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发帖数: 1680 | 1 AlphaGo相关技术：蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介
2016-03-13 王晓勇 算法与数据结构
来自：科学网王晓勇博客
链接：http://blog.sciencenet.cn/blog-324394-292355.html（点击尾部阅读原文前往）
AlphaGo能够成功击败专业棋手的功臣之一：蒙特卡罗树搜索（Monte Carlo Tree
Search）。
相关文章阅读：《AlphaGo背后的搜索算法：蒙特卡罗树搜索》
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，也称为计算机随机模拟方法，是一种基于"随机数"的计
算方法。
一、起源
这一方法源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的"曼哈顿计划"。Monte Carlo方法
创始人主要是这四位：Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann（
学计算机的肯定都认识这个牛人吧）和 Nicholas Metropolis。
Stanislaw Marcin Ulam是波兰裔美籍数学家，早年是研究拓扑的，后因参与曼哈顿工
程，兴趣遂转向应用数学，他首先提出用Monte Carlo方法解决计算数学中的一些问题
，然后又将其应用到解决链式反应的理论中去，可以说是MC方法的奠基人；Enrico
Fermi是个物理大牛，理论和实验同时都是大牛，这在物理界很少见，在“物理大牛的
八卦”那篇文章里提到这个人很多次，对于这么牛的人只能是英年早逝了（别说我嘴损
啊，上帝都嫉妒！）；John von Neumann可以说是计算机界的牛顿吧，太牛了，结果和
Fermi一样，被上帝嫉妒了；Nicholas Metropolis，希腊裔美籍数学家，物理学家，计
算机科学家，这个人对Monte Carlo方法做的贡献相当大，正式由于他提出的一种什么
算法（名字忘了），才使得Monte Carlo方法能够得到如此广泛的应用，这人现在还活
着，与前几位牛人不同，Metropolis很专一，他一生主要的贡献就是Monte Carlo方法。
蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特
·罗方法正是以概率为基础的方法。与它对应的是确定性算法。
二、 解决问题的基本思路
Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知
道用事件发生的"频率"来决定事件的"概率"。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周
率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用
数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
为了说明Monte Carlo方法的基本思想，让我们先来看一个简单的例子，从此例中你可
以感受如何用Monte Carlo方法考虑问题。
例1:比如y=x^2(对x)从0积到1。结果就是下图红色部分的面积：
注意到函数在(1,1)点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。所
以所求区域的面积即为 在正方形区域内任取点，点落在所求区域的概率。这个限制条
件是y
1）总结Monte Carlo方法的基本思想：所求解问题是某随机事件A出现的概率（或者是
某随机变量B的期望值）。通过某种“实验”的方法，得出A事件出现的频率，以此估计
出A事件出现的概率（或者得到随机变量B的某些数字特征，得出B的期望值）。
2）工作过程
在解决实际问题的时候应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：
用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。
用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。
3）蒙特卡罗解题三个主要步骤：
（1）构造或描述概率过程： 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要
是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积
分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要
将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。
（2）实现从已知概率分布抽样： 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作
是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），
就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的
原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布
）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的
一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问
题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂
贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真
正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验
表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机
数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方
法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，
随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 建立各种估计量： 一般说来，构造了概
率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求
的问题的解，我们称它为无偏估计。
