l******g
发帖数: 115 | 1 “孩子的心理虽然被传统文化扭曲，但他们找不到正确的坐标系作为参照，”
有那么不堪吗？
话说孩子不愿与父母交流在哪儿都能找出很多，中国，在美华人，美国白人家庭等等。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 2 但将来发展是有区别的，“一个人”将来发展的方向是整数系统/分数系统。
“一小时”将来发展的是实数系统。。。进一步说，时间独立于空间成为一
个独立的维度只是我们日常经验而已。当爱因斯坦狭义相对论把时空一体化
以后，变成了笛卡尔坐标系系统里的一个轴。。。至于广义相对论，出门，
左转，昏黄的路灯下，有本黎曼几何。。。 |
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i**e
发帖数: 19242 | 3 在海外，为何有的孩子不愿意与父母交流？
2011-11-29 20:14:02
--- 如何教育孩子系列（二）
润涛阎
11-29-2011
在国内，家长与孩子语言交流很少有障碍，因为孩子不论是在幼儿园、学校等社会上接
触的与在家中接受的都是同一的文化，那就是同样的传统文化。孩子的心理虽然被传统
文化扭曲，但他们找不到正确的坐标系作为参照，也就不得不认同了传统文化。但在海
外，尤其是与中国传统文化不兼容的西方文化，令孩子们感觉到夹在了两种文化之间，
他们通过比较、分析、鉴定，发现父母与他不是地位同等的思想交流，而是强者对弱者
带有野蛮性质的灌输。
中国的传统文化对孩子最大的摧残在于让他们自幼认同恃强凌弱的集体主义文化，把他
们的个体尊严彻底摧毁，以达到“统一思想，统一认识，统一行动”的目的，其过程类
似于驯化动物。孩子们虽然明白那是不对的，但他们无法知道如何从思想桎梏中走出来
，久而久之，也就成为被驯化好了的听话的没有自己独立思维能力的机器人。他们不知
道，集体主义文化其本质就是奴性文化，掌握生杀大权的人以集体的名义迫害他人，而
被迫害者束手无策，因为你的个体尊严早已被践踏的消失殆尽。... 阅读全帖 |
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n********h
发帖数: 13135 | 4 “对孩子来说，绕(2,2)可比原点难多了”，并不难，就是加个坐标系平移而已。 |
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a****g
发帖数: 3027 | 5 1. 任何一点（x,y）有对应(r，q)坐标，就是从原点（0,0)画个线，r是长短，q是和x
轴的角度，（0-360)
2. 平移坐标系原点到（2,2)，然后一样思路。
3。q+90 代替q-90
这种题目是基本概念，做会了就通了一大片知识。
数学稍微多做点有点点难度的题目有好处。这个应该是初中二年级的题目。 |
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E*********e
发帖数: 10297 | 7 四楼解得不错啊，就是证明了90度角的坐标变换
绕非原点的，加一个坐标系平移好了 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 8 小学数学所有的概念，外加不需要严格证明，其实都可以从概念/图示层次的不严格的
foundation of mathematics 或者 foundation of geometry，通过很少几步就可以导
出。。。如果概念有错，基本不超过三步就出现矛盾。。。甚至我觉得小学 algebra
都不需要学，就是个油漆瓶子外加描坐标系的活。。。
不过说是这么说，俺娃还是不行。。。不过现在还没开学，让俺娃多玩玩酱油体育了。
。。俺们目前不搞数学。。。 |
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s**********n
发帖数: 2343 | 9 数学大牛再给答个疑。 多谢。
为什么老美中学的直角平面坐标系，ｘ轴和ｙ轴都有两个箭头？这个箭头难道不代表正
方向？ |
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a*****g
发帖数: 19398 | 10 zz《棋事》专访鲍橒：用自己的头脑走人生迷局
引语：在江苏卫视的《最强大脑》节目中，鲍橒成功挑战蜂巢迷宫，满分晋级中国战队
。科学家表示，能走出这座迷宫的人不到1%、可以盲走的全世界不到10个、盲走并原路
返回的不会超过5个、盲走返回并画出正确路线的更是只有亿万分之一，因为该迷宫共有
约130位数的线路可能性，并且只能在迷宫中60度转弯，任何训练和练习全无效果，完全
依靠大脑。结果，鲍橒就是那亿万分之一的存在。而鲍橒却说，同等规模的迷宫其实不
如围棋有技战术含量。
记者采访前准备手记：
鲍橒，北京著名围棋棋手，业余6段，目前在香港做围棋教练。
毕业于清华大学计算机科学与技术系。
世界上有记载的第一个完成围棋盲棋的人。
围棋文化与规则理论研究学者。闭目运动的倡导者和先行者。
2015年参加江苏卫视《最强大脑》节目，盲走"蜂巢迷宫"成功，获满分。
细节：
挑战《最强大脑》之前，鲍橒在围棋盲棋界早已是赫赫有名。围棋世界里的盲棋因
为计算和记忆过于复杂和庞大，自古就有“仙人才能下完一盘完整盲棋”的说法。以前
