f***g
发帖数: 214 | 1 正在做Research
问一个求和的问题:
a^n/(n!*(b+n)!)，n为整数，从0到正无穷的连加的和是多少呢
这个是用什么方法做呢？
感激 | h********g
发帖数: 155 | 2 本人试做了一下，发现如果你能求出下述微分方程的解：
xd^2(f)/d^2(x)+(b+1)df/dx-f=0
其中f(0)=1/b!
那么f(a)即是结果
然而，本人发现该微分方程不好求解， 目前只找出了当b为-1/2时的情况
如果b=-1/2, 该方程解为：
f(x)=exp(2*sqrt(x))-1+1/sqrt(PI)
所以当b为-1/2时， 结果为：
exp(2*sqrt(a))-1+1/sqrt(PI)
貌似比较容易把该结果推广到b=k+1/2 的情况，目前本人正在努力寻求一般情况下的解
，如有结果必告知，谢谢。
【在 f***g 的大作中提到】
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: 这个是用什么方法做呢？
: 感激
| h********g
发帖数: 155 | 3 上面的回帖对b=-1/2的情况分析有错误，现在重贴澄清一下：
该微分方程的解应该满足：f(0)=1/b!, f'(0)=1/(1+b)!
当b=-1/2 时，该方程有两个特解：
exp(2sqrt(x)), exp(-2sqrt(x))
所以f(x)应该是两者的线性组合：
f(x)=C1*exp(2sqrt(x))+C2*exp(-2sqrt(x))
利用边界条件，可以得出：
C1=C2=1/(2sqrt(PI))
所以最后结果是：
f(a)=1/(2sqrt(PI))(exp(2sqrt(a))+exp(-2sqrt(a)))
【在 f***g 的大作中提到】
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