（3）建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解
。 例如：检验产品的正品率问题，我们可以用1表示正品，0表示次品，于是对每个产
品检验可以定义如下的随机变数Ti，作为正品率的估计量： 于是，在N次实验后，正品
个数为： 显然，正品率p为： 不难看出，Ti为无偏估计。当然，还可以引入其它类型
的估计，如最大似然估计，渐进有偏估计等。但是，在蒙特卡罗计算中，使用最多的是
无偏估计。 用比较抽象的概率语言描述蒙特卡罗方法解题的手续如下：构造一个概率
空间(W ,A,P)，其中，W 是一个事件集合，A是集合W 的子集的s 体，P是在A上建立的
某个概率测度；在这个概率空间中，选取一个随机变量q (w ),w Î W ,使得这个
随机变量的期望值 正好是所要求的解Q ，然后用q (w )的简单子样的算术平均值作为Q
的近似值。
三 、本方法特点
直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
MC程序结构清晰简单。
研究人员采用MC方法编写程序来解决粒子输运问题，比较容易得到自己想得到的任意中
间结果，应用灵活性强。
MC方法主要弱点是收敛速度较慢和误差的概率性质，其概率误差正比于，如果单纯以增
大抽样粒子个数N来减小误差，就要增加很大的计算量。
另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法-"拟蒙特卡罗方法"(Quasi
-Monte Carlo方法)-近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的"华-王"
方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是"用确定性的超均匀分布序列(数学上称为
Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方
法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。
蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学
计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。
四、Monte Carlo方法的计算程序
关于蒙特卡罗方法的计算程序已经有很多，如：EGS4、FLUKA、ETRAN、ITS、MCNP、
GEANT等。这些程序大多经过了多年的发展，花费了几百人年的工作量。除欧洲核子研
究中心（CERN）发行的GEANT主要用于高能物理探测器响应和粒子径迹的模拟外，其它
程序都深入到低能领域，并被广泛应用。就电子和光子输运的模拟而言，这些程序可被
分为两个系列：
1、EGS4、FLUKA、GRANT
2、ETRAN、ITS、MCNP 这两个系列的区别在于：对于电子输运过程的模拟根据不同的理
论采用了不同的算法。
EGS4和ETRAN分别为两个系列的基础，其它程序都采用了它们的核心算法。
ETRAN(for Electron Transport)由美国国家标准局辐射研究中心开发，主要模拟光子
和电子，能量范围可从1KeV到1GeV。
ITS(The integrated TIGER Series of Coupled Electron/Photon Monte Carlo
Transport Codes )是由美国圣地亚哥（Sandia）国家实验室在ETRAN的基础上开发的一
系列模拟计算程序，包括TIGER 、CYLTRAN 、ACCEPT等，它们的主要差别在于几何模型
的不同。
TIGER研究的是一维多层的问题，CYLTRAN研究的是粒子在圆柱形介质中的输运问题，
ACCEPT是解决粒子在三维空间输运的通用程序。
NCNP(Monte Carlo Neutron and Photo Transport Code)由美国橡树林国家实验室(Oak
Ridge National Laboratory)开发的一套模拟中子、光子和电子在物质中输运过程的
通用MC 计算程序，在它早期的版本中并不包含对电子输运过程的模拟，只模拟中子和
光子，较新的版本（如MCNP4A）则引进了ETRAN，加入了对电子的模拟。
FLUKA 是一个可以模拟包括中子、电子、光子和质子等30余种粒子的大型MC计算程序，
它把EGS4容纳进来以完成对光子和电子输运过程的模拟，并且对低能电子的输运算法进
行了改进。
五 、Monte Carlo方法相关的一些资料
一个网站：http://csep1.phy.ornl.gov/mc/mc.html
《蒙特卡罗方法》 徐钟济著 上海科学技术出版社
《科学计算中的蒙特卡罗策略》(当代科学前沿论丛)(Monte Carlo Strategies in
Scientific Computing) 作者:刘军 译者:唐年胜 周勇 徐亮
统计物理学中的蒙特卡罗模拟方法 ( 德) 宾德(Binder,K.),赫尔曼
(Heermann,D.W.) 著 北京大学出版社 1994.2
小尺寸半导体器件的蒙特卡罗模拟 叶良修编著 科学出版社 1997.2
蒙特卡罗方法及其在粒子输运问题中的应用 裴鹿成, 张孝泽著 科学出版社 1980.
10
统计试验法:( 蒙特卡罗法) 及其在电子数字计算机上的实现 (苏) 布斯连科( Н. П
. Бусленко), (苏) 施 上海科学技术出版社
若干本书：人大经济论坛http://www.pinggu.org/bbs/thread-445802-1-1.html
高分子科学中的Monte Carlo方法 杨玉良 复旦大学出版社 1993.12 7-309-01361-
1
Monte Carlo simulation of semiconductor devices C. Moglestue. Chapman &
Hall， 1993. 041247770X
Monte Carlo methods in statistical physics with contributions by K. Binder
... [et al.] ; edi Springer-Verlag, 1979.
guide to Monte Carlo simulations in statistical physics David P. Landau,
Kurt Binder. Cambridge University Press, c2000.
Monte Carlo methods in statistical physics edited by K. Binder ; with
contributions by K. Bin Springer-Verlag, c1986.
Applications of the Monte Carlo method in statistical physics edited by K.
Binder. Springer, 1984.
