n******7
发帖数: 12463 | 1 追加了一个beta分布混合的问题，在3楼
谢谢
-------
我不知道用专业语言要怎么说
但是不是mixture distribution
用binomial分布来举个列子
有红蓝两种药丸，有不同的治愈率
我们每次取人数相同的一组病人来测试
如果每组病人按照一定几率随机选择红色或者蓝色药丸，然后所有这组的病人都服用这
种药丸，那么统计数组病人的治愈人数，将是一个mixture distribution
我的问题，如果我把红蓝药丸按照一定比率混合在一起，然后每组中的每个病人随机选
择呢？我感觉最后的结果也是一个binomial distribution，而且参数p是红蓝药丸的各
自的p按照比率加起来的和。不知道对不对？
这个问题有没有一个专门的名字？我觉得这种混合对normal/Bernoulli 这样的
distribution就是mixed normal/Bernoulli distribution,但是对binomial/beta这样
的就不是了。区别在于一类是原始sample测量的distribution，一类是sample set的测
量的distribution。这在统计上有什么专业说法吗？
谢谢 | h***i
发帖数: 3844 | 2 对每个病人，抽药丸是Bernoulli， conditional on 抽到的药丸，还是bernoulli，
X_{i}～bernoulli（p）， Y_{i}｜X_{i}～Bernoulli（f（X_{i}）），
f（X＝blue） ＝ p１，
f（X＝red） ＝ p２，
你现在要得到的是SUM（Y_{i})
你就把Y的marginal 弄出来，然后sum起来
【在 n******7 的大作中提到】
: 追加了一个beta分布混合的问题，在3楼
: 谢谢
: -------
: 我不知道用专业语言要怎么说
: 但是不是mixture distribution
: 用binomial分布来举个列子
: 有红蓝两种药丸，有不同的治愈率
: 我们每次取人数相同的一组病人来测试
: 如果每组病人按照一定几率随机选择红色或者蓝色药丸，然后所有这组的病人都服用这
: 种药丸，那么统计数组病人的治愈人数，将是一个mixture distribution
| n******7
发帖数: 12463 | 3 谢谢，自学统计，这种推理总是搞不好。
这样的话，最终binomial的p就是p1和p2的weighted sum。而我实际要处理的是个beta
distribution。我统计太差，对参数alpha和beta没有这里的p这样直观的感觉，琢磨不
明白。问题可以描述成这样：
两个药厂分别生产红蓝两种药丸，各自有一定比率的次品。假设红药丸的合格率服从一
个Beta（a_1,b_1）的分布，蓝色药丸合格率服从一个Beta（a_2,b_2)的分布。如果把
两种药丸混合，其中红色占p，那么混合在一起的药丸的合格率如何分布？
我头疼的是这里参数a和b的意义。我看到的都是基于prior probability 来定义的。比
如如果prior是uniform distribution，那就是Beta(1,1),然后测试了一些药丸，发现
有m个有效，n个无效，那么 posterior probability 分布就是Beta(1+m,1+n)。按照这
个prior的话，红药丸测试中有a_1-1个有效，b_1-1个无效；蓝色药丸有a_2-1个有效，
b_2-1个无效。
但是这对混合结果的影响我想不明白。如果只考虑expect value，即红药丸有效率a_1/
(a_1+b_1),蓝药丸有效率a_2/(a_2+b_2),取出任意N个混合后的药丸，有效的有a_mix =
N*（p*a_1/(a_1+b_1) + （1-p)*a_2/(a_2+b_2)）,b_mix = N*（p*b_1/(a_1+b_1) +
（1-p)*b_2/(a_2+b_2)）,分布就是beta(a_mix,b_mix)
我困惑的是
1. 这样的话，a_1 b_1的具体数值就不必要了，把两个参数同时缩放对结果没影响
2. 最终参数跟N有关，这可以是任意数
我感觉混合后的参数应该是a_mix = p*a_1+(1-p)*a_2, b_mix=p*b_1 + (1-p)*b_2，但
是不知道怎么推倒
哪位大牛指点一下？
【在 h***i 的大作中提到】