人们的尝试均以失败告终，直到鲍橒出现，传说就此变成现实。
棋事：您是如何闯关成功的？可... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 11 发现俺这个证明方法不行，因为只用三角形内角和/平行四边形的角
以及 Algebra I，是算不出目标的那个角度的，那个得上 三角
（trigonometry）才行。。。俺错了。。。
不过俺可能可以用非笛卡尔坐标系加代数来解。。。等俺有空再说。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 12 非笛卡尔坐标系看来也不行，因为矩形问题也不直观。。。可能要上
对称性或者 transformation 。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 13 为了避免歧义，俺把俺的 cynical talking 用不严格的
大名词写一下：
我前面说的那个：“解析几何 + Algebra I + 已知斜率->
求笛卡尔坐标系旋转矩阵->求相对斜率”，实际的意思是：
For the similar geometric problems can be solved exclusively
using Euclidean Geometry taught in the average middle school
classrooms, such problems should be able to solve (in a routine
way) by:
1) Using the analytic geometry that limited to algebraic
expressions. (Transcendental constants are allowed, for sure.)
2) Writing algebraic equations for the shapes. Such equations
may contains "addi... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 14 三角函数是 transcendental function 吧。。。我前面说了要
选择合适的参数，以及发现合适的 proof path，来避免 proof
path 中出现 transcendental expression。。。我并不是说
死板地把每条直线给写成直线方程的那种。。。
你说的，旋转角度，那也是看啥时 on-demand 旋转多少，而不是
一个坐标系定死走到底的那种。
实际上，都在 algebraic function (no transcendental)
范畴内，还是分三六九等的，次数越低，根号越少，proof 越
简单明了。。。选择参数和 proof path 也是个艺术。
我真正的意思是，不需要去记忆比如 “四点共圆” 这种几百条
不常用的定理，把数学变成 trivia 大赛。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 15 我觉得应该用斜角坐标系或者向量代数是可以的，不平行没关系，
可以 on-demand 转轴。。。我待会儿再想想。。。
不过这两天讨论也看到了一般初中平几的最大弱点，也就是出题
空间太有限，题目的文字（或者图形文字），或者也就那么几个
做辅助线的可能，直接就提供了提示。。。导致根本不去理解题目
的 lexical analysis，比理解数学更有效。。。刷一下题也
更有效。。。就比如俺两天前，基本做不出平几题。。。但昨天
因为 dcbang 的一道题目，我就随手翻了翻初中平几书，看看
出题的空间，立马今天功力就大涨。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 16 直角/斜角坐标系，需要三角函数，是为了解析几何的完备性。。。扔掉完备性就不需
要，当然要堵掉所有需要三角函数的 proof path，当然这样 proof path 也就有些 "
离散化" 的感觉就是了。。。 |
|
t*******r
发帖数: 22634 | 17 这个计算要花一点时间，但是确实是可以避免三角函数，利用两个斜率之间
的关系。。。我不算到底了，毕竟没有高中生的体力也没高中生的时间，
但应该不难。。。附件里是参数选择来避免三角函数。。。
当然，这个问题，斜角坐标更简单就是了。。。不过俺首先想到第一步，就是
对于初中几何的问题，用解析几何解，选择合适参数可以避免三角（利用斜率
关系）。。。第二步是今天您提示了可以利用斜角坐标系，谢谢。。。 |
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m**k
发帖数: 18660 | 18 代数计算 也是计算
属于完全抛弃数图关系的算
比算数高级一点有限啊
而且多项式相承 系数可是指数性增加啊
这难道和练一样练耐力吗
还有我不觉得那个斜角坐标系在这里用的上啊 因为有角 一压扁 角就不等了啊
其实初等代数说回来 没有啥难度
难的就是三次方程那种玩变化 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 19 俺回来润色一下哈：
（1）设圆心为 O 点。
