A**H
发帖数: 4797 | 1 今天晚上吃饭的时候和我儿子讨论了他正在研究的“质数推导公式”之后，儿子忽然说
他知道为什么派是无限的 --- 儿子上四年级，他还不知道无理数这个概念，半年前我
教了他派以及圆面积公式 --- 我自己从来没有想过这个问题，所以就让儿子说来听听
他的解释，见下。
既然圆面积是派啊平方，如果派是有限的（注，有理数），那么当年把无限小的一小截
圆弧放大的话，这一小截圆周那它应该是平的（直线），而不是圆弧。（注，换句话说
，也就是）因为圆周任何无限小的一小截圆弧都不是直线，所以派必须是无限的（注，
无理数）。
上面是解释，我觉得似乎有点道理，但是又觉得中间似乎有些没有完全连接起来。我放
了狗搜索了一下，找到这个：
http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational
但是我也不是很懂，没怎么学高数。。。 |
T*******g
发帖数: 2322 | 2 你的孩子的这个道理从数学上来讲是错的，尽管直观上有一定可取之处。pi是不是有理
数根直线不直线没关系。圆弧也可以周长为有理数，例如一个周长为1的圆；多边形也
可以周长为无理数，例如一个短边长为1的等腰直角三角形。 |
A**H
发帖数: 4797 | 3 根据学术版的说法，我可能把无限和无理搞错了，也有循环论证的可能。总之，应该是
不太靠谱。
不过，因为我自己也不太懂，真不知道该怎么辅导孩子了
【在 T*******g 的大作中提到】
: 你的孩子的这个道理从数学上来讲是错的，尽管直观上有一定可取之处。pi是不是有理
: 数根直线不直线没关系。圆弧也可以周长为有理数，例如一个周长为1的圆；多边形也
: 可以周长为无理数，例如一个短边长为1的等腰直角三角形。
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p****u
发帖数: 2422 | 4 无理数是不能表示为a/b的数，必定是无限不循环的
通常无限循环的都可以表示为a/b,是有理数,比如1/3
【在 A**H 的大作中提到】
: 根据学术版的说法，我可能把无限和无理搞错了，也有循环论证的可能。总之，应该是
: 不太靠谱。
: 不过，因为我自己也不太懂，真不知道该怎么辅导孩子了
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d******n
发帖数: 3836 | |
d*******g
发帖数: 1265 | 6 很多数学的概念先接受，不必知道证明，比如Fundamental theorem of algebra。
这个PI的超越性要学了Galois才能很简单的证出来。 |
l***y
发帖数: 1166 | 7 无理数定义为无限不循环的小数。
和直男还是弯的没关系。
例如Sqrt（2）是无理数， 又是边长为1的正方形的对角线长度。
所有分数都可以写成循环小数（或者有限小数），所以分数都是有理数。
例如1/7=0.142857 142857
所有循环小数也都可以写成分数
例如0.72 72 72..=72/99
0.999999...=1 |
m*****n
发帖数: 3644 | 8 pi=周长/直径。孩子implicitely假设直径是有理数或者1.你举的例子不make sense。
。
【在 T*******g 的大作中提到】
: 你的孩子的这个道理从数学上来讲是错的，尽管直观上有一定可取之处。pi是不是有理
: 数根直线不直线没关系。圆弧也可以周长为有理数，例如一个周长为1的圆；多边形也
: 可以周长为无理数，例如一个短边长为1的等腰直角三角形。
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A**H
发帖数: 4797 | 9 对，孩子有个假定，那就是圆弧都是无限的或者你说的假定直线但是有限的
【在 m*****n 的大作中提到】
: pi=周长/直径。孩子implicitely假设直径是有理数或者1.你举的例子不make sense。
: 。
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j*d
发帖数: 96 | 10 没明白什么叫“圆弧都是无限的”。
圆弧的长度可以是1，不管其长度本身或者长度的小数位数都是有限的。
【在 A**H 的大作中提到】
: 对，孩子有个假定，那就是圆弧都是无限的或者你说的假定直线但是有限的
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j*d
