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发信人: hanmen (寒门), 信区: Military
标 题: 别人家的小孩——6岁学微积分。
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Oct 20 03:53:02 2016, 美东)
胡鞍钢：见到了一个很有数学才华的小孩
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胡鞍钢（1953年4月27日－），中国辽宁鞍山人，中国国情研究专家、经济学家，著名
新左派学者之一，现任中国科学院-清华大学国情研究中心主任、清华大学公共管理学
院教授、博士生导师。
自动化专业出身，在中国科学院取得博士学位。
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见到了一个很有数学才华的小孩
胡鞍钢 Oct 19
由于有某些事情要处理，在北京过了一天。当天上午把事情办完了，就和朋友K约了吃
饭。K早就知道我要来，说他儿子对数学很有兴趣，要让我和他儿子聊聊。于是就有了
下面这场神奇的经历。
K的儿子刚满六岁，还在念幼儿园大班。之前K跟我说，他儿子要问问我什么是微积分..
. 老实地说，被家长认为是天才儿童的孩子，我觉得也见得不少了。P大数学系一届接
近两百人，怎么说也有三分之一小时候是 “别人家的孩子”，然而上了大学还是然并
卵。退一步说，我小时候算数也还可以了，如果一个小孩子表现和我差不多，我也只会
觉得他 “还可以” 吧。然而跟小朋友交流一下我还是愿意的。于是午饭的时候K把儿
子从幼儿园接了出来，我们从午饭聊到了天黑，以下是一些简短的回忆。
之前K告诉过我他儿子知道有理数和无理数的区别，所以在饭桌上，我先问他为什么是
无理数。答案并不让人满意（我也不惊讶）——他说因为这是 “” 废了几句口舌还是
没法说服小朋友是一件需要证明的事情，对话中也知道了他知道 之类的事实，但对实
数是无限小数这件事情还是缺乏足够的理解。
退而求其次，我决定还是问点一般的聪明小孩应该知道的，比如速算类的问题。第一个
问题是计算的平方，他喃喃地说着 “一千六百减去两百三十一，所以答案是一千三百
六十九” 得出了正确答案。. （语速非常慢）后来又问了几个两位数和三位数乘法。
饭桌上K问我小时候有什么牛逼的经历，我说我四岁的时候刚学开方能说出开方是. 但
是这用来考他儿子显然不够，于是我们问他开方是多少，他一开始觉得这是个无理数，
后来尝试计算了的平方（“等于一万四千一百多，所以不是”）和的平方，得出了正确
答案. 正好跟杨辉三角有点关系，于是我拿出了纸笔引导他算, 做完展开之后，他算出
了, 然后又试了, 展开之后算出来. 有趣的是小家伙看书已经知道了杨辉三角里的数是
二项式展开的系数，但是并不知道每个系数对应哪一项（他展开的时候并不知道按降幂
排列单项式），解释了一下他就明白了。
午饭后讲的内容我已经忘掉一些了。因为小家伙想知道什么是微积分，就写了个函数
让他求最大值。他 “知道”的时候函数值最大（之前看书知道的），在我的追问下也
做出了的 “证明”。遗憾的是他在纸上写的是, 实际上右边的并不是左边那个而是某
个别的量，但是我并没有苛求他写成. 我们尝试了计算和的数值，他能看出正好能用上
平方差公式，这点很不错。
他 “知道”的时候有最大值，其实对我并不是好消息。在北美教微积分的时候习惯了
用这类很平凡的例子，主要是出于对听众代数水平的无奈。于是我换了个函数，, 把目
标定成了这个函数在上的最大值。我们通过这个函数迈向了微积分。我让他计算了, 并
告诉他这里的系数就是的导数，记作. 他挺开心的。趁这个机会我讲了一下两个函数之
和的导数是各自求导之和，又告诉了他单项式的一般情形，也就是那个.（但是并没有
来得及解释导函数的正负和原函数增减性的关系，后来晚饭的时候才解释，最大值这块
只是口头说了说。）
这时候小家伙问我积分是啥了。比较好玩的一件事情是，他有一个符号计算器，之前已
经按上面的按钮知道微分和积分互为逆运算。我告诉他，的不定积分，就是一个导数是
的函数，比如就是这样一个函数。也是这样的一个函数，更一般的，对于一个常数, 就