（2）设圆的半径为 1。
（3）设直角坐标系原点在圆心 O 点。
（3）设 OB 的斜率为 K1。
（4）设 OP 的斜率为 K2。
（5）然后因为要求证 EF*CD == AC*BD，为了避免根号数/根号项，
那就两边平方一下（numerical analysis 的一招鲜 trick 之一）。
改成求证 (EF^2)*(CD^2) == (AC^2)*(BD^2)。
然后俺目测了一下，基本可以 “一条勾股定理 + 一些二元二次
多项式” 打天下了。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 20 我觉得我可以改进的地方，可能是别把圆的半径设为 1。
我觉得可能这么设参数更好些（圆心为 O)：
（1）直角坐标系原点在圆心 O。
（2）x 轴平行于线段 AB。
（3）设 F 的坐标为 (1, Yf)。Yf 是参数。
（4）设 P / C / D 点的坐标分别为 (Xp, Yp) (Xc, Yc) (Xd, Yd)
然后是两类约束条件：
（a）圆圈约束:
Xp^2 + Yp^2 = Yf^2 + 3^2
Xc^2 + Yc^2 = Yf^2 + 3^2
Xd^2 + Yd^2 = Yf^2 + 3^2
（b）三点一线约束：
(Yp - Yf) / (Xp - 1) = (Yd - Yf) / (Xd - 1)
(Yp - Yf) / (Xp + 1) = (Yc - Yf) / (Xc + 1)
（对角相乘变成多项式）
然后把求证的改成 quadratic length，也就是计算：
(AC^2)*(BD^2) - 4*(CD^2)
结果应该 = 0
不知道是不是可行。。。
再想想能不能更简化。。。 |
|
t*******r
发帖数: 22634 | 21 我在猜这道题在解析几何的基础上，是不是可以用微积分
来降阶求解/求证？
因为如果 F(x1, x2, x3, ...) == Const，那么
其充分且必要条件是：
dF(x1, x2, x3, ...) / dx1 == 0
dF(x1, x2, x3, ...) / dx2 == 0
....
这样把一个多元 N 次方程，降阶为 N 个多元 N-1 次方程。
这个过程是不是迭代，然后 recursive down 而可以用
电算证明？
如果能证明是 Const，那就随便选一个点计算一下差值为零？
我觉得我可以改进的地方，可能是别把圆的半径设为 1。
我觉得可能这么设参数更好些（圆心为 O)：
（1）直角坐标系原点在圆心 O。
（2）x 轴平行于线段 AB。
（3）设 F 的坐标为 (1, Yf)。Yf 是参数。
（4）设 P / C / D 点的坐标分别为 (Xp, Yp) (Xc, Yc) (Xd, Yd)
然后是两类约束条件：
（a）圆圈约束:
Xp^2 + Yp^2 = Yf^2 + 3^2
Xc^2 + Yc^2 = Yf^2 + 3^2
Xd^2 + Yd^2 = Yf... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 22 也许这类问题总共就三类：
（第一类）三角形内角外角关系，所有东东都通过简单直接的全等相似三角形。
（第二类）貌似角度相等问题，实际上都是斜率相等问题。勾股定理打天下，
遇上平行四边形考虑斜角坐标系和特殊角。
（第三类）所有东东基本上都在一个圆内，基本就是圆和弦的问题。参数都
设成角度，然后极坐标和三角函数打天下。
考虑到初中欧氏平几的理论的不完备性。。。出题空间也极其可能是不连续的，
也就是几个子集的并集，当中没有过渡区。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 23 发现俺这个证明方法不行，因为只用三角形内角和/平行四边形的角
以及 Algebra I，是算不出目标的那个角度的，那个得上 三角
（trigonometry）才行。。。俺错了。。。
不过俺可能可以用非笛卡尔坐标系加代数来解。。。等俺有空再说。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 24 非笛卡尔坐标系看来也不行，因为矩形问题也不直观。。。可能要上
对称性或者 transformation 。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 25 为了避免歧义，俺把俺的 cynical talking 用不严格的
大名词写一下：
我前面说的那个：“解析几何 + Algebra I + 已知斜率->
求笛卡尔坐标系旋转矩阵->求相对斜率”，实际的意思是：
For the similar geometric problems can be solved exclusively
using Euclidean Geometry taught in the average middle school
classrooms, such problems should be able to solve (in a routine
way) by:
1) Using the analytic geometry that limited to algebraic
expressions. (Transcendental constants are allowed, for sure.)
