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发帖数: 520 | 1 考虑reaction diffusion equation ：u_t=u_xx+f(u) ，x 定义域为实数集R ，t>0 。
假设f 是C^1 函数，以及在任意正时间T ，方程的解u(x,T)都属于H^1 空间。
若0 和1 为f 的零点（不排除f 还有其他零点），且令初值u(x,0)在0 和1 之间，则对
于任意x in R，t>0 ，解u(x,t)总在0 和1 之间。
我想知道解u(x,t)是否有如下性质：
若初值u(x,0)不是某个steady state（即u_xx+f(u)=0 的解），则对于任意0=
以及任意T>0 ，满足u(x,T)=A的x 值只有至多有限个。换言之，在任何正时间T ，方程
的解作为x-u 平面上的曲线，和直线u=A 只有至多有限个交点。
我的问题的动机，是我猜测reaction diffusion equation 如果不是初始即为steady
state ，那么在演化过程中，解不可能在某处严格“平坦”。即对于所有T>0 ，解在某
个区间(a,b) 上满足u(x,T)=A，或者对于某个收敛列{x_n} 满足u(x_n,T)=A，都是不可
能发生的。但我不知道这个猜测是否正确。
请了解这方面结论的朋友指点。非常感谢。 |
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