Monte Carlo Device Simulation Karl Hess Kluwer Acadmic
参考资料：
1、http://baike.baidu.com/view/1675475.htm?fr=ala0_1
2、http://baike.baidu.com/view/42460.htm?fr=ala0_1_1
3、http://gorilla.blogbus.com/logs/4669.html
4、http://blog.sina.com.cn/s/blog_5e8154170100cgc4.html
5、http://www.charlesgao.com/?p=121
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2016-03-13 王晓勇 算法与数据结构
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Search）。
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蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，也称为计算机随机模拟方法，是一种基于"随机数"的计
算方法。
一、起源
这一方法源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的"曼哈顿计划"。Monte Carlo方法
创始人主要是这四位：Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann（
学计算机的肯定都认识这个牛人吧）和 Nicholas Metropolis。
Stanislaw Marcin Ulam是波兰裔美籍数学家，早年是研究拓扑的，后因参与曼哈顿工
程，兴趣遂转向应用数学，他首先提出用Monte Carlo方法解决计算数学中的一些问题
，然后又将其应用到解决链式反应的理论中去，可以说是MC方法的奠基人；Enrico
Fermi是个物理大牛，理论和实验同时都是大牛，这在物理界很少见，在“物理大牛的
八卦”那篇文章里提到这个人很多次，对于这么牛的人只能是英年早逝了（别说我嘴损
啊，上帝都嫉妒！）；John von Neumann可以说是计算机界的牛顿吧，太牛了，结果和
Fermi一样，被上帝嫉妒了；Nicholas Metropolis，希腊裔美籍数学家，物理学家，计
算机科学家，这个人对Monte Carlo方法做的贡献相当大，正式由于他提出的一种什么
算法（名字忘了），才使得Monte Carlo方法能够得到如此广泛的应用，这人现在还活
着，与前几位牛人不同，Metropolis很专一，他一生主要的贡献就是Monte Carlo方法。
蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特
·罗方法正是以概率为基础的方法。与它对应的是确定性算法。
二、 解决问题的基本思路
Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知
道用事件发生的"频率"来决定事件的"概率"。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周
率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用
数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
为了说明Monte Carlo方法的基本思想，让我们先来看一个简单的例子，从此例中你可
以感受如何用Monte Carlo方法考虑问题。
例1:比如y=x^2(对x)从0积到1。结果就是下图红色部分的面积：
注意到函数在(1,1)点的取值为1，所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。所
以所求区域的面积即为 在正方形区域内任取点，点落在所求区域的概率。这个限制条
件是y
1）总结Monte Carlo方法的基本思想：所求解问题是某随机事件A出现的概率（或者是
某随机变量B的期望值）。通过某种“实验”的方法，得出A事件出现的频率，以此估计
出A事件出现的概率（或者得到随机变量B的某些数字特征，得出B的期望值）。
2）工作过程
在解决实际问题的时候应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：
用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。
用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。
3）蒙特卡罗解题三个主要步骤：
（1）构造或描述概率过程： 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要
是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积
分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要
将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。
（2）实现从已知概率分布抽样： 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作
是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），
就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的
原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布
）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的
一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问
题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂
贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真
正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验
表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机
数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方
法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，
随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 建立各种估计量： 一般说来，构造了概
率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求
的问题的解，我们称它为无偏估计。
（3）建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解
。 例如：检验产品的正品率问题，我们可以用1表示正品，0表示次品，于是对每个产
品检验可以定义如下的随机变数Ti，作为正品率的估计量： 于是，在N次实验后，正品
个数为： 显然，正品率p为： 不难看出，Ti为无偏估计。当然，还可以引入其它类型
