstein， James C. Maxwell，
Galileo Galilei， Aristotle， Abu Rayhan Biruni 以及底下100位数学家，携MIT,
CIT, Stanford, Princeton, Harvard, Yale, Chicago, Duke, Columbia, Berkeley,
Oxford, Cambridge, Indian Institute of Technology, Tsinghua, Beida, 中科大数
百万学生校友，向您发来贺电！
1. Isaac Newton
2. Archimedes
3. Carl F. Gauss
4. Leonhard Euler
5. Bernhard Riemann
6. Euclid
7. Henri Poincaré
8. Joseph-Louis Lagrange
9. David Hilbert
10. Gottfried W. Leibniz
11. Alexa... 阅读全帖 |
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