Joke版 - 问几个线性空间特征值的问题 (转载)(全靠学术版了) |
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c*******t 发帖数: 953 | 1 发数学版没人回,就我一个人自说自唱。发这里了。
【 以下文字转载自 Mathematics 讨论区 】
发信人: coldlight (荧惑), 信区: Mathematics
标 题: 问几个线性空间特征值的问题
发信站: BBS 未名空间站 (Thu May 17 00:57:54 2012, 美东)
(以欧几里德空间为例,线性算子就是从左方向“向量”乘过来的矩阵)
1. 每个矩阵都有特征值吗?
2. 二维空间的旋转算子是不是没有特征值?
3. 三维空间的旋转算子是不是只有一个特征值/特征向量(旋转轴)?
4. 三维空间的镜像算子是不是(一般)有两个特征值?一个特征值对应的特征向量是法线向量,另外一个对应反射平面(平面里面有两个相互垂直的特征向量)?如果这两个特征值相等,会不会空间中任何一个向量都是特征向量?(对照第5问)从书上学来好像如此,但是直观看好像又不是?
5. 三维空间的坐标方向的拉伸/压缩算子,是不是(一般)有三个特征值,各自对应一个坐标轴?如果这三个特征值相等,那么空间中任何一个向量都是特征向量?
6. 一个线性算子是不是一定可以分解成上面这些算子的组合?
特征值问题我没有学精通,主要是原来头脑里面没有图像,只有书上学来的记住的东西。现在想搞搞明白,建立些直观感觉。
(updates:) 关于第4问,我又想了想。三维空间中有镜像算子(平面镜),也有直线镜像算子。对这个直线镜像算子来说,似乎也是有两个特征值,一个对应于这个直线,另一个对应于 法平面,这个法平面里面可以有两个相互垂直的特征向量。如果这两个特征值相等,会>不会空间中任何一个向量都是特征向量?(对照第5问)从书上学来好像如此,但是直观看>好像又不是?
我又想了想,如果线性算子是连续的(这个连续是我自己定义的,就是说相邻的向量被 算>子作用后的像也相邻),这个特征向量的事情,是不是相当于泛函分析里面的地图不动点定理?把球面看成是地图,算子作用后的像为另外一个地图,这两个地图重合在一起,在哪些条件下有不动点?有几个不动点?
我去查了不动点定理和Brouwer定理,我现在觉得根据这定理,和我对线性算子连续性的假>设,我的第一问对奇维数空间是正确的(奇维数空间内偶维数的球面):“奇数维非singulard的矩阵都有至少一个特征值”。 对singular的我还没想好,可能可以不存在非0的特征值>。
Brouwer定理见这个链接:
http://www.scipark.net/2011/10/不动点原理—几个直观的例子 | l*****o 发帖数: 19235 | 2 不带这么挖坑的。
数学,要严谨,所以,问对问题非常重要,你这不设前提的乱问,找一本高等数学的教程读读先才是正理。
回答你第一个问题:"任何方形虚数项矩阵存在至少一个特征值" | c*******t 发帖数: 953 | 3
教程读读先才是正理。
我学过了简明的线性代数,没有学深。时间长了也忘记了不少。你说的是奇数次(不是
虚数次?)矩阵存在至少一个特征值?我想就是我后面update的Brouwer定理的结论。
【在 l*****o 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 不带这么挖坑的。 : 数学,要严谨,所以,问对问题非常重要,你这不设前提的乱问,找一本高等数学的教程读读先才是正理。 : 回答你第一个问题:"任何方形虚数项矩阵存在至少一个特征值"
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