A**H 发帖数: 4797 | 1 今天晚上吃饭的时候和我儿子讨论了他正在研究的“质数推导公式”之后,儿子忽然说
他知道为什么派是无限的 --- 儿子上四年级,他还不知道无理数这个概念,半年前我
教了他派以及圆面积公式 --- 我自己从来没有想过这个问题,所以就让儿子说来听听
他的解释,见下。
既然圆面积是派啊平方,如果派是有限的(注,有理数),那么当年把无限小的一小截
圆弧放大的话,这一小截圆周那它应该是平的(直线),而不是圆弧。(注,换句话说
,也就是)因为圆周任何无限小的一小截圆弧都不是直线,所以派必须是无限的(注,
无理数)。
上面是解释,我觉得似乎有点道理,但是又觉得中间似乎有些没有完全连接起来。我放
了狗搜索了一下,找到这个:
http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_%CF%80_is_irrational
但是我也不是很懂,没怎么学高数。。。 |
T*******g 发帖数: 2322 | 2 你的孩子的这个道理从数学上来讲是错的,尽管直观上有一定可取之处。pi是不是有理
数根直线不直线没关系。圆弧也可以周长为有理数,例如一个周长为1的圆;多边形也
可以周长为无理数,例如一个短边长为1的等腰直角三角形。 |
A**H 发帖数: 4797 | 3 根据学术版的说法,我可能把无限和无理搞错了,也有循环论证的可能。总之,应该是
不太靠谱。
不过,因为我自己也不太懂,真不知道该怎么辅导孩子了
【在 T*******g 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 你的孩子的这个道理从数学上来讲是错的,尽管直观上有一定可取之处。pi是不是有理 : 数根直线不直线没关系。圆弧也可以周长为有理数,例如一个周长为1的圆;多边形也 : 可以周长为无理数,例如一个短边长为1的等腰直角三角形。
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p****u 发帖数: 2422 | 4 无理数是不能表示为a/b的数,必定是无限不循环的
通常无限循环的都可以表示为a/b,是有理数,比如1/3
【在 A**H 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 根据学术版的说法,我可能把无限和无理搞错了,也有循环论证的可能。总之,应该是 : 不太靠谱。 : 不过,因为我自己也不太懂,真不知道该怎么辅导孩子了
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d******n 发帖数: 3836 | |
d*******g 发帖数: 1265 | 6 很多数学的概念先接受,不必知道证明,比如Fundamental theorem of algebra。
这个PI的超越性要学了Galois才能很简单的证出来。 |
l***y 发帖数: 1166 | 7 无理数定义为无限不循环的小数。
和直男还是弯的没关系。
例如Sqrt(2)是无理数, 又是边长为1的正方形的对角线长度。
所有分数都可以写成循环小数(或者有限小数),所以分数都是有理数。
例如1/7=0.142857 142857
所有循环小数也都可以写成分数
例如0.72 72 72..=72/99
0.999999...=1 |
m*****n 发帖数: 3644 | 8 pi=周长/直径。孩子implicitely假设直径是有理数或者1.你举的例子不make sense。
。
【在 T*******g 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 你的孩子的这个道理从数学上来讲是错的,尽管直观上有一定可取之处。pi是不是有理 : 数根直线不直线没关系。圆弧也可以周长为有理数,例如一个周长为1的圆;多边形也 : 可以周长为无理数,例如一个短边长为1的等腰直角三角形。
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A**H 发帖数: 4797 | 9 对,孩子有个假定,那就是圆弧都是无限的或者你说的假定直线但是有限的
【在 m*****n 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : pi=周长/直径。孩子implicitely假设直径是有理数或者1.你举的例子不make sense。 : 。
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j*d 发帖数: 96 | 10 没明白什么叫“圆弧都是无限的”。
圆弧的长度可以是1,不管其长度本身或者长度的小数位数都是有限的。
【在 A**H 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 对,孩子有个假定,那就是圆弧都是无限的或者你说的假定直线但是有限的
