w********0
发帖数: 1211 | 1 就是求sin(x)/x从负无穷到正无穷的积分。
前几步我倒是明白，把sin(x)看作exp(ix)的虚部，所以只要求exp(iz)/z在实轴上积分
，再取虚部即可。积分时先从有限的-R到R积分，最后令R趋向无穷。
开始围道，0点附近用一个小的半圆弧绕过去， R到-R走一个大的半圆弧，这样围出一
个接近半圆的区域。
小的半圆弧倒不难，如果从上面绕，那整个区域里头全纯，围道积分等于零，而小半圆
弧是顺时针的，上面积分为-Pi*i。如果从下面绕，那整个区域里有0点这一个奇点，留
数定理得出围道积分等于2*Pi*i, 而小半圆弧是逆时针的，上面积分为Pi*i。所以怎么
着都能差出个Pi*i。
问题是 -- 怎么证明在外面那个大半圆弧上积分是趋向于零的（当R趋向无穷大）？ 通
常是用不等式让它小于一个趋向于零的东西，但这里我怎么弄不出来了。 |
x******a
发帖数: 6336 | 2 if we write $z=Rexp(i\theta)$, after changing variable,
then the absolute value of integrand is bounded by
$|exp(iz)|=exp(-R\sin\theta)$.
and the integral is from $0$ to $\pi$. now using dominated convergence
theorem to get 0.
【在 w********0 的大作中提到】
: 就是求sin(x)/x从负无穷到正无穷的积分。
: 前几步我倒是明白，把sin(x)看作exp(ix)的虚部，所以只要求exp(iz)/z在实轴上积分
: ，再取虚部即可。积分时先从有限的-R到R积分，最后令R趋向无穷。
: 开始围道，0点附近用一个小的半圆弧绕过去， R到-R走一个大的半圆弧，这样围出一
: 个接近半圆的区域。
: 小的半圆弧倒不难，如果从上面绕，那整个区域里头全纯，围道积分等于零，而小半圆
: 弧是顺时针的，上面积分为-Pi*i。如果从下面绕，那整个区域里有0点这一个奇点，留
: 数定理得出围道积分等于2*Pi*i, 而小半圆弧是逆时针的，上面积分为Pi*i。所以怎么
: 着都能差出个Pi*i。
: 问题是 -- 怎么证明在外面那个大半圆弧上积分是趋向于零的（当R趋向无穷大）？ 通
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w********0
发帖数: 1211 | 3 太棒了，非常感谢。
【在 x******a 的大作中提到】
: if we write $z=Rexp(i\theta)$, after changing variable,
: then the absolute value of integrand is bounded by
: $|exp(iz)|=exp(-R\sin\theta)$.
: and the integral is from $0$ to $\pi$. now using dominated convergence
: theorem to get 0.
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e**********n
发帖数: 359 | 4 Search for Jordan lemma. |
c********d
发帖数: 173 | 5 这里不能直接用Jordan’s lemma，条件不满足
【在 e**********n 的大作中提到】
: Search for Jordan lemma.
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