t*******r
发帖数: 22634 | 1 其实美帝数学书里，俺很看不懂的一个，是 pre-algebra 里面讲方程。。。
在娃还没有建立符号演算概念前，讲方程难道不是要把娃整糊涂的节奏？等娃
有了符号演算概念，直接上 algebra 不行么？
另一个看不懂的，是多项式乘法的 FOIL method。。。尼玛这就是把娃的代数
概念往死里整的节奏。。。多项式乘法就是 distributive property。。。
如果不能理解 distributive property，那还学个屁代数啊，去读文科会死啊？
。。。如果理解了 distributive property，那学个狗屁 FOIL method 啊，
浪费生命。。。
还有一个看不懂的，是多项式除法的 synthetic division。。。尼玛多项式
synthetic division 就是多项式 long division 省写几个“x”！！！。。。
尼玛写几个“x”会死啊。。。俺真看不懂这这省写几个“x”是啥 dog training 人肉
代数计算器的节奏。。。尼玛谁会一辈子每天人肉计算三百个多项式除法？。。。
Walmart 收银员难道需要计算多项式除法？数... 阅读全帖 |
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s***n
发帖数: 1280 | 2 是的。一般数学快班就是提前一年级学，8年级上9年级的algebra 1。一些STEM/Magnet
初高中允许提前两三年的学。我们这一个很牛的Magnet初中自备Algebra 2的老师，要
是学生水平还高的话，就送到附近的Magnet高中修pre-calc和Calculus。
美国这边教材是很适合自学。我现在也在带着儿子过高中数学，基本上就是他自己学。
我的主要任务是告诉他哪里不要看。 |
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s***n
发帖数: 1280 | 3 看你怎么理解algebra和geometry。AMC 8需要初中和小学级别的algebra和geometry。 |
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c****i
发帖数: 625 | 4 娃资质一般。 上Kumon数学到了pre-algebra, algebra level. 做题的时侯开始碰到新
的知识点了。 而且频率很高。 光靠看每天看题本里的一两道范题好象不行， 还是会
出很多错题。 感觉理解有问题。
我给她讲。 花很多时间。也很费劲。老公说这样不能培养她的自学能力。 应该让她自
己发现哪里错误。再自己改。 哪怕错好多遍。 可是我觉得即使错很多遍， 估计她也
还不懂。
感觉她不够灵活。不能通过例题看出知识点和运用知识点。
自学能力是非常重要的skill. 请问大家如何培养小孩的自学能力呢？
多谢！ |
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d*****t
发帖数: 2761 | 5 algebra和奥数是两回事吧
4年纪我们的确什么都没给补过
14年8月，给她做了common core 六到八年级的algebra，也没做奥数，觉得奥数就是智
力题，方法通了就不用费劲了
现在的情况是，她在GT班，一半的时间老师让学生们自己上讲台讲奥数题，一半的时间
在纠结5年纪的common core。鬼知道为什么作业还没有两篇。真的是等天才吗？ |
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u*****7
发帖数: 746 | 6 Beginning Algebra是很简单呀。人家没有说学完了全部Algebra了呀。 |
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P*********d
发帖数: 4064 | 7 那是introductory to algebra 不算 algebra I滴 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 8 切实的说，从概念理解的领域，如果有浅显的符号系统和浅显的证明概念，的确可以跳
过 pre-algebra。
但从 thinking-skill / exploring / experience 的领域，扑通蛙是跳不过 pre-
algebra 的。。。
或者拿 jigsaw puzzle 做比方，对 3 岁 4 岁范围的小娃而言，能辨认边角 piece 的
形状，跟能以 "乱中取胜" 的姿势利用边角形状的 clue 来加速拼 puzzle，不完全是
一回事。。。或者说，完全不是一回事。
当然，上面这个完全可以留给学校老师去办就是了。。。我觉得父母更重要的是管好概
念。
另外，牛蛙奇葩蛙另说。。。 |
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i**e