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j*d 发帖数: 96 | 11 没明白什么叫“圆弧都是无限”。
长度为1 的圆弧, 其长度本身或者长度的小数位数都是有限的。
【在 A**H 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 对,孩子有个假定,那就是圆弧都是无限的或者你说的假定直线但是有限的
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A**H 发帖数: 4797 | 12 老实说,因为我对这个问题也不是很懂,所以不太能启发孩子去展开,把他的想法描述
清楚。后来父母版有一个回帖,大意是说版上原来也有一个孩子。。。算了,我直接贴
过来
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发信人: dragonbreath (龙吸), 信区: Parenting
标 题: Re: 求教:今天娃问我,PI为什么是无理数
发信站: BBS 未名空间站 (Sun Nov 29 08:00:20 2015, 美东)
看着是个牛娃
一年前在版上看到过相似的帖子,就是娃说,如果派不是无限不循环小数,那么肯定会
存在一个多边形来表达圆。。。
看来牛娃都是有共性的
这个虽然不算严格数学证明,但是是很宝贵的数学直觉
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我觉得这个非常清晰的数学表达“多边形表达圆”应该跟我儿子说的那个直线比较接近
。但我还是不知道这个多边形说法正确不正确
【在 j*d 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 没明白什么叫“圆弧都是无限”。 : 长度为1 的圆弧, 其长度本身或者长度的小数位数都是有限的。
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o*******k 发帖数: 357 | 13 这个直觉将无限(极限)的概念和无限不循环小数连起来。 不过这个直觉是错的。
正多边形的周长也(应该都)是无理数 (假定圆半径为1, 多边形顶点到中心的距离
也是1)。
有理数和无理数是稠密的, 用这样的极限过程是没有办法直接区分一个数(像pi)是
无理数还是有理数的。
基本上, 证明一个数不是有理数都需要对这个极限过程有效的估计。( 有这样的估计
,最后就变成0,1之间没有整数之类的结论。)
你的链接里Hermite的证明,有清晰的逻辑和过程, 你不需要知道具体的细节也大概能
看懂他的意思。
仅有一个极限过程,没有估计,是得不出来有理无理的结论的。 |
l***y 发帖数: 1166 | 14 不客气的说,这个直觉是错的。
‘如果派不是无限不循环小数,那么肯定会: 存在一个多边形来表达圆’
pi定义为圆周长与直径的比,按照这个自觉 换个说法就是:
多边形周长与‘直径’(假设多边形直径定义为过中心的对角线)的比值必定是有理数
(要么有限小数,要么无限循环小数)。
最简单的反例就是边长为1的正方形,周长与对角线比值为4/Sqrt(2)
【在 A**H 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 老实说,因为我对这个问题也不是很懂,所以不太能启发孩子去展开,把他的想法描述 : 清楚。后来父母版有一个回帖,大意是说版上原来也有一个孩子。。。算了,我直接贴 : 过来 : ~~~~~~~~~~~~~~~~ : 发信人: dragonbreath (龙吸), 信区: Parenting : 标 题: Re: 求教:今天娃问我,PI为什么是无理数 : 发信站: BBS 未名空间站 (Sun Nov 29 08:00:20 2015, 美东) : 看着是个牛娃 : 一年前在版上看到过相似的帖子,就是娃说,如果派不是无限不循环小数,那么肯定会 : 存在一个多边形来表达圆。。。
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l***y 发帖数: 1166 | 15 不客气的说,这个直觉是错的。
‘如果派不是无限不循环小数,那么肯定会: 存在一个多边形来表达圆’
pi定义为圆周长与直径的比,按照这个自觉 换个说法就是:
多边形周长与‘直径’(假设多边形直径定义为过中心的对角线)的比值必定是有理数
(要么有限小数,要么无限循环小数)。
最简单的反例就是边长为1的正方形,周长与对角线比值为4/Sqrt(2)
【在 A**H 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 老实说,因为我对这个问题也不是很懂,所以不太能启发孩子去展开,把他的想法描述 : 清楚。后来父母版有一个回帖,大意是说版上原来也有一个孩子。。。算了,我直接贴 : 过来 : ~~~~~~~~~~~~~~~~ : 发信人: dragonbreath (龙吸), 信区: Parenting : 标 题: Re: 求教:今天娃问我,PI为什么是无理数 : 发信站: BBS 未名空间站 (Sun Nov 29 08:00:20 2015, 美东) : 看着是个牛娃 : 一年前在版上看到过相似的帖子,就是娃说,如果派不是无限不循环小数,那么肯定会 : 存在一个多边形来表达圆。。。
