T*******x
发帖数: 8565 | 1 这个词逼格挺高。但是很多人不知道它到底是什么。而且在数学和物理中，这个词的含
义差别挺大 - 在形式上，当然本质是相同的，也当然数学上含义是更严格，更抽象，
更通用的。
谁先上？ |
s***h
发帖数: 487 | |
B*Q
发帖数: 25729 | |
I***8
发帖数: 1 | 4 黄克智的张量书10年前就二三百人民币，因为绝版
★ 发自iPhone App: ChinaWeb 1.1.4
【在 B*Q 的大作中提到】
: 道理上没啥稀奇的
: 用起来麻烦得很
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P***y
发帖数: 2885 | 5 确实逼格高。也就理科的教授挂在嘴边骗不懂事的小孩。工程上能不用就不用，像躲瘟
神一样躲着。 |
T*******x
发帖数: 8565 | 6 tensorflow，张量流，可见这个词的逼格侧漏，已经到了计算机领域。
【在 P***y 的大作中提到】
: 确实逼格高。也就理科的教授挂在嘴边骗不懂事的小孩。工程上能不用就不用，像躲瘟
: 神一样躲着。
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s***h
发帖数: 487 | 7 也就是把五百张系花照片叠成一叠。
: tensorflow，张量流，可见这个词的逼格侧漏，已经到了计算机领域。
【在 T*******x 的大作中提到】
: tensorflow，张量流，可见这个词的逼格侧漏，已经到了计算机领域。
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c**********n
发帖数: 7 | 8 本身道理很简单
就是把多重线性写成单线性的一种写法
只是把各个分部展开来写的而已
然后可以扩展一下
张量积是一种用两个线性空间构造新线性空间的方法
（其实我觉得用这个方法理解张量比直接讲系数的运算更好理解）
可以类比于直和
直和和张良在表示论里是最基本的构造
这个地方可以升级一下
把所有线性空间放到一起做成一个范畴
由于直和和张良的存在，这个范畴有个特殊的名字（k-linear monoidal category)
其中k-linear对应直和这个运算,monoidal对应张量这个运算
于是自然的考虑该范畴的grothendieck group，张量在上面自然诱导一个环结构，这个
环也叫grothendieck ring 或者k ring.
当然k group上面可以有很多不同的乘法，张量定义的这个是最基本的
然后上面说的可以再升级，把线性空间换成各种奇葩东西的表示
相应的范畴以及k ring有好多好兴致，基本上90年代以后的表示论和数学物理有一大帮
人在搞这个
（请不要拿我上面说法中细微小错打我，我不想拿完整厚本定义出来压人） |
T*******x
发帖数: 8565 | 9 你写的不错，不过你这么写物理系的人看不懂。
另外你最后一句话有点意思，disclaimer，反映了在一个不甚友好的环境下小心翼翼的
心态。我们这个讨论环境确实是这样。不过至少我是性格可期，不会首先暴起伤人。
【在 c**********n 的大作中提到】
: 本身道理很简单
: 就是把多重线性写成单线性的一种写法
: 只是把各个分部展开来写的而已
: 然后可以扩展一下
: 张量积是一种用两个线性空间构造新线性空间的方法
: （其实我觉得用这个方法理解张量比直接讲系数的运算更好理解）
: 可以类比于直和
: 直和和张良在表示论里是最基本的构造
: 这个地方可以升级一下
: 把所有线性空间放到一起做成一个范畴
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d**s
发帖数: 4741 | |
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d**s
发帖数: 4741 | 11 v_1^v_2^...^v_n=(det A )e_1^e_2^...^e_n
这里矩阵 A=[v_1 v_2...v_n] |
T*******x
发帖数: 8565 | 12 行列式就是矩阵，对吧？这个词很熟悉，就是想不起来是啥了。另外你的v_1，v_2，是
写成列向量还是行向量？
【在 d**s 的大作中提到】
: 从行列式入手很好理解
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d**s
发帖数: 4741 | 13 列吧 当然行也可以 transpose不改变determinant
【在 T*******x 的大作中提到】
: 行列式就是矩阵，对吧？这个词很熟悉，就是想不起来是啥了。另外你的v_1，v_2，是
: 写成列向量还是行向量？
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R*****i
发帖数: 2126 | 14 矩阵只能体现二阶张亮，叔记得以前碰到过六阶张亮，所以只能用爱因斯坦标记法。 |
d*****u