发帖数: 19242 | 9 我的体会是在玩pre-algebra的时候
脑子慢慢给玩ready了
代数就是比较顺理成章的事了
这么说吧
从我娃解应用题的状况来看
娃还不ready algebra
硬灌，势必是死记硬背套公式，不理解
题如果做的少（这边的现状），那数学能力，风一吹就所剩无几了 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 10 这题铁定有刁钻添辅助线的办法。。。但是快糙猛男说，直接设题目给定
那两个等角为 “a”，然后设角 abc 为 “b”，下面利用三角形内角和为
180 度，平行四边形对角相等，邻角互补。。。上 Algebra I 硬算也
算出来了。。。俺就懒惰不算了。。。
其实这题的背后，是好比 “parameterized shape”，这题里面的
parameter 就是那两个角 “a” 和 “b”，所以上 Algebra I 就直接
出通解了。。。反正现在计算机都能算符号计算了，快糙猛的懒得
浪费脑细胞了，洗洗睡了。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 11 我刚才又想了想。。。我认为我把我那段再写严格一些，
就是一个严格的证明了。
因为所谓的 “初中平几题”，不管加不加辅助线，都是限制在
“用尺规作图能求证/求解” 的题目。。。而 “用尺规作图求
证/求解” 的过程，决定了该过程的 proof path 里只能都是
algebraic expressions / equations。。。这个应该是
定理。
（这里提一下以防歧义，这不是说尺规作图不能产生
transcendental expression，你可以随便用尺规搞出
一个角度是 transcendental 的。。。这里说的是
该 proof path 里不能有，因为有了的话，那个尺规作图
proof 就卡壳在那里了）。
所以前面的第（4）条，等于是证明了。。。当然现在看来，
这个一眼就能看出来了，简直就是 trivial，不言自明。。。
sigh，俺还瞎忙乎了半天。。。
不过话说回来，所谓添加辅助线，从解析几何的观点看，
也就是选择合适的 “参数”，然后能找到 algebraic proof
path。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 12 算术解鸡兔同笼当然是有意义的，不过这个意义主要是对 MOEMS
阶段的娃而言，并且不是刷题型刷出来的。
代数解鸡兔同笼没有任何意义，除非考试要求。。。理解为啥代数
能解鸡兔同笼才有意义。
实际上我没有证明你这个几何题，我只是试图说明，对于这类几何题，
存在 “algebraic-expression-only” (no transcendental expression)
的 proof path，该 proof path 可以 映射成尺规作图辅助线。。。
至于是四点共圆的巧法、还是八点同边的高法，反正都是
algebraic-expression-only。。。除非俺娃要解题，否则俺就不 care。
当然，俺同意你的看法。。。所以俺说不应该先跟扑通娃说存在这种
解法。。。就像不应该教算术阶段的娃，用代数方法去解鸡兔同笼
问题。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 13 我觉得问题不在于最简，而是因为初中欧氏平几的钻牛角问题是 heavily cooked，
并且我个人觉得初中欧氏平几钻牛角尖问题，对于初中生而言，可能并不太 promote
algebra thinking。。。
对于一般大众而言，我觉得中学程度的 algebra thinking （其实就是
套公式），对将来实际工作更重要。。。因为大部分人是工程师而不是
理论数学家。。。话说对于理论数学家娃，也不一定要在初中欧氏平几上钻
牛角尖是不是，foundation of mathematics 也要花小时数是不是？
我这并不是说初中欧氏平几不要学，我的意思是，初中欧氏平几学到差不多，
就可以去学代数和解几了。。。初中欧氏平几主要作用应该是现代解几的基础，
而不是钻太多牛角尖。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 14 这题铁定有刁钻添辅助线的办法。。。但是快糙猛男说，直接设题目给定
那两个等角为 “a”，然后设角 abc 为 “b”，下面利用三角形内角和为
180 度，平行四边形对角相等，邻角互补。。。上 Algebra I 硬算也
算出来了。。。俺就懒惰不算了。。。
其实这题的背后，是好比 “parameterized shape”，这题里面的
parameter 就是那两个角 “a” 和 “b”，所以上 Algebra I 就直接
出通解了。。。反正现在计算机都能算符号计算了，快糙猛的懒得
浪费脑细胞了，洗洗睡了。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 15 我刚才又想了想。。。我认为我把我那段再写严格一些，
