R**********n
发帖数: 523 | 1 假设n为自然数,n>=3,a_2,a_3,...,a_n为正实数，满足a_2a_3...a_n=1．证明：
(1+a_2)^2(1+a_3)^3...(1+a_n)^n > n^n.
用归纳法吗？ | n*******l
发帖数: 2911 | 2 用平均值不等式： for all b1, b2, ... bn >0,
b1+b2+b3+...+bn >= n (b1 b2 ... bn)^{1/n}
Or
(b1+b2+...bn)^n >= n^n (b1 b2 ... bn),
and "=" holds if and only if b1=b2=...=bn.
So
(1+a_2)^2 >= 2^2 a_2
(1+a_3)^3 = (1/2 +1/2 + a_3)^3 >= 3^3 1/2 x 1/2 x a_3
= 3^3 2^{-2} a_3
(1+a_4)^4 = (1/3 + 1/3 +1/3 +a_4)^4 >= 4^4 3^{-3} a_4,
go on,
(1+a_n)^n =(1/(n-1) + 1/(n-1) +... + 1/(n-1) + a_n)^n
>= n^n (n-1)^{-(n-1)} a_n
把它们乘在一起，利用a_2 a_3 ... a_n =1, 得到
(1+a_2)^2(1+a_3)^3...(1+a_n)^n >＝ n^n。
要证明上面是个严格不等式，只需要证明前面的一串不等式不能
同时成为等式。
第一个成为等式需要a_2=1,
第二个成为等式需要a_3=1/2,
第三个成为等式需要a_4=1/3,
...
第(n-1)个成为等式需要a_n = 1/(n-1)。
鉴于n>=3, 上述条件跟a_2 a_3 ... a_n =1 矛盾。
【在 R**********n 的大作中提到】
: 假设n为自然数,n>=3,a_2,a_3,...,a_n为正实数，满足a_2a_3...a_n=1．证明：
: (1+a_2)^2(1+a_3)^3...(1+a_n)^n > n^n.
: 用归纳法吗？
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