发帖数: 17243 | 15 工程里的张量很简单，就是特指M*N*L的数据组合。
拿自然语言处理来说，如果一个句子有N个词，每个词用L维向量表示，那么M个句子就
构成这样一个张量。
实际应用很少有超过四阶的。 |
T*******x
发帖数: 8565 | 16 物理中的张量可以看成是一个多维数组。比如一阶张量是一维数组，二阶张量是二维数
组，三阶张量是三维数组，等等。但是每个维都是固定长度，比如二阶张量就是n*n的
一个二维数组，很自然的表示成一个矩阵。三阶张量是n*n*n的三维数组，不能表示成
矩阵了，或者可以想象三维矩阵。
运算上，一个二阶张量相当于一个二元函数，可以代入两个向量，得到一个数。也就是
矩阵的左乘和右乘各一个向量，结果是一个数。
三阶张量相当于一个三元函数，可以代入三个向量，得到一个数。可以想象成一个三维
矩阵，想象有xyz三个方向，代入一个向量，要看这个向量是哪个方向的，比如是y方向
的，那可以把这个三维矩阵按照z方向分层，每一层都是一个xy方向的二维矩阵，都可
以和这个y方向的向量相乘，得到一个x方向的向量，然后再把所有z的各层合并起来，
就变成一个xz方向的二维矩阵或二阶张量。也就是说一个三阶张量，乘以一个向量，阶
数减一，变成一个二阶张量。再乘一个向量，阶数又减一，变成一个一阶张量，也就是
一个向量。再乘一个向量，阶数又减一，变成零阶，也就是一个数。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 这个词逼格挺高。但是很多人不知道它到底是什么。而且在数学和物理中，这个词的含
: 义差别挺大 - 在形式上，当然本质是相同的，也当然数学上含义是更严格，更抽象，
: 更通用的。
: 谁先上？
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T*******x
发帖数: 8565 | 17 数学上，张量表达的是一个n维线性空间上的多线性函数。比如二阶张量就是双线性函
数，它可以代入两个向量，得到一个数，对每一个向量都是线性的。三阶张量就是三线
性函数，它可以代入三个向量，得到一个数，对每一个向量都是线性的。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 物理中的张量可以看成是一个多维数组。比如一阶张量是一维数组，二阶张量是二维数
: 组，三阶张量是三维数组，等等。但是每个维都是固定长度，比如二阶张量就是n*n的
: 一个二维数组，很自然的表示成一个矩阵。三阶张量是n*n*n的三维数组，不能表示成
: 矩阵了，或者可以想象三维矩阵。
: 运算上，一个二阶张量相当于一个二元函数，可以代入两个向量，得到一个数。也就是
: 矩阵的左乘和右乘各一个向量，结果是一个数。
: 三阶张量相当于一个三元函数，可以代入三个向量，得到一个数。可以想象成一个三维
: 矩阵，想象有xyz三个方向，代入一个向量，要看这个向量是哪个方向的，比如是y方向
: 的，那可以把这个三维矩阵按照z方向分层，每一层都是一个xy方向的二维矩阵，都可
: 以和这个y方向的向量相乘，得到一个x方向的向量，然后再把所有z的各层合并起来，
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T*******x
发帖数: 8565 | 18 tensorflow，张量流，是什么呢？这是Google发明的一个词，数上一般只说vector
flow。
flow是什么呢？比如想象空间中的一个光滑曲面，曲面上的函数叫flow。也就是在曲面
的每一个点上都取一个不同的值，这个函数（值）不就在光滑的曲面上flow起来了吗？
如果每个点上取值不是一个数，而是一个向量，想象曲面上每一点切平面上的一个向量
，每个点上的向量大小和方向还不同，这就是一个vector flow。可以想象成一个向量
在一个光滑曲面上flow起来了，flow到不同的地方，它的大小和方向还可以逐渐改变。
tensor，张量，本身也可以看成是一个向量。哪个空间的呢？张量空间的。张量空间也
是一个线性空间，每个元素，也就该空间的每个向量，是一个张量。这样看的话，
tensor flow是vector flow的一个特例。
张量空间是要定义一下的。数学上这个定义比较抽象。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 数学上，张量表达的是一个n维线性空间上的多线性函数。比如二阶张量就是双线性函
: 数，它可以代入两个向量，得到一个数，对每一个向量都是线性的。三阶张量就是三线
: 性函数，它可以代入三个向量，得到一个数，对每一个向量都是线性的。
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T*******x
发帖数: 8565 | 19 数学上研究一个东西，一般要全部同类的东西放在一起组成一个空间，然后研究这个空
间的性质。这是数学上很通用很抽象很深刻的一个现象。
比如研究一个线性空间上的张量，也就是多线性函数，比如双线性函数，就把全部的这
个空间上的双线性函数放在一起组成一个空间。要给它一个代数结构，否则它不是一个
