c****l 发帖数: 88 | 1 请问这个微分方程怎么用微扰的办法逐级解?
d_x^2 f[x]= -A d_x f[x]
如果A比较小,我可以把右边看作微扰,一级一级的解,结果和解析解(c1 e^{-A x} +
c2)吻合得很好,但是当A是一个很大的数的时候,我不大清楚应该怎么做微扰。请大
牛帮忙看一下,多谢了! | g****t 发帖数: 31659 | 2 设1/A=B,然后对B用你知道的对很小数可以用的微扰法?
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【在 c****l 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 请问这个微分方程怎么用微扰的办法逐级解? : d_x^2 f[x]= -A d_x f[x] : 如果A比较小,我可以把右边看作微扰,一级一级的解,结果和解析解(c1 e^{-A x} + : c2)吻合得很好,但是当A是一个很大的数的时候,我不大清楚应该怎么做微扰。请大 : 牛帮忙看一下,多谢了!
| c****l 发帖数: 88 | 3 这个好像不是这么trivial的,如果你将A除到左边,然后解0阶,你会得到 c1 x + c2
的解,把零阶解代进左边以后,左边为零,没有办法求到下一阶的解。另外一个比较容
易的看法,因为我们知道正确的解是 c1 e^{-A x}+c2, 如果将B=1/A代进去,得到的解
也没有办法在B-〉0处展开。
【在 g****t 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 设1/A=B,然后对B用你知道的对很小数可以用的微扰法? : : +
| n*******l 发帖数: 2911 | 4 我觉得,当你用微扰法的时候,已经假定了这个解以及它的导数们只有O(1)项以及
一些O(eps^n)项。所以,当A=1/eps的时候,尽管通解是f=c1 e^{-A x}+c2,
但是e^{-A x}在x=0附近导致f的导数非常大,不再是O(1)+ \sum_{i>0} O(eps^i),
所以微扰法的基本前提就已经排除了e^{-A x}形态的解。然后毫无疑问的你只能得到
一个f=c2形态的解。 这跟常识一致,因为e^{-A x}在x增大时很快就递减到零。
当然,我认为对微分方程来说,首先应该有一个边界条件,没有边界条件的限制,意义
有限。
If you want to know the behavior of f around x=0, you can rescale
x, say letting x=eps*y, then g(y):=f(x)=f(eps y) and the
original equation becomes g''(y) = -g'(y), involving no eps at all,
and it can be solved.
If you pretend that it can not be solved, you may make a stronger rescaling
x=eps^2*z, then h(z):=f(x)=f(eps^2 z) solves
h''(z)=-eps h'(z), and it can be solved asymptotically in z.
Afterward you may translate h(z) back into f(x) by f(x)=h(eps^{-2} x).
Of course, there are many delicate problems but such asymptotic expansion
principles can always be used, formally.
c2
【在 c****l 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 这个好像不是这么trivial的,如果你将A除到左边,然后解0阶,你会得到 c1 x + c2 : 的解,把零阶解代进左边以后,左边为零,没有办法求到下一阶的解。另外一个比较容 : 易的看法,因为我们知道正确的解是 c1 e^{-A x}+c2, 如果将B=1/A代进去,得到的解 : 也没有办法在B-〉0处展开。
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