c**********n
发帖数: 5 | 1 Given a set of 4 points in the plane, how to determine
whether or not there exists one branch of a hyperbola
passing through all 4 points? If the answer is yes, then
how to explicitly find such hyperbola? Thanks. | J*****n
发帖数: 4859 | 2 就是找焦点，解一个非线性的方程组吧。
数值上面不是很困难，用Grobner base就能搞定。
不过如果要找内蕴条件就难了。 | c**********n
发帖数: 5 | 3 Thanks. So, you are saying this problem can
be solved by "Grobner bases".
But, what do you mean "内蕴条件"? | c**********n
发帖数: 5 | 4 Thanks. So, you are saying this problem can
be solved by "Grobner bases".
But, what do you mean "内蕴条件"? | J*****n
发帖数: 4859 | 5 本质就是找焦点，根据焦点的定义写下非线性方程组，然后用grobner base找出解。
所谓内蕴，我的意思是给你四个点的坐标，但不是数，就是(a,b)这样的未知变量，当
这些变量满足什么样的关系的时候，这个四个点在一条双曲线上。
就是找一个不变量，类似于二次方程里面的delta一样，（detal>=0,有解，<0,无解） | c**********n
发帖数: 5 | 6 Thanks Jadeson. Actually, every hyperbola can be defined by
the equation of the form Ax^2++Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 s.t. B^2>4AC.
So given 4 points, we may come up with a set of 4 linear
equations with 5(not 6) independent variables. The hard part
is how to describe the special constraint (i.e., 4 points
have to lie on the same branch) which is explicitly solvable.
One approach I've tried by far is to first calculate the
semiminor axis of the hyperbola, then check if 4 points are
actually on the same | J*****n
发帖数: 4859 | 7 恩，阁下是工科的吧？可能对Grobner基不是很了解。
我的方法是纯几何化的，准确地说，你要找到两个点(A,B)的坐标，使得这四个点到A的
距离和到B的距离的差（注意这里不是差的绝对值）都相等（双曲线的定义）。所以本
质上，你要解三个（四个点之间的比较）四元（A,B的x,y坐标，一共四个）二次（距离
公式）方程组，这里Grobner base是很好的一个选择（因为你的数据量不大）。
你如果愿意，甚至把详细的分类写出来，不过我觉得那个很复杂。 | c*******v
发帖数: 2599 | 8 MATHEMATICA可以对此类问题自动的进行Grobner基分析。
Maple应该也可以。
恩，阁下是工科的吧？可能对Grobner基不是很了解。
我的方法是纯几何化的，准确地说，你要找到两个点(A,B)的坐标，使得这四个点到A的
距离和到B的距离的差（注意这里不是差的绝对值）都相等（双曲线的定义）。所以本
质上，你要解三个（四个点之间的比较）四元（A,B的x,y坐标，一共四个）二次（距离
公式）方程组，这里Grobner base是很好的一个选择（因为你的数据量不大）。
你如果愿意，甚至把详细的分类写出来，不过我觉得那个很复杂。
【在 J*****n 的大作中提到】
: 恩，阁下是工科的吧？可能对Grobner基不是很了解。
: 我的方法是纯几何化的，准确地说，你要找到两个点(A,B)的坐标，使得这四个点到A的
: 距离和到B的距离的差（注意这里不是差的绝对值）都相等（双曲线的定义）。所以本
: 质上，你要解三个（四个点之间的比较）四元（A,B的x,y坐标，一共四个）二次（距离
: 公式）方程组，这里Grobner base是很好的一个选择（因为你的数据量不大）。
: 你如果愿意，甚至把详细的分类写出来，不过我觉得那个很复杂。
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