空间，只是一个集合。很容易给一个加法结构，两个双线性函数相加得到另一个双线性
函数。这样这个双线性函数的空间就变成一个线性空间，也就是二阶张量空间。
全部各阶张量空间放在一起也可以研究，给一个乘法结构，变成了一个张量代数空间。
乘法具体如何定义呢？比如一个二阶张量和一个三阶张量如何相乘呢？乘出来应该是个
五阶张量。用物理中的index表示法定义应该比较直接。
到此张量空间就定义完了。但是一般数学上张量空间还不是这么定义的，虽然是等价的
。数学上是先定义一个超级大的空间然后除以等价类的方式定义的，虽然等价类的选取
明显是以双线性函数的性质为目标的。我在数学上刚开始学到的就是这个抽象的定义，
所以困惑了很久。
【在 T*******x 的大作中提到】
: tensorflow，张量流，是什么呢？这是Google发明的一个词，数上一般只说vector
: flow。
: flow是什么呢？比如想象空间中的一个光滑曲面，曲面上的函数叫flow。也就是在曲面
: 的每一个点上都取一个不同的值，这个函数（值）不就在光滑的曲面上flow起来了吗？
: 如果每个点上取值不是一个数，而是一个向量，想象曲面上每一点切平面上的一个向量
: ，每个点上的向量大小和方向还不同，这就是一个vector flow。可以想象成一个向量
: 在一个光滑曲面上flow起来了，flow到不同的地方，它的大小和方向还可以逐渐改变。
: tensor，张量，本身也可以看成是一个向量。哪个空间的呢？张量空间的。张量空间也
: 是一个线性空间，每个元素，也就该空间的每个向量，是一个张量。这样看的话，
: tensor flow是vector flow的一个特例。
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T*******x
发帖数: 8565 | 20 差不多。不过数学和物理里的张量各个index上是相同长度的。不如三阶张量就是n*n*n
数组，四阶张量就是n*n*n*n数组。
【在 d*****u 的大作中提到】
: 工程里的张量很简单，就是特指M*N*L的数据组合。
: 拿自然语言处理来说，如果一个句子有N个词，每个词用L维向量表示，那么M个句子就
: 构成这样一个张量。
: 实际应用很少有超过四阶的。
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t*******t
发帖数: 1067 | 21 地球物理里面推导弹性波动方程的时候会用到张量，其实就是矩阵的高阶推广。
【在 d*****u 的大作中提到】
: 工程里的张量很简单，就是特指M*N*L的数据组合。
: 拿自然语言处理来说，如果一个句子有N个词，每个词用L维向量表示，那么M个句子就
: 构成这样一个张量。
: 实际应用很少有超过四阶的。
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T*******x
发帖数: 8565 | 22 张量有一个复杂的地方在于它的变量可以是两种形式的vector，一种是covariant
vector，另一种是contravariant vector。所以要标记第几个变量是covariant还是
contravariant。
这是因为张量所以定义到的线性空间V，在选取了一组基之后，和它的dual space V*
的同构方式就固定了。所以一个张量，比如说二阶张量，也就是一个V上的双线性函数
，它的两个变量，可以一个在V上取，另一个在V*上取。这样取了之后，一个叫
covariant vector，另一个叫contravariant vector。
双线性函数，其变量如果一个是covariant vector，一个是contravariant vector，也
就是一个在V中，一个在V*中，那么它相当于一个V到V的线性变换。所以矩阵，双线性
函数，线性变换，这三者之间有直接对应，在形式上也是相同的，都是矩阵，也就是二
维数组。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 数学上研究一个东西，一般要全部同类的东西放在一起组成一个空间，然后研究这个空
: 间的性质。这是数学上很通用很抽象很深刻的一个现象。
: 比如研究一个线性空间上的张量，也就是多线性函数，比如双线性函数，就把全部的这
: 个空间上的双线性函数放在一起组成一个空间。要给它一个代数结构，否则它不是一个
: 空间，只是一个集合。很容易给一个加法结构，两个双线性函数相加得到另一个双线性
: 函数。这样这个双线性函数的空间就变成一个线性空间，也就是二阶张量空间。
: 全部各阶张量空间放在一起也可以研究，给一个乘法结构，变成了一个张量代数空间。
: 乘法具体如何定义呢？比如一个二阶张量和一个三阶张量如何相乘呢？乘出来应该是个
: 五阶张量。用物理中的index表示法定义应该比较直接。
: 到此张量空间就定义完了。但是一般数学上张量空间还不是这么定义的，虽然是等价的
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g******t
发帖数: 11249 | 23 raster 呢
