c****l
发帖数: 88 | 1 请问这个微分方程怎么用微扰的办法逐级解？
d_x^2 f[x]= -A d_x f[x]
如果A比较小，我可以把右边看作微扰，一级一级的解，结果和解析解（c1 e^{-A x} +
c2）吻合得很好，但是当A是一个很大的数的时候，我不大清楚应该怎么做微扰。请大
牛帮忙看一下，多谢了！ | g****t
发帖数: 31659 | 2 设1/A=B,然后对B用你知道的对很小数可以用的微扰法?
+
【在 c****l 的大作中提到】
: 请问这个微分方程怎么用微扰的办法逐级解？
: d_x^2 f[x]= -A d_x f[x]
: 如果A比较小，我可以把右边看作微扰，一级一级的解，结果和解析解（c1 e^{-A x} +
: c2）吻合得很好，但是当A是一个很大的数的时候，我不大清楚应该怎么做微扰。请大
: 牛帮忙看一下，多谢了！
| c****l
发帖数: 88 | 3 这个好像不是这么trivial的，如果你将A除到左边，然后解0阶，你会得到 c1 x + c2
的解，把零阶解代进左边以后，左边为零，没有办法求到下一阶的解。另外一个比较容
易的看法，因为我们知道正确的解是 c1 e^{-A x}+c2, 如果将B=1/A代进去，得到的解
也没有办法在B-〉0处展开。
【在 g****t 的大作中提到】
: 设1/A=B,然后对B用你知道的对很小数可以用的微扰法?
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| n*******l
发帖数: 2911 | 4 我觉得，当你用微扰法的时候，已经假定了这个解以及它的导数们只有O（1）项以及
一些O(eps^n)项。所以，当A=1/eps的时候，尽管通解是f=c1 e^{-A x}+c2，
但是e^{-A x}在x=0附近导致f的导数非常大，不再是O（1）+ \sum_{i>0} O(eps^i)，
所以微扰法的基本前提就已经排除了e^{-A x}形态的解。然后毫无疑问的你只能得到
一个f=c2形态的解。 这跟常识一致，因为e^{-A x}在x增大时很快就递减到零。
当然，我认为对微分方程来说，首先应该有一个边界条件，没有边界条件的限制，意义
有限。
If you want to know the behavior of f around x=0, you can rescale
x, say letting x=eps*y, then g(y):=f(x)=f(eps y) and the
original equation becomes g''(y) = -g'(y), involving no eps at all,
and it can be solved.
If you pretend that it can not be solved, you may make a stronger rescaling
x=eps^2*z, then h(z):=f(x)=f(eps^2 z) solves
h''(z)=-eps h'(z), and it can be solved asymptotically in z.
Afterward you may translate h(z) back into f(x) by f(x)=h(eps^{-2} x).
Of course, there are many delicate problems but such asymptotic expansion
principles can always be used, formally.
c2
【在 c****l 的大作中提到】
: 这个好像不是这么trivial的，如果你将A除到左边，然后解0阶，你会得到 c1 x + c2
: 的解，把零阶解代进左边以后，左边为零，没有办法求到下一阶的解。另外一个比较容
: 易的看法，因为我们知道正确的解是 c1 e^{-A x}+c2, 如果将B=1/A代进去，得到的解
: 也没有办法在B-〉0处展开。
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