m****d 发帖数: 12 | 1 关于自然数幂的命题:
观察:
5^2=25=1+3+5+7+9
~
5^3=125=21+23+25+27+29
~~
5^4=625=121+123+125+127+129
~~~
归纳:自然数a的n次方等于a的n-1次方的左右(对称的)n个奇数之和。
验证:
4^2=16=1+3+5+7
4
4^3=64=13+15+17+19
16
4^4=256=61+63+65+67
64
证明:
略。
用数学归纳法,且与证明a^2为1开始的奇数之和类似。 |
S****M 发帖数: 130 | 2 只要是可证明为正确的命题都可以叫定理吧。
【在 m****d 的大作中提到】 : 关于自然数幂的命题: : 观察: : 5^2=25=1+3+5+7+9 : ~ : 5^3=125=21+23+25+27+29 : ~~ : 5^4=625=121+123+125+127+129 : ~~~ : 归纳:自然数a的n次方等于a的n-1次方的左右(对称的)n个奇数之和。 : 验证:
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m****d 发帖数: 12 | 3 观察:
5^3=25+25+25+25+25=21+13+25+27+29
4^3=16+16+16+16=11+13+15+17
归纳:
a^n=a^(n-1)+a^(n-1)+...+a^(n-1)有a个a^(n-1).
则,我们上面等式的右边分为对称的两个部分。
把左边第一个部分的最后一个数减2加到右边第二个部分的第一个数上。左边第一部分
的倒数第二个数减去4加到右边第二部分的第二个数上......以此类推。
定理得证。
似乎可以得到一个有趣的推广是发现怎么样可以象用a^2=1+3+...一样的方法来发现有
什么数可以满足a^3+b^3=c^3和a^4+b^4=c^4等等。
因为,按照上面的公式,c^3是c^2左右对称的c个数,而a^3和b^3是同样的。因此,如
果a^2和b^2的左边、右边和中间的数都被占据,并且占据的数目正好等于整个数列中间
那个数的平方的话。那么上面的3次方等式就成立了。因此,三次方等式的问题,被划
归为2次方的问题。
(具体的数学表达我不熟悉,写不出来)
【在 m****d 的大作中提到】 : 关于自然数幂的命题: : 观察: : 5^2=25=1+3+5+7+9 : ~ : 5^3=125=21+23+25+27+29 : ~~ : 5^4=625=121+123+125+127+129 : ~~~ : 归纳:自然数a的n次方等于a的n-1次方的左右(对称的)n个奇数之和。 : 验证:
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C********n 发帖数: 6682 | 4 你想证明fermat 大定理吗
【在 m****d 的大作中提到】 : 观察: : 5^3=25+25+25+25+25=21+13+25+27+29 : 4^3=16+16+16+16=11+13+15+17 : 归纳: : a^n=a^(n-1)+a^(n-1)+...+a^(n-1)有a个a^(n-1). : 则,我们上面等式的右边分为对称的两个部分。 : 把左边第一个部分的最后一个数减2加到右边第二个部分的第一个数上。左边第一部分 : 的倒数第二个数减去4加到右边第二部分的第二个数上......以此类推。 : 定理得证。 : 似乎可以得到一个有趣的推广是发现怎么样可以象用a^2=1+3+...一样的方法来发现有
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