就是一个严格的证明了。
因为所谓的 “初中平几题”，不管加不加辅助线，都是限制在
“用尺规作图能求证/求解” 的题目。。。而 “用尺规作图求
证/求解” 的过程，决定了该过程的 proof path 里只能都是
algebraic expressions / equations。。。这个应该是
定理。
（这里提一下以防歧义，这不是说尺规作图不能产生
transcendental expression，你可以随便用尺规搞出
一个角度是 transcendental 的。。。这里说的是
该 proof path 里不能有，因为有了的话，那个尺规作图
proof 就卡壳在那里了）。
所以前面的第（4）条，等于是证明了。。。当然现在看来，
这个一眼就能看出来了，简直就是 trivial，不言自明。。。
sigh，俺还瞎忙乎了半天。。。
不过话说回来，所谓添加辅助线，从解析几何的观点看，
也就是选择合适的 “参数”，然后能找到 algebraic proof
path。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 16 算术解鸡兔同笼当然是有意义的，不过这个意义主要是对 MOEMS
阶段的娃而言，并且不是刷题型刷出来的。
代数解鸡兔同笼没有任何意义，除非考试要求。。。理解为啥代数
能解鸡兔同笼才有意义。
实际上我没有证明你这个几何题，我只是试图说明，对于这类几何题，
存在 “algebraic-expression-only” (no transcendental expression)
的 proof path，该 proof path 可以 映射成尺规作图辅助线。。。
至于是四点共圆的巧法、还是八点同边的高法，反正都是
algebraic-expression-only。。。除非俺娃要解题，否则俺就不 care。
当然，俺同意你的看法。。。所以俺说不应该先跟扑通娃说存在这种
解法。。。就像不应该教算术阶段的娃，用代数方法去解鸡兔同笼
问题。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 17 我觉得问题不在于最简，而是因为初中欧氏平几的钻牛角问题是 heavily cooked，
并且我个人觉得初中欧氏平几钻牛角尖问题，对于初中生而言，可能并不太 promote
algebra thinking。。。
对于一般大众而言，我觉得中学程度的 algebra thinking （其实就是
套公式），对将来实际工作更重要。。。因为大部分人是工程师而不是
理论数学家。。。话说对于理论数学家娃，也不一定要在初中欧氏平几上钻
牛角尖是不是，foundation of mathematics 也要花小时数是不是？
我这并不是说初中欧氏平几不要学，我的意思是，初中欧氏平几学到差不多，
就可以去学代数和解几了。。。初中欧氏平几主要作用应该是现代解几的基础，
而不是钻太多牛角尖。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 18 这个也能让娃痛恨数学？。。。下次让娃按照从基本概念导出的顺序，
把步骤给写全了不就行了么？。。。
再说七年级老师这么做，是教纲要求吧。。。七年级是 pre-algebra
阶段，之所以 4*x=10 需要写出两边除以 4 的步骤，是因为确保娃
不是在 guess & check。。。而大伙儿都知道美帝数学教育进度慢，
同时也不喜欢搞大规模数字计算。。。当然你家超前先进娃多半已经
会 algebra II 了。。。但是班上还有一堆落后娃，入乡随俗其实
也是应该的。也就多写两个字而已。。。跟娃说说娃就明白了。。。
说实话，相对祖国老师而言，美帝老师非常随娃的个性了。。。要知道
俺家那个 strong willed 娃做竖式计算时，从来不写进位和借位。。。
三年级 1-1 的时候，老师都来问俺的意见了。。。老师先一再申明说
他们教娃要写进位借位的，都一再反复重申了。但是俺家娃就是不愿意写，
他们没有办法。还把带草稿的考卷给拿给俺看，分析说俺家娃能做对，
但目前看来对正确率有一些影响，。。。俺最后表态说这事俺负责，如果
仅仅是正确率的问题，在理解概念的方面没有问题，那就先观察。。。
从此学校老... 阅读全帖 |
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a*****g
发帖数: 19398 | 19 Pearson reports PARCC cheating in 6 states
http://www.baltimoresun.com/news/maryland/education/bs-md-test-
In the latest twist on high school cheating, two Maryland 10th-graders
taking a statewide English assessment posted test questions this month on
Twitter.