2) Writing algebraic equations for the shapes. Such equations
may contains "addi... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 26 三角函数是 transcendental function 吧。。。我前面说了要
选择合适的参数，以及发现合适的 proof path，来避免 proof
path 中出现 transcendental expression。。。我并不是说
死板地把每条直线给写成直线方程的那种。。。
你说的，旋转角度，那也是看啥时 on-demand 旋转多少，而不是
一个坐标系定死走到底的那种。
实际上，都在 algebraic function (no transcendental)
范畴内，还是分三六九等的，次数越低，根号越少，proof 越
简单明了。。。选择参数和 proof path 也是个艺术。
我真正的意思是，不需要去记忆比如 “四点共圆” 这种几百条
不常用的定理，把数学变成 trivia 大赛。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 27 我觉得应该用斜角坐标系或者向量代数是可以的，不平行没关系，
可以 on-demand 转轴。。。我待会儿再想想。。。
不过这两天讨论也看到了一般初中平几的最大弱点，也就是出题
空间太有限，题目的文字（或者图形文字），或者也就那么几个
做辅助线的可能，直接就提供了提示。。。导致根本不去理解题目
的 lexical analysis，比理解数学更有效。。。刷一下题也
更有效。。。就比如俺两天前，基本做不出平几题。。。但昨天
因为 dcbang 的一道题目，我就随手翻了翻初中平几书，看看
出题的空间，立马今天功力就大涨。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 28 直角/斜角坐标系，需要三角函数，是为了解析几何的完备性。。。扔掉完备性就不需
要，当然要堵掉所有需要三角函数的 proof path，当然这样 proof path 也就有些 "
离散化" 的感觉就是了。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 29 这个计算要花一点时间，但是确实是可以避免三角函数，利用两个斜率之间
的关系。。。我不算到底了，毕竟没有高中生的体力也没高中生的时间，
但应该不难。。。附件里是参数选择来避免三角函数。。。
当然，这个问题，斜角坐标更简单就是了。。。不过俺首先想到第一步，就是
对于初中几何的问题，用解析几何解，选择合适参数可以避免三角（利用斜率
关系）。。。第二步是今天您提示了可以利用斜角坐标系，谢谢。。。 |
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m**k
发帖数: 18660 | 30 代数计算 也是计算
属于完全抛弃数图关系的算
比算数高级一点有限啊
而且多项式相承 系数可是指数性增加啊
这难道和练一样练耐力吗
还有我不觉得那个斜角坐标系在这里用的上啊 因为有角 一压扁 角就不等了啊
其实初等代数说回来 没有啥难度
难的就是三次方程那种玩变化 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 31 俺回来润色一下哈：
（1）设圆心为 O 点。
（2）设圆的半径为 1。
（3）设直角坐标系原点在圆心 O 点。
（3）设 OB 的斜率为 K1。
（4）设 OP 的斜率为 K2。
（5）然后因为要求证 EF*CD == AC*BD，为了避免根号数/根号项，
那就两边平方一下（numerical analysis 的一招鲜 trick 之一）。
改成求证 (EF^2)*(CD^2) == (AC^2)*(BD^2)。
然后俺目测了一下，基本可以 “一条勾股定理 + 一些二元二次
多项式” 打天下了。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 32 我觉得我可以改进的地方，可能是别把圆的半径设为 1。
我觉得可能这么设参数更好些（圆心为 O)：
（1）直角坐标系原点在圆心 O。
（2）x 轴平行于线段 AB。
（3）设 F 的坐标为 (1, Yf)。Yf 是参数。
（4）设 P / C / D 点的坐标分别为 (Xp, Yp) (Xc, Yc) (Xd, Yd)
然后是两类约束条件：
（a）圆圈约束:
Xp^2 + Yp^2 = Yf^2 + 3^2
Xc^2 + Yc^2 = Yf^2 + 3^2
Xd^2 + Yd^2 = Yf^2 + 3^2
（b）三点一线约束：
(Yp - Yf) / (Xp - 1) = (Yd - Yf) / (Xd - 1)
(Yp - Yf) / (Xp + 1) = (Yc - Yf) / (Xc + 1)
（对角相乘变成多项式）
然后把求证的改成 quadratic length，也就是计算：
(AC^2)*(BD^2) - 4*(CD^2)
结果应该 = 0
不知道是不是可行。。。
再想想能不能更简化。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 33 我在猜这道题在解析几何的基础上，是不是可以用微积分
来降阶求解/求证？
因为如果 F(x1, x2, x3, ...) == Const，那么
其充分且必要条件是：
dF(x1, x2, x3, ...) / dx1 == 0
dF(x1, x2, x3, ...) / dx2 == 0
....