是这样的一个函数。这时候小家伙很有意思地评论了一句，的积分就是任意一个不含的
数，这句话让我觉得还蛮愉悦的。
然后小家伙问我，积分号上面下面都有数字是什么意思。显然他已经见过这个记号了，
只是还没有人跟他解释。于是我解释了一下积分和面积的关系，以曲线下方的面积为例
子，把原函数求出来，再做函数在上下限数值之差。这里的一个亮点是，小家伙评论道
“积分就像几何里的求和”（不过我觉得不能排除他在书上看过类似的话的可能性）
。最后我举了个
的例子，试图蒙混过关讲个反常积分，但是我借这个机会展示了手机上 WolframAlpha
的 app, 输入了这个积分，还点了里面的 step by step 按钮…… 没想到
WolframAlpha 很诚实，给出的结果是这样的：
一开始想偷懒不想把反常积分的定义告诉小朋友。既然如此，我就跟他解释了一下极限
的概念，并且解释了这个反常积分其实是定义成到的积分在的时候的极限。这部分由于
我讲得多些，并且没有习题之类可操作的内容，不好说小朋友听懂了多少。
这时候他终于换了个话题，问我一元二次方程求根公式是凑出来的还是怎么来的，他说
他把求根公式带入方程算了好久发现确实是根，于是我解释了一通怎么把一般的一元二
次方程配成完全平方，然后再通过开方来解方程。他在我的引导下完成了一元二次方程
求根公式的推导。他对结果表示满意。
终于他表示没有更多的问题了，让我给他出点问题。于是我抛出了一个我觉得会让小孩
子懵逼的问题——
有没有一个整数的平方，除以的余数是?
正确答案是没有，但是我觉得这够小孩子忙活一阵了，一般跟小孩解释起来也比较费我
的口舌。接下来的发展让我比较惊奇：
首先，他在纸上写下了. 我看了一眼，心里说，虽然这个方程解不出来，他起码还是理
解了问题的。（后来我发觉他是不太愿意或者不会写复杂的汉字，因为我在纸上写 “
是整数” 的时候他告诉我可以写成）。然后他在纸上画了一些方框和面积之类的 junk
. 出乎我意料的是，他在比较短的时间内就把问题转化成了一个不定方程. 然后他思考
了一段时间，我决定往正确的方向轻轻推一下，就问他，有没有可能是的倍数啊？他想
了想说，不行，因为左边是的倍数，右边不是。然后我选择了沉默，准备让他在懵逼的
海洋里再漂一会儿（我不是第一次讲这类内容，一般第一次接触这类问题的听众都会懵
一阵），然而他没有！我惊讶地看着他一边写一边奶声奶气地说，如果除以余, 那么,
这时候有然后他还是卡住了，但是并没有懵，一直在草稿纸上探索。草稿纸如下：
（请原谅小朋友狗扒式的书写。中间他还提到是的一个解，我不得不提醒他，要在整数
里解这个方程。）看到他已经离真相很接近，我还是稍微指点了他一下，他已经给出了
, 于是我问他，左边是整数吗，右边呢？他迅速找出了矛盾，并且用同样的方法处理了
的情形。我的心里是欢喜而震惊的。（后来我让他换成了常见的两边除以三余数不相等
的说法）
然后我又问了他，有没有一个整数的平方除以的余数是? 这次他聪明多了，直接上手分
成四个情形， 一通狂算否定了这种可能性。（其实对按奇偶性讨论，也就是分成两种
情形就够了，但我没拦着他）
这时候他竟然做出了个猜测，是不是平方数除以的余数一定不能是呢？我说，那有没有
一个数的平方，除以的余数是呢？经过思考他意识到答案是有，也就是猜错了。但是思
考这个的时候他得出了个简单的判别法，也就是说如果（对任意的）都不是完全平方数
，那么平方数除以的余数就不能是. 这是很平凡的，但能观察到还是有点趣味：从这个
结论出发，可以得到对于, 都存在平方数除以的余数是：因为. （我慢慢地把余数的概
念从换成了, 反正是等价的，他也能接受。）为了挑战他这个判别法，我提出了的情形
，这种情形，符合条件的完全平方数也是存在的，但运用那个判别法稍微需要些耐心：
. 在我的引导下他也做到了。
这时候我教他简化了前面的计算方法：和不用分开算，只要写成再算就可以。另外除以
的余数能不能是那个问题，按照奇偶性讨论即可。这时候我再提出的情形，有没有一个
整数的平方除以余数是, 他已经轻车熟路了，直接讨论四种情形。然后我又让他计算了
的情况。
扔了一路的面包屑，还帮他把结论都写了下来（对于存在这样的完全平方，对于不存在
）并且告诉他我们暂时只讨论是素数的情形。这时候他终于提出了正确的猜测：
如果是素数且除以的余数是, 那么不存在完全平方数除以的余数是.