的估计，如最大似然估计，渐进有偏估计等。但是，在蒙特卡罗计算中，使用最多的是
无偏估计。 用比较抽象的概率语言描述蒙特卡罗方法解题的手续如下：构造一个概率
空间(W ,A,P)，其中，W 是一个事件集合，A是集合W 的子集的s 体，P是在A上建立的
某个概率测度；在这个概率空间中，选取一个随机变量q (w ),w Î W ,使得这个
随机变量的期望值 正好是所要求的解Q ，然后用q (w )的简单子样的算术平均值作为Q
的近似值。
三 、本方法特点
直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
MC程序结构清晰简单。
研究人员采用MC方法编写程序来解决粒子输运问题，比较容易得到自己想得到的任意中
间结果，应用灵活性强。
MC方法主要弱点是收敛速度较慢和误差的概率性质，其概率误差正比于，如果单纯以增
大抽样粒子个数N来减小误差，就要增加很大的计算量。
另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法-"拟蒙特卡罗方法"(Quasi
-Monte Carlo方法)-近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的"华-王"
方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是"用确定性的超均匀分布序列(数学上称为
Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方
法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。
蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学
计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。
四、Monte Carlo方法的计算程序
关于蒙特卡罗方法的计算程序已经有很多，如：EGS4、FLUKA、ETRAN、ITS、MCNP、
GEANT等。这些程序大多经过了多年的发展，花费了几百人年的工作量。除欧洲核子研
究中心（CERN）发行的GEANT主要用于高能物理探测器响应和粒子径迹的模拟外，其它
程序都深入到低能领域，并被广泛应用。就电子和光子输运的模拟而言，这些程序可被
分为两个系列：
1、EGS4、FLUKA、GRANT
2、ETRAN、ITS、MCNP 这两个系列的区别在于：对于电子输运过程的模拟根据不同的理
论采用了不同的算法。
EGS4和ETRAN分别为两个系列的基础，其它程序都采用了它们的核心算法。
ETRAN(for Electron Transport)由美国国家标准局辐射研究中心开发，主要模拟光子
和电子，能量范围可从1KeV到1GeV。
ITS(The integrated TIGER Series of Coupled Electron/Photon Monte Carlo
Transport Codes )是由美国圣地亚哥（Sandia）国家实验室在ETRAN的基础上开发的一
系列模拟计算程序，包括TIGER 、CYLTRAN 、ACCEPT等，它们的主要差别在于几何模型
的不同。
TIGER研究的是一维多层的问题，CYLTRAN研究的是粒子在圆柱形介质中的输运问题，
ACCEPT是解决粒子在三维空间输运的通用程序。
NCNP(Monte Carlo Neutron and Photo Transport Code)由美国橡树林国家实验室(Oak
Ridge National Laboratory)开发的一套模拟中子、光子和电子在物质中输运过程的
通用MC 计算程序，在它早期的版本中并不包含对电子输运过程的模拟，只模拟中子和
光子，较新的版本（如MCNP4A）则引进了ETRAN，加入了对电子的模拟。
FLUKA 是一个可以模拟包括中子、电子、光子和质子等30余种粒子的大型MC计算程序，
它把EGS4容纳进来以完成对光子和电子输运过程的模拟，并且对低能电子的输运算法进
行了改进。
五 、Monte Carlo方法相关的一些资料
一个网站：http://csep1.phy.ornl.gov/mc/mc.html
《蒙特卡罗方法》 徐钟济著 上海科学技术出版社
《科学计算中的蒙特卡罗策略》(当代科学前沿论丛)(Monte Carlo Strategies in
Scientific Computing) 作者:刘军 译者:唐年胜 周勇 徐亮
统计物理学中的蒙特卡罗模拟方法 ( 德) 宾德(Binder,K.),赫尔曼
(Heermann,D.W.) 著 北京大学出版社 1994.2
小尺寸半导体器件的蒙特卡罗模拟 叶良修编著 科学出版社 1997.2
蒙特卡罗方法及其在粒子输运问题中的应用 裴鹿成, 张孝泽著 科学出版社 1980.
10
统计试验法:( 蒙特卡罗法) 及其在电子数字计算机上的实现 (苏) 布斯连科( Н. П
. Бусленко), (苏) 施 上海科学技术出版社
若干本书：人大经济论坛http://www.pinggu.org/bbs/thread-445802-1-1.html
高分子科学中的Monte Carlo方法 杨玉良 复旦大学出版社 1993.12 7-309-01361-
1
Monte Carlo simulation of semiconductor devices C. Moglestue. Chapman &
Hall， 1993. 041247770X
Monte Carlo methods in statistical physics with contributions by K. Binder
... [et al.] ; edi Springer-Verlag, 1979.
guide to Monte Carlo simulations in statistical physics David P. Landau,
Kurt Binder. Cambridge University Press, c2000.
Monte Carlo methods in statistical physics edited by K. Binder ; with
contributions by K. Bin Springer-Verlag, c1986.
Applications of the Monte Carlo method in statistical physics edited by K.
Binder. Springer, 1984.
Monte Carlo Device Simulation Karl Hess Kluwer Acadmic
参考资料：
1、http://baike.baidu.com/view/1675475.htm?fr=ala0_1
2、http://baike.baidu.com/view/42460.htm?fr=ala0_1_1
3、http://gorilla.blogbus.com/logs/4669.html
4、http://blog.sina.com.cn/s/blog_5e8154170100cgc4.html
5、http://www.charlesgao.com/?p=121
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发帖数: 3575 | | m*****n
发帖数: 3575 | | l****z
发帖数: 29846 | 5 monte carlo方法好像早都有的吧. 很多其他围棋软件也用了这个方法的.
Alphago不是依靠monte carlo才赢的吧. 是另外一个方法才能大量精简了二叉树, 所以
速度才快很多. | l*****i
发帖数: 20533 | |
|