这样把一个多元 N 次方程，降阶为 N 个多元 N-1 次方程。
这个过程是不是迭代，然后 recursive down 而可以用
电算证明？
如果能证明是 Const，那就随便选一个点计算一下差值为零？
我觉得我可以改进的地方，可能是别把圆的半径设为 1。
我觉得可能这么设参数更好些（圆心为 O)：
（1）直角坐标系原点在圆心 O。
（2）x 轴平行于线段 AB。
（3）设 F 的坐标为 (1, Yf)。Yf 是参数。
（4）设 P / C / D 点的坐标分别为 (Xp, Yp) (Xc, Yc) (Xd, Yd)
然后是两类约束条件：
（a）圆圈约束:
Xp^2 + Yp^2 = Yf^2 + 3^2
Xc^2 + Yc^2 = Yf^2 + 3^2
Xd^2 + Yd^2 = Yf... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 34 也许这类问题总共就三类：
（第一类）三角形内角外角关系，所有东东都通过简单直接的全等相似三角形。
（第二类）貌似角度相等问题，实际上都是斜率相等问题。勾股定理打天下，
遇上平行四边形考虑斜角坐标系和特殊角。
（第三类）所有东东基本上都在一个圆内，基本就是圆和弦的问题。参数都
设成角度，然后极坐标和三角函数打天下。
考虑到初中欧氏平几的理论的不完备性。。。出题空间也极其可能是不连续的，
也就是几个子集的并集，当中没有过渡区。 |
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p**s
发帖数: 2707 | 35 几个关键词，determine,center,rayon，前一题里都出现了
第一句我估计就是在直角坐标系(O,i,j)里，O指原点，i,j是x,y方向的意思 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 36 楼主这些题的确不需要狠刷题型。。。只要掌握两个基本概念 (1) 分配率 (2) 勾股定
理。。。外加五个基本技巧 (1) 方程配平 (2) 二次函数的 vertex form (3)斜率和相
关相似或全等直角三角形 (4) 坐标系平移 (5) 切向和法向。。。这样即使不备考不记
忆公式，多半也一辈子不会忘记。。。这些题，说白了都是一个模子里出来的题，其实
做来做去都是在做同一道题。。。
不过基本概念和基本技巧，这种基本能力层次的东东，倒是全靠拼趣味 puzzle 题的小
时数拼出来的。。。pre-algebra 的整整三年，都是用玩趣味题的姿势，在拼这些基本
能力的小时数。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 37 我用 gnuplot 画了你的第一张红线图。不过 gnuplot 只能上直角坐标系了，
对称美只能将就一下，懒人首先是省事！！！。。。gnuplot code 见下面，
图见附件：
set xrange [ 0 : 9 ] ; set yrange [ 0 : 5 ] ; set grid ;
plot 12-x linecolor -1 linewidth 3 ;
set style arrow 1 linecolor 1 linewidth 3 size 0.3, 10;
set arrow 1 from 0,0 to 0,5 as 1 ;
set arrow 2 from 0,5 to 5,0 as 1 ;
set arrow 3 from 5,0 to 5,5 as 1 ;
set arrow 4 from 5,5 to 9,1 as 1 ;
set arrow 5 from 9,1 to 0,1 as 1 ;
set arrow 6 from 0,1 to 1,0 as 1 ;
set arrow 7 from 1,0 to 1,5 as 1 ;
set arrow 8 fr... 阅读全帖 |
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s*******n
发帖数: 4402 | 38 学中文[不利于]第二代人融入，我说得很清楚，如果你不明白可以回去看我的论述；
我也不勉强你同意，我只是把我认为的讲出来。
如果特别有天赋特别聪明，不影响母语的情况下，没有关系，但我怀疑，
如果没有时间，还是因为集中所有精力学习母语，不要以为英语比我们第一代好就是好，
要比母语中的人好才是好，楼上几个就是纠结这个，他们以为小孩英语只要比第一代好
就行了，又是把坐标系搞错了，
正常理性的人都知道我在说什么，不理解也不勉强。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 39 我上面说的太云里雾里。我觉得要么举一个实际的例子，比如上次欧洲妈妈
那个圆/椭圆解析几何方程题，还有我也不知道为啥要人背诵二次方程求根
公式，等等等等。
我觉得绝大部分跟二次函数/方程有关的玩意儿，八九不离十就是凑
