f********t
发帖数: 14 | 1 Suppose that F:R*R->R is twice differentiable in (x,y), with F(x0,y0)=0. The
classical implicit function theorem requires that dF/dy is nonsingular at (
x0,y0).
My question is that: if the regularity does not hold, but dF/dy is strictly
monotone in the small open neiborhood of y0, for a given x=x0, is y(x) still differentiable? [the continuity has already been shown]. Any reference for that?
Many thanks! | l********e
发帖数: 3632 | 2 dF/dy 是个二元函数，怎么monotone? | f********t
发帖数: 14 | 3 谢谢提问。
是在给定x=x0的情况下单调。
【在 l********e 的大作中提到】
: dF/dy 是个二元函数，怎么monotone?
| l********e
发帖数: 3632 | 4 单调有啥用？
最简单的Z=X^2+Y^2-1在(1,0)点导数是Y的线性函数，当然单调。但是没有y=y(x)隐函
数存在。
【在 f********t 的大作中提到】
: 谢谢提问。
: 是在给定x=x0的情况下单调。
| f********t
发帖数: 14 | 5 谢谢！是我说的不够清楚。漏了一个条件，d^2F/dxdy 在（x0,y0）不为零。
我的问题是，既然dF/dy是单调的，那么即便dF/dy=0，隐函数定义似乎应该适用于方程
dF/dy=0,从而得出隐函数y（x）。只是这个y(x)同时是方程F(y,x)=0与dF(y,x)/dy=0的
解。不知这样书法是否严格？
【在 l********e 的大作中提到】
: 单调有啥用？
: 最简单的Z=X^2+Y^2-1在(1,0)点导数是Y的线性函数，当然单调。但是没有y=y(x)隐函
: 数存在。
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