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j*d 发帖数: 96 | 16 说的对,不过一般孩子估计想不到这点。
(另外,不用假设正方形的边长为1)
【在 l***y 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 不客气的说,这个直觉是错的。 : ‘如果派不是无限不循环小数,那么肯定会: 存在一个多边形来表达圆’ : pi定义为圆周长与直径的比,按照这个自觉 换个说法就是: : 多边形周长与‘直径’(假设多边形直径定义为过中心的对角线)的比值必定是有理数 : (要么有限小数,要么无限循环小数)。 : 最简单的反例就是边长为1的正方形,周长与对角线比值为4/Sqrt(2)
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A**H 发帖数: 4797 | 17 是的
我因为不是很明白错在哪里,所以没法子纠正孩子的逻辑(本身就表述不清楚)
【在 l***y 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 不客气的说,这个直觉是错的。 : ‘如果派不是无限不循环小数,那么肯定会: 存在一个多边形来表达圆’ : pi定义为圆周长与直径的比,按照这个自觉 换个说法就是: : 多边形周长与‘直径’(假设多边形直径定义为过中心的对角线)的比值必定是有理数 : (要么有限小数,要么无限循环小数)。 : 最简单的反例就是边长为1的正方形,周长与对角线比值为4/Sqrt(2)
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l***y 发帖数: 1166 | 18 那假设正方形边长为Sqrt(2)啦,哈哈
【在 j*d 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 说的对,不过一般孩子估计想不到这点。 : (另外,不用假设正方形的边长为1)
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h****1 发帖数: 76 | 19 Jim Simons 说他小时候自行发现了Zeno悖论。他父亲说汽油会用完,他则认为不会,
因为永远可以用剩下的一半汽油。。。不过他又自嘲没有同时发现人永远到达不了目的
地的悖论。
另外就是很多概念、理念是不必当下就要寻根究底,可以存疑,也不必“疑而不用”。
就像电脑、汽车,寻根究底,谁又能全部说清楚其中的原理呢?但并不影响使用。数学
中的观念同样如此。
爱因斯坦对“时间”,“空间”等基本观念不是存疑了十年、二十年才推出自己的新理
解吗?
人类生存繁衍了多少万年?搞清楚精子、卵子,乃至基因的事实和观念,也就是过去一
两百年的事情吧?能安然活在“疑惑”中,坦然接受“不究竟”的事实,并不代表没有
好奇心。由此也看出,过分追求“究竟”,是不可能也是完全没有必要的。 |
s**p 发帖数: 1097 | 20 这个人生观我天朝子民是最擅长的,技术能用就行了,不用去管背后的科学。几千年就是
这么过的,五行八卦啥的也是这么诞生的。
【在 h****1 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : Jim Simons 说他小时候自行发现了Zeno悖论。他父亲说汽油会用完,他则认为不会, : 因为永远可以用剩下的一半汽油。。。不过他又自嘲没有同时发现人永远到达不了目的 : 地的悖论。 : 另外就是很多概念、理念是不必当下就要寻根究底,可以存疑,也不必“疑而不用”。 : 就像电脑、汽车,寻根究底,谁又能全部说清楚其中的原理呢?但并不影响使用。数学 : 中的观念同样如此。 : 爱因斯坦对“时间”,“空间”等基本观念不是存疑了十年、二十年才推出自己的新理 : 解吗? : 人类生存繁衍了多少万年?搞清楚精子、卵子,乃至基因的事实和观念,也就是过去一 : 两百年的事情吧?能安然活在“疑惑”中,坦然接受“不究竟”的事实,并不代表没有
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B********e 发帖数: 10014 | 21 请填空:
过分干______是有必要的