【在 T*******x 的大作中提到】
: 张量有一个复杂的地方在于它的变量可以是两种形式的vector，一种是covariant
: vector，另一种是contravariant vector。所以要标记第几个变量是covariant还是
: contravariant。
: 这是因为张量所以定义到的线性空间V，在选取了一组基之后，和它的dual space V*
: 的同构方式就固定了。所以一个张量，比如说二阶张量，也就是一个V上的双线性函数
: ，它的两个变量，可以一个在V上取，另一个在V*上取。这样取了之后，一个叫
: covariant vector，另一个叫contravariant vector。
: 双线性函数，其变量如果一个是covariant vector，一个是contravariant vector，也
: 就是一个在V中，一个在V*中，那么它相当于一个V到V的线性变换。所以矩阵，双线性
: 函数，线性变换，这三者之间有直接对应，在形式上也是相同的，都是矩阵，也就是二
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r*g
发帖数: 3159 | 24 google tensorflow里面，用到了多重线性这个条件么？还是就当高维数组用的？觉得
那里只把张量当高位数组用。
【在 T*******x 的大作中提到】
: tensorflow，张量流，是什么呢？这是Google发明的一个词，数上一般只说vector
: flow。
: flow是什么呢？比如想象空间中的一个光滑曲面，曲面上的函数叫flow。也就是在曲面
: 的每一个点上都取一个不同的值，这个函数（值）不就在光滑的曲面上flow起来了吗？
: 如果每个点上取值不是一个数，而是一个向量，想象曲面上每一点切平面上的一个向量
: ，每个点上的向量大小和方向还不同，这就是一个vector flow。可以想象成一个向量
: 在一个光滑曲面上flow起来了，flow到不同的地方，它的大小和方向还可以逐渐改变。
: tensor，张量，本身也可以看成是一个向量。哪个空间的呢？张量空间的。张量空间也
: 是一个线性空间，每个元素，也就该空间的每个向量，是一个张量。这样看的话，
: tensor flow是vector flow的一个特例。
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T*******x
发帖数: 8565 | 25 不过covariant vector，contravariant vector，它们之间的消去，以及它们在一个张
量中标记的位置，这个还是很复杂的，尤其是index较多的时候。这个我也没整明白。
周末家里装地板，装完之后盖墙脚线的时候，我发现墙脚线的截取很复杂：脚线的左右
朝向，上下朝向，墙角的朝向，内角或外角，以及电锯的固定边限制，和由此决定的入
刀方向，这几者之间的关系很复杂。我到现在没搞清楚。不是搞不清楚，老婆不给时间
。我搞清楚可能需要两天时间，工程都干完了。
这么说吧，张量covariant vector contravariant vector 计算的复杂度，不比墙脚线
截取的复杂度更高。这是我感觉。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 张量有一个复杂的地方在于它的变量可以是两种形式的vector，一种是covariant
: vector，另一种是contravariant vector。所以要标记第几个变量是covariant还是
: contravariant。
: 这是因为张量所以定义到的线性空间V，在选取了一组基之后，和它的dual space V*
: 的同构方式就固定了。所以一个张量，比如说二阶张量，也就是一个V上的双线性函数
: ，它的两个变量，可以一个在V上取，另一个在V*上取。这样取了之后，一个叫
: covariant vector，另一个叫contravariant vector。
: 双线性函数，其变量如果一个是covariant vector，一个是contravariant vector，也
: 就是一个在V中，一个在V*中，那么它相当于一个V到V的线性变换。所以矩阵，双线性
: 函数，线性变换，这三者之间有直接对应，在形式上也是相同的，都是矩阵，也就是二
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v**o
发帖数: 4956 | 26 重复下标求和，用张量表达物力场形式非常简洁漂亮 |
T*******x
发帖数: 8565 | 27 raster是什么？不知道。
【在 g******t 的大作中提到】
: raster 呢
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T*******x
发帖数: 8565 | 28 对。没有用到多重线性。就是当高维数组用。用到了二维矩阵，其余的维度都是叠合。
【在 r*g 的大作中提到】
: google tensorflow里面，用到了多重线性这个条件么？还是就当高维数组用的？觉得