发帖数: 96 | 11 没明白什么叫“圆弧都是无限”。
长度为1 的圆弧， 其长度本身或者长度的小数位数都是有限的。
【在 A**H 的大作中提到】
: 对，孩子有个假定，那就是圆弧都是无限的或者你说的假定直线但是有限的
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A**H
发帖数: 4797 | 12 老实说，因为我对这个问题也不是很懂，所以不太能启发孩子去展开，把他的想法描述
清楚。后来父母版有一个回帖，大意是说版上原来也有一个孩子。。。算了，我直接贴
过来
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发信人: dragonbreath (龙吸), 信区: Parenting
标 题: Re: 求教：今天娃问我，PI为什么是无理数
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Nov 29 08:00:20 2015, 美东)
看着是个牛娃
一年前在版上看到过相似的帖子，就是娃说，如果派不是无限不循环小数，那么肯定会
存在一个多边形来表达圆。。。
看来牛娃都是有共性的
这个虽然不算严格数学证明，但是是很宝贵的数学直觉
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我觉得这个非常清晰的数学表达“多边形表达圆”应该跟我儿子说的那个直线比较接近
。但我还是不知道这个多边形说法正确不正确
【在 j*d 的大作中提到】
: 没明白什么叫“圆弧都是无限”。
: 长度为1 的圆弧， 其长度本身或者长度的小数位数都是有限的。
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o*******k
发帖数: 357 | 13 这个直觉将无限（极限）的概念和无限不循环小数连起来。 不过这个直觉是错的。
正多边形的周长也（应该都）是无理数 （假定圆半径为1， 多边形顶点到中心的距离
也是1）。
有理数和无理数是稠密的， 用这样的极限过程是没有办法直接区分一个数（像pi）是
无理数还是有理数的。
基本上， 证明一个数不是有理数都需要对这个极限过程有效的估计。（ 有这样的估计
，最后就变成0，1之间没有整数之类的结论。）
你的链接里Hermite的证明，有清晰的逻辑和过程， 你不需要知道具体的细节也大概能
看懂他的意思。
仅有一个极限过程，没有估计，是得不出来有理无理的结论的。 |
l***y
发帖数: 1166 | 14 不客气的说，这个直觉是错的。
‘如果派不是无限不循环小数，那么肯定会: 存在一个多边形来表达圆’
pi定义为圆周长与直径的比，按照这个自觉 换个说法就是：
多边形周长与‘直径’（假设多边形直径定义为过中心的对角线）的比值必定是有理数
（要么有限小数，要么无限循环小数）。
最简单的反例就是边长为1的正方形，周长与对角线比值为4/Sqrt（2）
【在 A**H 的大作中提到】
: 老实说，因为我对这个问题也不是很懂，所以不太能启发孩子去展开，把他的想法描述
: 清楚。后来父母版有一个回帖，大意是说版上原来也有一个孩子。。。算了，我直接贴
: 过来
: ～～～～～～～～～～～～～～～～
: 发信人: dragonbreath (龙吸), 信区: Parenting
: 标 题: Re: 求教：今天娃问我，PI为什么是无理数
: 发信站: BBS 未名空间站 (Sun Nov 29 08:00:20 2015, 美东)
: 看着是个牛娃
: 一年前在版上看到过相似的帖子，就是娃说，如果派不是无限不循环小数，那么肯定会
: 存在一个多边形来表达圆。。。
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l***y
发帖数: 1166 | 15 不客气的说，这个直觉是错的。
‘如果派不是无限不循环小数，那么肯定会: 存在一个多边形来表达圆’
pi定义为圆周长与直径的比，按照这个自觉 换个说法就是：
多边形周长与‘直径’（假设多边形直径定义为过中心的对角线）的比值必定是有理数
（要么有限小数，要么无限循环小数）。
最简单的反例就是边长为1的正方形，周长与对角线比值为4/Sqrt（2）
【在 A**H 的大作中提到】
: 老实说，因为我对这个问题也不是很懂，所以不太能启发孩子去展开，把他的想法描述
: 清楚。后来父母版有一个回帖，大意是说版上原来也有一个孩子。。。算了，我直接贴
: 过来
