z*********e 发帖数: 10149 | 1 2D平面上可以找到一个等边三角形,每个顶点都在整数坐标下吗? |
l*******s 发帖数: 7316 | 2 不行
【在 z*********e 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 2D平面上可以找到一个等边三角形,每个顶点都在整数坐标下吗?
|
S*E 发帖数: 3662 | 3 坐标为整点的多边形的面积必须是整数或半整数。
【在 z*********e 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 2D平面上可以找到一个等边三角形,每个顶点都在整数坐标下吗?
|
l*******s 发帖数: 7316 | 4 这个可以反证。
如果有这样的3角形,那么可以把它放大两倍,得到一个坐标都是偶数的3角形。
然后把放大的3角形平移到其中一个边的中的在坐标原点。
也就是坐标同时减去其中一条边的中点的坐标(也是整数)。
这样得到的3角形的顶点坐标也应该是整数。
这样在通过原点的边的高线可以看出半条底边逆时针旋转90度然后延长到根3倍。
所以不在通过原点的边上的顶点坐标(x3,y3)跟通过原点的边上的顶点坐标(x1,y1)
(-x1,-y1)存在以下关系
|x3|= sqrt(3)*|y1|
|y3|= sqrt(3)*|x1|
x1,y1不同时为零,
sqrt(3)为有理数。矛盾。
【在 l*******s 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 不行
|
H********g 发帖数: 43926 | 5 不行,因为sqrt3是无理数,整数乘无理数无法得整数
【在 z*********e 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 2D平面上可以找到一个等边三角形,每个顶点都在整数坐标下吗?
|
l*******s 发帖数: 7316 | 6 对,有个求面积的交叉公式。
【在 S*E 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 坐标为整点的多边形的面积必须是整数或半整数。
|
z*********e 发帖数: 10149 | 7 SLE和llaalways 都奖励包子了
Huangchong 的解释没看懂 |
H********g 发帖数: 43926 | 8 这个答案想错了。情况没这么简单。整数坐标间的距离可以是无理数,我忽略了这个。
但是--
3不能写成任何两个整数的平方和,因此两个整数坐标的点间的距离一定不带根号三的
奇数倍因子(高斯整数,高斯质数似乎跟这个相关)。显然它们的中点的坐标也不包含
奇数个根号三因子(但是可以有根号二根号五因子)。
而等三如果已知两点 A B,都是整数坐标,
设AB中点为O,那O到第三点C的向量等于 向量OB 乘以 正负sqrt(3)i。
由于OB的长度不可能含奇数个sqrt(3)的因子,它乘以sqrt(3)以后肯定是个含有
sqrt(3)的无理数。而O的坐标也是不含sqrt(3)的,所以C的坐标加向量OB之后肯定
是没法消掉sqrt(3)的。所以C的坐标必然是带sqrt(3)的无理数,不可能是整数。
换句话说,要在消去乘的sqrt3,只能:1)在被乘数里已经含有sqrt3,或者 2)之后
正好加减sqrt3的同样倍数。如果被乘数不含sqrt3,被加减的数同样不含sqrt3,那结
果里肯定要继承sqrt3,所以结果肯定是含sqrt3的无理数。
【在 z*********e 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : SLE和llaalways 都奖励包子了 : Huangchong 的解释没看懂
|
l*******s 发帖数: 7316 | 9 你这个答案跟我的基本一样
:这个答案想错了。情况没这么简单。整数坐标间的距离可以是无理数,我忽略了这个。
: |