: 那里只把张量当高位数组用。
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r*g
发帖数: 3159 | 29 2cm = 0.02m, 这里面单位cm,m就是协变，前面数值2,0.02就是逆变。
【在 T*******x 的大作中提到】
: 不过covariant vector，contravariant vector，它们之间的消去，以及它们在一个张
: 量中标记的位置，这个还是很复杂的，尤其是index较多的时候。这个我也没整明白。
: 周末家里装地板，装完之后盖墙脚线的时候，我发现墙脚线的截取很复杂：脚线的左右
: 朝向，上下朝向，墙角的朝向，内角或外角，以及电锯的固定边限制，和由此决定的入
: 刀方向，这几者之间的关系很复杂。我到现在没搞清楚。不是搞不清楚，老婆不给时间
: 。我搞清楚可能需要两天时间，工程都干完了。
: 这么说吧，张量covariant vector contravariant vector 计算的复杂度，不比墙脚线
: 截取的复杂度更高。这是我感觉。
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T*******x
发帖数: 8565 | 30 嗯。有点意思。
【在 r*g 的大作中提到】
: 2cm = 0.02m, 这里面单位cm,m就是协变，前面数值2,0.02就是逆变。
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m**********e
发帖数: 12525 | 31 你屁都不懂少说几句
【在 T*******x 的大作中提到】
: 张量有一个复杂的地方在于它的变量可以是两种形式的vector，一种是covariant
: vector，另一种是contravariant vector。所以要标记第几个变量是covariant还是
: contravariant。
: 这是因为张量所以定义到的线性空间V，在选取了一组基之后，和它的dual space V*
: 的同构方式就固定了。所以一个张量，比如说二阶张量，也就是一个V上的双线性函数
: ，它的两个变量，可以一个在V上取，另一个在V*上取。这样取了之后，一个叫
: covariant vector，另一个叫contravariant vector。
: 双线性函数，其变量如果一个是covariant vector，一个是contravariant vector，也
: 就是一个在V中，一个在V*中，那么它相当于一个V到V的线性变换。所以矩阵，双线性
: 函数，线性变换，这三者之间有直接对应，在形式上也是相同的，都是矩阵，也就是二
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T*******x
发帖数: 8565 | 32 你懂个屁，你说几句。你敢说话立马叫你现眼。：）
【在 m**********e 的大作中提到】
: 你屁都不懂少说几句
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T*******x
发帖数: 8565 | 33 对。张量几个index上长度不一定相同。所以就是一个多维数组。我说的长度相同而且
取自同一线性空间是个特例吧。
【在 d*****u 的大作中提到】
: 工程里的张量很简单，就是特指M*N*L的数据组合。
: 拿自然语言处理来说，如果一个句子有N个词，每个词用L维向量表示，那么M个句子就
: 构成这样一个张量。
: 实际应用很少有超过四阶的。
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C**o
发帖数: 10373 | 34 马勒戈壁的，你的案子快犯了
盹盹盹
[在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到：]
:这个词逼格挺高。但是很多人不知道它到底是什么。而且在数学和物理中，这个词的
含义差别挺大 - 在形式上，当然本质是相同的，也当然数学上含义是更严格，更抽象，
:更通用的。
:谁先上？
:☆ 发自 iPhone 买买提 1.24.07 |
T*******x
发帖数: 8565 | 35 对。是这样。这个例子非常好。这个和space，dual space的对应也是吻合的，space是
contravariant，dual space是covariant。比如一个space，它的单位向量是厘米，一
个向量的长度是两个单位，如果单位向量变成米，那么这个向量的长度就变成了0.02个
单位，这和单位本身的变化相反，所以叫contravariant。如果一个函数，定义在这个
space上，比如一厘米一块钱，那么单位换成米之后，一个单位就要100块钱，这个函数
和长度单位的变化同方向，所以是covariant。
【在 r*g 的大作中提到】
: 2cm = 0.02m, 这里面单位cm,m就是协变，前面数值2,0.02就是逆变。
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