: ～～～～～～～～～～～～～～～～
: 发信人: dragonbreath (龙吸), 信区: Parenting
: 标 题: Re: 求教：今天娃问我，PI为什么是无理数
: 发信站: BBS 未名空间站 (Sun Nov 29 08:00:20 2015, 美东)
: 看着是个牛娃
: 一年前在版上看到过相似的帖子，就是娃说，如果派不是无限不循环小数，那么肯定会
: 存在一个多边形来表达圆。。。
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j*d
发帖数: 96 | 16 说的对，不过一般孩子估计想不到这点。
（另外，不用假设正方形的边长为1）
【在 l***y 的大作中提到】
: 不客气的说，这个直觉是错的。
: ‘如果派不是无限不循环小数，那么肯定会: 存在一个多边形来表达圆’
: pi定义为圆周长与直径的比，按照这个自觉 换个说法就是：
: 多边形周长与‘直径’（假设多边形直径定义为过中心的对角线）的比值必定是有理数
: （要么有限小数，要么无限循环小数）。
: 最简单的反例就是边长为1的正方形，周长与对角线比值为4/Sqrt（2）
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A**H
发帖数: 4797 | 17 是的
我因为不是很明白错在哪里，所以没法子纠正孩子的逻辑（本身就表述不清楚）
【在 l***y 的大作中提到】
: 不客气的说，这个直觉是错的。
: ‘如果派不是无限不循环小数，那么肯定会: 存在一个多边形来表达圆’
: pi定义为圆周长与直径的比，按照这个自觉 换个说法就是：
: 多边形周长与‘直径’（假设多边形直径定义为过中心的对角线）的比值必定是有理数
: （要么有限小数，要么无限循环小数）。
: 最简单的反例就是边长为1的正方形，周长与对角线比值为4/Sqrt（2）
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l***y
发帖数: 1166 | 18 那假设正方形边长为Sqrt（2）啦，哈哈
【在 j*d 的大作中提到】
: 说的对，不过一般孩子估计想不到这点。
: （另外，不用假设正方形的边长为1）
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h****1
发帖数: 76 | 19 Jim Simons 说他小时候自行发现了Zeno悖论。他父亲说汽油会用完，他则认为不会，
因为永远可以用剩下的一半汽油。。。不过他又自嘲没有同时发现人永远到达不了目的
地的悖论。
另外就是很多概念、理念是不必当下就要寻根究底，可以存疑，也不必“疑而不用”。
就像电脑、汽车，寻根究底，谁又能全部说清楚其中的原理呢？但并不影响使用。数学
中的观念同样如此。
爱因斯坦对“时间”，“空间”等基本观念不是存疑了十年、二十年才推出自己的新理
解吗？
人类生存繁衍了多少万年？搞清楚精子、卵子，乃至基因的事实和观念，也就是过去一
两百年的事情吧？能安然活在“疑惑”中，坦然接受“不究竟”的事实，并不代表没有
好奇心。由此也看出，过分追求“究竟”，是不可能也是完全没有必要的。 |
s**p
发帖数: 1097 | 20 这个人生观我天朝子民是最擅长的，技术能用就行了，不用去管背后的科学。几千年就是
这么过的，五行八卦啥的也是这么诞生的。
【在 h****1 的大作中提到】
: Jim Simons 说他小时候自行发现了Zeno悖论。他父亲说汽油会用完，他则认为不会，
: 因为永远可以用剩下的一半汽油。。。不过他又自嘲没有同时发现人永远到达不了目的
: 地的悖论。
: 另外就是很多概念、理念是不必当下就要寻根究底，可以存疑，也不必“疑而不用”。
: 就像电脑、汽车，寻根究底，谁又能全部说清楚其中的原理呢？但并不影响使用。数学
: 中的观念同样如此。
: 爱因斯坦对“时间”，“空间”等基本观念不是存疑了十年、二十年才推出自己的新理
: 解吗？
: 人类生存繁衍了多少万年？搞清楚精子、卵子，乃至基因的事实和观念，也就是过去一
: 两百年的事情吧？能安然活在“疑惑”中，坦然接受“不究竟”的事实，并不代表没有
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B********e
发帖数: 10014 | 21 请填空：
过分干______是有必要的
【在 h****1 的大作中提到】
: Jim Simons 说他小时候自行发现了Zeno悖论。他父亲说汽油会用完，他则认为不会，
