h******9
发帖数: 84 | 1 K个正定矩阵, A_k
如何证明 (sum_k A_k^-1 )^-1 \leq sum_k A_k /(K^2) ???
上面这个不定式, scalar的特殊情况就是Cauchy不等式. 对于矩阵形式, 当K=2时候也
可以用svd来证明. 在下不知道对general K怎么证明. 恳请高手指点. 另外, 我已经用
matlab验证了很多把, 这个不等式应该是对的:-) 如果其实不成立, 也请指点下. 多谢
多谢. | G******i
发帖数: 163 | 2 Let B_k be a square root of A_k: (B_k)^2 =A_k, (B_k)^(-2)=(A_k)^(-1).
For any matrix S, we have
Sum_k [ (B_k +B_k^{-1}S)^* (B_k +B_k^{-1}S), k=1..K) \geq 0;
i.e.
(Sum_k A_k) +KS +KS^* +S^*(Sum_k A_k^{-1})S \geq 0.
Setting S= -K(Sum_k A_k^{-1})^{-1},
the required inequality follows. | s******h
发帖数: 539 | 3 Excellent method for the dude on the 2nd floor, what I want to comment is
how I might come up with this method:
1. In scalar version,
(\sum_i=1^n 1)^2
=[\sum_i=1^n \sqrt{a_i}*(1/\sqrt(a_i))]^2
<=(\sum_i=1^n a_i^2)(\sum_i=1^n 1/a_i^2)
As the author mentioned, it's Cauchy-Schwartz Inequality;
2. Remember how we prove Cauchy-Schwartz Inequality for different
versions, one common method is to consider 2nd moment as follows
\sum_{i=1}^n(\sqrt{a_i}+1/\sqrt{a_i}*x)^2>=0, for all x\in | h******9
发帖数: 84 | 4 多谢各位大侠的讨论先.
二楼的大侠, 我发信到你的信箱了. 有点等不及你的回复了. 先贴到这里. 大家一起讨
论下. 莫介意.
你的这步展开:
Sum_k [ (B_k +B_k^{-1}S)^* (B_k +B_k^{-1}S), k=1..K) \geq 0;
i.e.
(Sum_k A_k) +KS +KS^* +S^*(Sum_k A_k^{-1})S \geq 0.
应该是用到了 B_k^* B_k^-1 =I and (B_k^-1)^* B_k =I. A_k 正定无法保证 B_k也正
定. 这两个identities还能成了麽? 我是学工科的, 矩阵功底很烂.
我觉得你的方法思路很好. 有没有办法改进上面这个小问题呢? 谢谢大家的帮忙. | s******h
发帖数: 539 | 5 1. "A_k 正定无法保证 B_k也正定."是正确的。
如果说仅仅要求B^2=A (A>0),那么B可以不是正定的，比如 B=diag(1,-1).
B甚至可以不是对称的，比如
B=[b(1),b(2),b(3)],其中b(1)=[1,0,0]',b(2)=[0,0,\sqrt{2}]',
b(3)=[0,1/\sqrt{2},0]'
2. 2楼的朋友说的是"B_k是A_k的根",对于一个正定矩阵，按照它的根的定义，
B_k自然也是正定的；
http://planetmath.org/encyclopedia/SquareRootOfPositiveDefiniteMatrix.html
3. 证明这个不等式只需要找到这样的矩阵B_k作为工具使得证明过程得以完成就
可以了，不能说随便找一个B_k使得B_k^2=A_k,也是没有必要的．
希望以上陋见能给你一些帮助． | H****h
发帖数: 1037 | 6 补充一句，构造B的方法是先将A对角化，写成A=U^{-1}DU，U是正交或酉矩阵，
D是对角矩阵diag(a_1,...a_n)。令C=diag(\sqrt{a_1},...,\sqrt{a_n}),
B=U^{-1}CU，则B是正定矩阵，且B^2=A。
【在 s******h 的大作中提到】
: 1. "A_k 正定无法保证 B_k也正定."是正确的。
: 如果说仅仅要求B^2=A (A>0),那么B可以不是正定的，比如 B=diag(1,-1).
: B甚至可以不是对称的，比如
: B=[b(1),b(2),b(3)],其中b(1)=[1,0,0]',b(2)=[0,0,\sqrt{2}]',
: b(3)=[0,1/\sqrt{2},0]'
: 2. 2楼的朋友说的是"B_k是A_k的根",对于一个正定矩阵，按照它的根的定义，
: B_k自然也是正定的；
: http://planetmath.org/encyclopedia/SquareRootOfPositiveDefiniteMatrix.html
: 3. 证明这个不等式只需要找到这样的矩阵B_k作为工具使得证明过程得以完成就
: 可以了，不能说随便找一个B_k使得B_k^2=A_k,也是没有必要的．
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