R********n 发帖数: 519 | 1 研究中牵涉到相关概念,但自己认识还很少,谢谢大家:-)
一个几何结构,如果global的来说,curvature都是常数,那么是不是这个结构
一定是hyper-sphere? 比如circle,sphere,etc
另外,一个几何结构,如果只是要求local的curvature是constant,那这个是?
比如一个Riemannian manifold,加上local curvature constant,能够得到?
谢谢!^_^ |
R********n 发帖数: 519 | 2 ?~~为什么我看到有人回复,但是看不到帖子,呵呵
【在 R********n 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 研究中牵涉到相关概念,但自己认识还很少,谢谢大家:-) : 一个几何结构,如果global的来说,curvature都是常数,那么是不是这个结构 : 一定是hyper-sphere? 比如circle,sphere,etc : 另外,一个几何结构,如果只是要求local的curvature是constant,那这个是? : 比如一个Riemannian manifold,加上local curvature constant,能够得到? : 谢谢!^_^
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s**e 发帖数: 1834 | 3 not sure whether your "hyper-sphere" already includes hyperbolic space,
which has negative curvature.
【在 R********n 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 研究中牵涉到相关概念,但自己认识还很少,谢谢大家:-) : 一个几何结构,如果global的来说,curvature都是常数,那么是不是这个结构 : 一定是hyper-sphere? 比如circle,sphere,etc : 另外,一个几何结构,如果只是要求local的curvature是constant,那这个是? : 比如一个Riemannian manifold,加上local curvature constant,能够得到? : 谢谢!^_^
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R********n 发帖数: 519 | 4 hyperbolic space,双曲空间?~~这个没有考虑到
那,比如在2 D的Euclidean space,所有的global constant curvature curve,就是
circle(部分circle也包括了)和hyperbolic curve?
Thanks
【在 s**e 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : not sure whether your "hyper-sphere" already includes hyperbolic space, : which has negative curvature.
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s**e 发帖数: 1834 | 5 Hyperbolic space (双曲空间) has curvature -1, but not nessecarily can be
embeded in an Euclidean space. Some info about hyperbolic space:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_space
I suppose the "hyperbolic curve" in your post refers to the curve x^2-y^2=1
in a Euclidean space. For some subtle reasons, it is NOT the same thing defined in the above wiki link, though they are defined using the same equation.
In the wiki link, a n-dim hyperbolic space is defined in a (n+1)-dim Minkowski space (not a
【在 R********n 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : hyperbolic space,双曲空间?~~这个没有考虑到 : 那,比如在2 D的Euclidean space,所有的global constant curvature curve,就是 : circle(部分circle也包括了)和hyperbolic curve? : Thanks
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l********e 发帖数: 3632 | 6 曲率如果只截面曲率(sectional curvature)那么只有三种
K=1的是球面,包括高维球面,或者他们的商空间,比如透镜空间(lens space,prizm
manifold等)
K=1的是欧式空间,或者它的商空间,比如环面,或者克莱因瓶等
K=-1的是双曲空间\mathbb H^n,或者它的商空间。
最后如果流行是联通的,那么局部常值和整体常值是一个意思。
如果你指的是其他曲率比如Ricci曲率,就复杂了。
【在 R********n 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 研究中牵涉到相关概念,但自己认识还很少,谢谢大家:-) : 一个几何结构,如果global的来说,curvature都是常数,那么是不是这个结构 : 一定是hyper-sphere? 比如circle,sphere,etc : 另外,一个几何结构,如果只是要求local的curvature是constant,那这个是? : 比如一个Riemannian manifold,加上local curvature constant,能够得到? : 谢谢!^_^
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l********e 发帖数: 3632 | 7 更正你一个概念。
曲线的曲率应该是0
你看到的曲线曲率是外蕴的曲率。
【在 R********n 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : hyperbolic space,双曲空间?~~这个没有考虑到 : 那,比如在2 D的Euclidean space,所有的global constant curvature curve,就是 : circle(部分circle也包括了)和hyperbolic curve? : Thanks
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R********n 发帖数: 519 | 8 谢谢你仔细的回答!:-),我也是看了那个wiki,再继续学习下,呵呵
hyperbolic space是建立在 Minkowski space, not Euclidean space,
hyperbolic curve和hyperbolic space,我再继续理解~~
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defined in the above wiki link, though they are defined using the same
equation.
Minkowski space (not a (n+1)-dim Euclidean space).
【在 s**e 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : Hyperbolic space (双曲空间) has curvature -1, but not nessecarily can be : embeded in an Euclidean space. Some info about hyperbolic space: : http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_space : I suppose the "hyperbolic curve" in your post refers to the curve x^2-y^2=1 : in a Euclidean space. For some subtle reasons, it is NOT the same thing defined in the above wiki link, though they are defined using the same equation. : In the wiki link, a n-dim hyperbolic space is defined in a (n+1)-dim Minkowski space (not a
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R********n 发帖数: 519 | 9 谢谢你的回答:-),赞!
就是说sectional curvature而言,其实就是你说的这3种情况
局部和全局我可能表达得不好,恩,是不是有这么一种情况,就是一个manifold,局部
曲率变化比较慢,可以认为近似constant,但是全局还是有变化的,不是不变的?~~这
是从应用出发的一个猜想,不知道是否合适
也谢谢你说的内蕴和外蕴曲率,我的理解是是不是内蕴曲率就是在manifold上面观察自
己,而外蕴则是嵌入到一个更高维空间,比如欧式空间,然后再观察。
所以你的意思是曲线的内蕴曲率是0,只有在外维空间来看,才有positive or
negative的曲率
我觉得从自己的应用出发,外蕴曲率对于很重要,我在欧式空间来观察这个manifold,
比如1D curve在R^2 or R^3来观察。这样的话,global constant curvature和local
constant(or local approximate constant curvature)d
的结论是不是还是和前面一样呢?
更进一步,一个高维Riemannian manifold,嵌入到R^N中间,怎么观察
【在 l********e 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 曲率如果只截面曲率(sectional curvature)那么只有三种 : K=1的是球面,包括高维球面,或者他们的商空间,比如透镜空间(lens space,prizm : manifold等) : K=1的是欧式空间,或者它的商空间,比如环面,或者克莱因瓶等 : K=-1的是双曲空间\mathbb H^n,或者它的商空间。 : 最后如果流行是联通的,那么局部常值和整体常值是一个意思。 : 如果你指的是其他曲率比如Ricci曲率,就复杂了。
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