我想这个问题够他想一阵了。不知道他能不能想出原根（的生成元）的概念，想到了这
个问题就不难。
晚饭时间到了，上面的讨论告一段落。去吃晚饭的路上，跟他聊了聊高斯整数, 并且让
他做高斯整数里的素因子分解。他也得出了一个比较初步的判别法：要是高斯整数里的
素数的话，必须是原来那种素数（也就是整数环里的素数），且不能表示成两个平方数
之和。（中间他尝试用来说明“不是” 高斯整数里的素数，于是我补充了个定义）后
来我告诉了他只有型的素数在高斯整数里还是素数这个结论。这时候我们走到餐馆了。
晚饭的时候还聊了些东西，但是比较零碎，不整理了。午饭和晚饭期间他一直在问我怎
么算。晚饭的时候借助欧拉公式我口头告诉他答案是（也可以用这个结论，但那又要引
入新的记号了)。一个比较亮的亮点是我们聊起结合律分配律之类的，他评论了一句 “
除法对减法满足分配律”。我真是好想拍大腿，这么平凡的东西真应该成为每个抽象代
数书上的例子啊！（注：有人指出，应该是除法对减法满足右分配律。这个确实是我疏
忽了，餐桌上聊天想得不太仔细。）
晚饭后我就收拾东西准备打车去机场了。回去的路上他问了一句积分的上下限能不能是
复数，我和K都愣了一下，告诉他这种时候要选取一条复平面上的路径才能定义积分。
我跟K说，要跟他解释什么是复平面上的单连通区域么？（其实这时候我脑子里闪过一
堆东西，因为即使是单连通区域，如果不是全纯函数或者存在势函数的二元函数，积分
的值还是会依赖于路径。）K说，可能过一阵就学到留数定理了吧，我笑而不语。好在
这时候小朋友的注意力终于有点分散了，并没有过于纠结。
这时候已经晚上七点多了，从一点开始，一个六岁的小朋友，竟然毫不疲倦地跟我聊了
六个小时的数学，我心里也是很服气的。等车的时候小朋友终于问了点数学之外的内容
（这次他问的是... “什么是洗钱”，难道我长得很像干这个的吗(⊙v⊙)）。
去机场的路上和飞机上我想了很多。K的儿子目前是散养的（否则也不至于满六岁了还
在幼儿园...），没有经过什么系统的培训，但是看了很多乱七八糟的科普书。K担心这
么下去小孩子只知道一堆名词，学废了，才约我和他对话。K的老婆也知道儿子聪明，
让K制定个奥数培养方案，这让K很为难。我建议K可以试着给小孩讲讲大学数学系前两
年的内容，反正技能树摆在那，照着技能树点就可以了。
K之前的做法也有一定问题，就是把儿子当成啥的不会的小孩，试图讲得 “浅显直观”
，反倒没法讲清楚（比如无穷小量类似于 “的次方” 这种屁话，真是让我心里一万头
动物呼啸而过，果然是学物理的！）。还不如基于二元一次或者三元一次方程组，给小
孩讲讲线性代数。
我也挺想再给小朋友上几次课的。如果各方面条件允许的话，我可能会希望能在他小学
毕业前告诉他有限域上代数曲线的韦依猜想及其证明吧。没准小朋友过七八年就能参加
REU 了。
最后发个广告:
如果有身在北京的学纯数的朋友，看到这个文章，想跟小朋友聊聊天或者给小朋友
上上课的话，请私信联系我，K同学有报酬。
本科生研究生教授都行。最好能和小朋友心平气和地交流一下，别干围观奇葩这类事情。
（这个广告是希望找人去教K的儿子，不是说我要给人上课，我平时也不在北京，谢谢） |
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