Vertex Form of Quadratic Functions。从 vertex form 直接抢滩
就完事了，相关课程直接免修。
其实 vertex form of quadratic functions 也不用学，也就是 多项式
+ 分配率 + 变量替换 + 坐标系移轴。也就是抢滩速度慢点。
当然，说也就是这么说。就这么简单的玩意儿，教会普通白纸娃还是不容易的。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 40 AMC10 的解法是标准的，但写得有点 ELA 化我觉得。
当然我也不知道是 (1) ELA 型分情况讨论解释，(2) 还是代数符号系统的好比 piece-
wise linear 概念的一步一步 substitution 的解释，外加解析几何坐标系建模直观化
；哪个对娃更容易理解一些。
这个解释的 ELA 化，在 AMC 8 / 10 里面还是有一定普遍性的，拿出来讨论一下。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 41 如果按标准代数 piece-wise linear 进行 substitution，那么 |2y+6| 这个
expression 被 substitute 成如下的 piece-wise function:
(2y+6), y ≧ -3
-(2y+6), y < -3
把上面 piece-wise expression/function 搞进原方程成为 piece-wise equation，这
样就不会出错。
还可以用解析几何坐标系画一下，当然考试时省时间就不必了。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 42 对于 pre-algebra “分数应用题” 里的那些 “速度问题” 啥的，这个在教娃方面
难坏我了。我曾经一直都不知道咋用 pre-algebra 的 verbal loics 来教娃。
但我后来觉得不如先让娃有 algebra 的概念，然后把速度问题直接用解析几何
坐标系的图形化后解释。这招貌似非常给力，娃马上可以知道咋解速度问题了。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 43 当然有人估计会问，你这个连变量、方程和坐标系啥都没有，也算是 “代数+
解析几何”？
这回到关键的问题，“算术” vs “代数+解析几何”，到底是啥差别？我个人
大胆假设，“算术” 是属于 Concrete Operation 的思维，而 “代数+解析几何”
是属于 Formal Operation 的思维。而其中的 leap，是 Formal-Operation-Friendly
Modelling 和 Formal-Operation-Based Deduction / Induction。
所以如果从上面这个角度看，这里的 “代数” 就变成了 “Decision Tree + Ring
Structure”，这里的 “解析几何” 就变成了 “Transformation Geometry /
Topology”。换汤不换药，属于旧的 formal system 披上了一件新马甲。
我个人觉得就是因为这个，俺两年前就打算教娃这个我画的图（否则我也不会吃饱了
撑的去画张图），结果发现我娃不 ready。我担心把娃教成 pattern recognition
型人肉计算器，所以我果断躺... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 44 当然有人估计会问，你这个连变量、方程和坐标系啥都没有，也算是 “代数+
解析几何”？
这回到关键的问题，“算术” vs “代数+解析几何”，到底是啥差别？我个人
大胆假设，“算术” 是属于 Concrete Operation 的思维，而 “代数+解析几何”
是属于 Formal Operation 的思维。而其中的 leap，是 Formal-Operation-Friendly
Modelling 和 Formal-Operation-Based Deduction / Induction。
所以如果从上面这个角度看，这里的 “代数” 就变成了 “Decision Tree + Ring
Structure”，这里的 “解析几何” 就变成了 “Transformation Geometry /
Topology”。换汤不换药，属于旧的 formal system 披上了一件新马甲。
我个人觉得就是因为这个，俺两年前就打算教娃这个我画的图（否则我也不会吃饱了
撑的去画张图），结果发现我娃不 ready。我担心把娃教成 pattern recognition
型人肉计算器，所以我果断躺... 阅读全帖 |
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C*****d