: 对每个病人，抽药丸是Bernoulli， conditional on 抽到的药丸，还是bernoulli，
: X_{i}～bernoulli（p）， Y_{i}｜X_{i}～Bernoulli（f（X_{i}）），
: f（X＝blue） ＝ p１，
: f（X＝red） ＝ p２，
: 你现在要得到的是SUM（Y_{i})
: 你就把Y的marginal 弄出来，然后sum起来
| h***i
发帖数: 3844 | 4 X|T=0 ~ beta(a1, b1)
X|T=1 ~ beta(a2, b2)
P(T=0) = p
P(X <= x) = P(X <= x| T = 0) * P(T = 0) + P(X <= x | T = 1) * P(T = 1)
= CDF_{beta1}(x) * p + CDF_{beta2}(x)(1-p)
so, pdf_{X}(x) = pdf_{beta1}(x) * p + pdf_{beta2}(x)(1-p)
这个最后是beta？
beta
【在 n******7 的大作中提到】
: 谢谢，自学统计，这种推理总是搞不好。
: 这样的话，最终binomial的p就是p1和p2的weighted sum。而我实际要处理的是个beta
: distribution。我统计太差，对参数alpha和beta没有这里的p这样直观的感觉，琢磨不
: 明白。问题可以描述成这样：
: 两个药厂分别生产红蓝两种药丸，各自有一定比率的次品。假设红药丸的合格率服从一
: 个Beta（a_1,b_1）的分布，蓝色药丸合格率服从一个Beta（a_2,b_2)的分布。如果把
: 两种药丸混合，其中红色占p，那么混合在一起的药丸的合格率如何分布？
: 我头疼的是这里参数a和b的意义。我看到的都是基于prior probability 来定义的。比
: 如如果prior是uniform distribution，那就是Beta(1,1),然后测试了一些药丸，发现
: 有m个有效，n个无效，那么 posterior probability 分布就是Beta(1+m,1+n)。按照这
| n******7
发帖数: 12463 | 5 再次感谢。其实一开始我也是这么想的 （不过我直接得到这个pdf关系，不知道是不是
不严谨）这其实就是一个两个beta distribution 的 mixture distribution
后来我觉得这个模型不符合这个问题
我主贴用比较容易理解的binomial distribution也是想说明这个区别
我们把beta distribution看做probability的distribution的话，按照这个mixture的
模型，混就是从不同distribution来的probability，或者说set of trails。但是我们
直接混的是trail本身。我认为是不一样的
举个极端的例子，红药丸合格率服从beta（1000,1），几乎全部合格，蓝药丸合格率服
从beta（1,1000），几乎全部不合格。等比混合之后，我们可以预期混合组的合格率为
一峰值在0.5左右的分布，大概是beta（500,500）这样子的
而按照mixture distribution的模型，这会是一个bimodal的分布，两个峰分别在0和1
附近...
【在 h***i 的大作中提到】
: X|T=0 ~ beta(a1, b1)
: X|T=1 ~ beta(a2, b2)
: P(T=0) = p
: P(X <= x) = P(X <= x| T = 0) * P(T = 0) + P(X <= x | T = 1) * P(T = 1)
: = CDF_{beta1}(x) * p + CDF_{beta2}(x)(1-p)
: so, pdf_{X}(x) = pdf_{beta1}(x) * p + pdf_{beta2}(x)(1-p)
:
: 这个最后是beta？
:
: beta
| n******7
发帖数: 12463 | 6 顶一下，把我的疑问全放到主贴了
求解惑
thanks！ | n******7
发帖数: 12463 | 7 我大致想明白了
这个问题不是mix distribution
而是sum up two random variable
简单的说，两个beta变量的和不再是beta分布，而是个很复杂的东西 |
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