: 因为永远可以用剩下的一半汽油。。。不过他又自嘲没有同时发现人永远到达不了目的
: 地的悖论。
: 另外就是很多概念、理念是不必当下就要寻根究底，可以存疑，也不必“疑而不用”。
: 就像电脑、汽车，寻根究底，谁又能全部说清楚其中的原理呢？但并不影响使用。数学
: 中的观念同样如此。
: 爱因斯坦对“时间”，“空间”等基本观念不是存疑了十年、二十年才推出自己的新理
: 解吗？
: 人类生存繁衍了多少万年？搞清楚精子、卵子，乃至基因的事实和观念，也就是过去一
: 两百年的事情吧？能安然活在“疑惑”中，坦然接受“不究竟”的事实，并不代表没有
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B********e
发帖数: 10014 | 22 不知道的东西鼓励他以后自己搞懂就行了
四年级一点基本概念都没有呢，走什么极端。
如果这么容易把一些似是而非的意识当成天才
也同样容易因一些困难而有过多的挫折感
问问你儿子从那个星球来的，
如果他没有说漏了嘴透露出是外星人，
就让给他点个赞继续努力了
【在 A**H 的大作中提到】
: 今天晚上吃饭的时候和我儿子讨论了他正在研究的“质数推导公式”之后，儿子忽然说
: 他知道为什么派是无限的 --- 儿子上四年级，他还不知道无理数这个概念，半年前我
: 教了他派以及圆面积公式 --- 我自己从来没有想过这个问题，所以就让儿子说来听听
: 他的解释，见下。
: 既然圆面积是派啊平方，如果派是有限的（注，有理数），那么当年把无限小的一小截
: 圆弧放大的话，这一小截圆周那它应该是平的（直线），而不是圆弧。（注，换句话说
: ，也就是）因为圆周任何无限小的一小截圆弧都不是直线，所以派必须是无限的（注，
: 无理数）。
: 上面是解释，我觉得似乎有点道理，但是又觉得中间似乎有些没有完全连接起来。我放
: 了狗搜索了一下，找到这个：
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h****1
发帖数: 76 | 23 你这个帽子太大，曲解了我的意思。我的意思是存疑，然后长期探索，跟你说的两码事
。阴阳五行八卦这些也未必像你说的这么不堪就是了。
就是
【在 s**p 的大作中提到】
: 这个人生观我天朝子民是最擅长的，技术能用就行了，不用去管背后的科学。几千年就是
: 这么过的，五行八卦啥的也是这么诞生的。
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B****n
发帖数: 11290 | 24 這個悖論當他死的時候就自然被破解了 不然按此邏輯他應該可以一直活下去
【在 h****1 的大作中提到】
: Jim Simons 说他小时候自行发现了Zeno悖论。他父亲说汽油会用完，他则认为不会，
: 因为永远可以用剩下的一半汽油。。。不过他又自嘲没有同时发现人永远到达不了目的
: 地的悖论。
: 另外就是很多概念、理念是不必当下就要寻根究底，可以存疑，也不必“疑而不用”。
: 就像电脑、汽车，寻根究底，谁又能全部说清楚其中的原理呢？但并不影响使用。数学
: 中的观念同样如此。
: 爱因斯坦对“时间”，“空间”等基本观念不是存疑了十年、二十年才推出自己的新理
: 解吗？
: 人类生存繁衍了多少万年？搞清楚精子、卵子，乃至基因的事实和观念，也就是过去一
: 两百年的事情吧？能安然活在“疑惑”中，坦然接受“不究竟”的事实，并不代表没有
|
j*d
发帖数: 96 | 25 你的想法和Richard Feynman 很像啊:
https://www.youtube.com/watch?v=E1RqTP5Unr4
【在 h****1 的大作中提到】
: Jim Simons 说他小时候自行发现了Zeno悖论。他父亲说汽油会用完，他则认为不会，
: 因为永远可以用剩下的一半汽油。。。不过他又自嘲没有同时发现人永远到达不了目的
: 地的悖论。
: 另外就是很多概念、理念是不必当下就要寻根究底，可以存疑，也不必“疑而不用”。
: 就像电脑、汽车，寻根究底，谁又能全部说清楚其中的原理呢？但并不影响使用。数学
: 中的观念同样如此。
: 爱因斯坦对“时间”，“空间”等基本观念不是存疑了十年、二十年才推出自己的新理
: 解吗？
: 人类生存繁衍了多少万年？搞清楚精子、卵子，乃至基因的事实和观念，也就是过去一
: 两百年的事情吧？能安然活在“疑惑”中，坦然接受“不究竟”的事实，并不代表没有
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