发帖数: 2253 | 45 似乎有点明白你说的是什么。
数学系统本身其实是独立于描述方式而存在的。
比如一个曲线，搞不同的坐标系有不同的表达，但是本质是一致的。
另一个代表就是线性代数，搞来搞去就是同一问题在不同矢量空间的映射。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 46 （接上贴）
我把我前面的四点，写成大致严格（但不完全严格）的近代解析几何加
集合论的证明：
（1）选取坐标系原点在题目给定的大正方形的中心，x 轴平行于
大正方形的边。（咋选都无所谓，就是为了方便）。
（2）所有可能的正方形的集合，可以用正方形中心的坐标 (x, y)，
以及正方形的倾角 alpha，还有正方形的半边长 l，来确定。
（3）也就是所有可能的正方形，都可以一一映射到 quadruplet
(x, y, alpha, l) 所构造的集合。其实 x 属于实数集合 R，
y 属于实数集合 R，alpha 属于实数区间 [0, 90)，
l 属于实数区间 (0, pos_infinite)。
（下帖待续） |
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t******l
发帖数: 10908 | 47 其实从初中 AMC10 level 的角度看，完备地连接 angle 和 slope 的桥梁，是
trigonometry functions，而不是孤零零的 pi 的一个值。
只要有了 trigonometry functions，pi 的值可以直接由 trigonometry functions 和
calculus 导出。
这个就好比小学欧几里德老师无限崇拜平行公理。但在初中 AMC 10 level 时，有笛卡
尔坐标系、实数集和实数完备性公理、外加有三角函数的解析几何/猴版 xform
geometry 里，平行就不是啥事。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 48 另外我觉得我们的数学概念教育确实有问题，point-slope 直线的概念是绝对不应该当
机械来讲的。。。arguably，point-slope 直线的概念，是背靠着欧几里德第四第五公
理，和勾股定理并肩，成为构筑起笛卡尔坐标系解析几何的两块最最重要的概念基石。
。。
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：【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】 |
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t******l
发帖数: 10908 | 49 忍不住说几句，这个 point-slope 对应于平直空间里的 "straight"，不用相
似三角形概念证明一下，是说不过去的。。。因为这玩意儿根本不是直观到像欧几里德
/希尔伯特前几条又臭又长的公理不用说明，拿张纸直观对折就完事了。。。否则的话
，我们还要欧几里德第四第五公理干嘛？。。。勾股定理也不用那么麻烦的证明了。。
。三角形内角和也别证明啦。。。统统回到 pre-operational 算了。。。
其实我觉得基本应该是欧几里德那边从第四第五公理开始，笛卡尔那边从实数连续性完
备性公理开始，概念级不太严格的证明都得走一遍，否则严格而言属于高中数学肄业。
。。话糙理不糙。。。
：另外我觉得我们的数学概念教育确实有问题，point-slope 直线的概念是绝对不应该
当机械来讲的。。。arguably，point-slope 直线的概念，是背靠着欧几里德第四第五
公理，和勾股定理并肩，成为构筑起笛卡尔坐标系解析几何的两块最最重要的概念基石
。。。
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t******l
发帖数: 10908 | 50 你这个链接里的图形不错，但我觉得文章可能把因果关系搞反了。。。我觉得是大脑里
的先验知识经验直感的不同，导致大脑预处理大致概略图像以后，驱动眼睛注重在图像
不同的局部找细节，而不是反过来图像驱动大脑。
或者拿中学几何题目做比方好了。。。即使对于同一个人看同一道题目的图形，如果
wishful
thinking 决定先尝试 欧几/解几/三角 的决定不同，那眼睛观察的重点和找辅助线立
马就不一样了。。。因为欧几的直感是通常是对称/全等/相似三角形；解几的直感通常
是坐标系加直线点斜式表达；三角函数的直感通常是直角三角形但不需要相似。。。至
于盯着图形当中看半天的情况，或者盯着最大的形状看半天的情况，十之八九是几何学
不及格，completely clueless 二十分钟以后，交白卷！
：看看这个吧： |
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