【在 h****1 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : Jim Simons 说他小时候自行发现了Zeno悖论。他父亲说汽油会用完,他则认为不会, : 因为永远可以用剩下的一半汽油。。。不过他又自嘲没有同时发现人永远到达不了目的 : 地的悖论。 : 另外就是很多概念、理念是不必当下就要寻根究底,可以存疑,也不必“疑而不用”。 : 就像电脑、汽车,寻根究底,谁又能全部说清楚其中的原理呢?但并不影响使用。数学 : 中的观念同样如此。 : 爱因斯坦对“时间”,“空间”等基本观念不是存疑了十年、二十年才推出自己的新理 : 解吗? : 人类生存繁衍了多少万年?搞清楚精子、卵子,乃至基因的事实和观念,也就是过去一 : 两百年的事情吧?能安然活在“疑惑”中,坦然接受“不究竟”的事实,并不代表没有
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B********e 发帖数: 10014 | 22 不知道的东西鼓励他以后自己搞懂就行了
四年级一点基本概念都没有呢,走什么极端。
如果这么容易把一些似是而非的意识当成天才
也同样容易因一些困难而有过多的挫折感
问问你儿子从那个星球来的,
如果他没有说漏了嘴透露出是外星人,
就让给他点个赞继续努力了
【在 A**H 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 今天晚上吃饭的时候和我儿子讨论了他正在研究的“质数推导公式”之后,儿子忽然说 : 他知道为什么派是无限的 --- 儿子上四年级,他还不知道无理数这个概念,半年前我 : 教了他派以及圆面积公式 --- 我自己从来没有想过这个问题,所以就让儿子说来听听 : 他的解释,见下。 : 既然圆面积是派啊平方,如果派是有限的(注,有理数),那么当年把无限小的一小截 : 圆弧放大的话,这一小截圆周那它应该是平的(直线),而不是圆弧。(注,换句话说 : ,也就是)因为圆周任何无限小的一小截圆弧都不是直线,所以派必须是无限的(注, : 无理数)。 : 上面是解释,我觉得似乎有点道理,但是又觉得中间似乎有些没有完全连接起来。我放 : 了狗搜索了一下,找到这个:
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h****1 发帖数: 76 | 23 你这个帽子太大,曲解了我的意思。我的意思是存疑,然后长期探索,跟你说的两码事
。阴阳五行八卦这些也未必像你说的这么不堪就是了。
就是
【在 s**p 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : 这个人生观我天朝子民是最擅长的,技术能用就行了,不用去管背后的科学。几千年就是 : 这么过的,五行八卦啥的也是这么诞生的。
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B****n 发帖数: 11290 | 24 這個悖論當他死的時候就自然被破解了 不然按此邏輯他應該可以一直活下去
【在 h****1 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : Jim Simons 说他小时候自行发现了Zeno悖论。他父亲说汽油会用完,他则认为不会, : 因为永远可以用剩下的一半汽油。。。不过他又自嘲没有同时发现人永远到达不了目的 : 地的悖论。 : 另外就是很多概念、理念是不必当下就要寻根究底,可以存疑,也不必“疑而不用”。 : 就像电脑、汽车,寻根究底,谁又能全部说清楚其中的原理呢?但并不影响使用。数学 : 中的观念同样如此。 : 爱因斯坦对“时间”,“空间”等基本观念不是存疑了十年、二十年才推出自己的新理 : 解吗? : 人类生存繁衍了多少万年?搞清楚精子、卵子,乃至基因的事实和观念,也就是过去一 : 两百年的事情吧?能安然活在“疑惑”中,坦然接受“不究竟”的事实,并不代表没有
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j*d 发帖数: 96 | 25 你的想法和Richard Feynman 很像啊:
https://www.youtube.com/watch?v=E1RqTP5Unr4
【在 h****1 的大作中提到】![](/moin_static193/solenoid/img/up.png) : Jim Simons 说他小时候自行发现了Zeno悖论。他父亲说汽油会用完,他则认为不会, : 因为永远可以用剩下的一半汽油。。。不过他又自嘲没有同时发现人永远到达不了目的 : 地的悖论。 : 另外就是很多概念、理念是不必当下就要寻根究底,可以存疑,也不必“疑而不用”。 : 就像电脑、汽车,寻根究底,谁又能全部说清楚其中的原理呢?但并不影响使用。数学 : 中的观念同样如此。 : 爱因斯坦对“时间”,“空间”等基本观念不是存疑了十年、二十年才推出自己的新理 : 解吗? : 人类生存繁衍了多少万年?搞清楚精子、卵子,乃至基因的事实和观念,也就是过去一 : 两百年的事情吧?能安然活在“疑惑”中,坦然接受“不究竟”的事实,并不代表没有
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