Where students once passed notes or looked over their shoulder, today they
can use Twitter, Instagram or Facebook to send a test question to a friend.
And as the means of cheating have evolved, so have the efforts to stop them.
The Twitter... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 20 既然很难的都会做，那么真的要考虑 MOEMS 或者 AMC8 了。。。
MOEMS 俱乐部 (Math Olympiad for Elementary & Middle School)，
是这边小学四年级五年级的标配俱乐部。。。其优点是促进兴趣，并且强调
离散数学的概念。。。其不足，是跟学校数学接轨不够，另外以 list & check
（瓢虫阶段）为主，对 algebraic thinking 不是太强调。。。当然，实际上
你也可以把 MOEMS 的题目去求对于 problem size N 的通解，但那个大多数
小学扑通娃掌握不了。。。
AMC8 一般小学不会搞，只有天才小学搞。。。AMC8 超过小学的课程，
有些题需要父母帮助。。。或者碰到知识超前的题时。父母帮助娃同时
学习新的数学知识。。。AMC8 的好处是跟学校数学接轨，同时强调向
algebraic thinking 过渡（虽然题目本身的 size 是可以
list & check，但 AMC8 标准答案不会是 list & check 的）
。。。AMC8 网上的 solution 文字也写的不错，让娃自己对答案时，
可... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 21 那为啥那些题给人感觉是在 Algebra I 阶段 spiral 将来的 analytic geometry 的感
觉？
另外美帝高中里，analytic geometry 是不是在 Algebra II 里学的？ |
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t*******r
发帖数: 22634 | 22 从 zone of proximal development 的角度，我觉得纠结 discovery learning 和聪明
之间的 correlation 没有任何实际意义。。。因为 discovery learning vs
structured learning 哪个更有效，两个拿来一试一比较就知道了，几分钟的事。。。
况且对于不同的 task，同一个娃都可能不太一样，或者一般性的 preference 都不一
样。。。最实际的例子：MOEMS 几乎只适合搞 discovery learning，AMC8 和
geometry 都可以考虑用 discovery learning，但 Algebra I 我想大伙儿都会 prefer
structured learning，因为 algebra 本身非常 structured。。。
我觉得你对“聪明”有点走火入魔了。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 23 我觉得，即使数学或物理都要靠积累的。。。“悟” 的确是第一步，但即使是 “悟”
，有时甚至需要很多年的积累才能 “悟” 到看起来一个很简单的东东。。。举个最大
众喜闻乐见的例子，Algebra I，说白了就是一个算术加一个表达式符号树，但不积累
够 pre-algebra 的小时数就是不行。。。
当然我知道有人可能又要提德州少年二百六天才。。。这种罕见级别的 outlier 奇才
一般不能拿来说事，或者说，别老想着复制那种奇才。。。
实际上 plus 还说了，数学和物理的积累姿势还不太一样。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 24 另外在三年级及以后，我同意你说的，chess 对数学基本帮助不大。即使是
以益智的为目的的酱油 chess，也不行。。。实际上从五年级开始，如果拿捏
的力度掌握不好的话，我都担心 chess 反而可能对数学有害。。。原因如下：
三年级，是公认的从 learn-to-read 想 read-to-learn 的转折点。。。
而这个转折点，其实是 High Order Thinking Skill 的基本层面的 skill，
第一步正式出现。。。对于普通娃而言，凡事都有优先权，小时数和脑力都化
在 read-to-learn 了，剩下也就没多少了，就不值得纠结酱油 chess 了。。。
四年级，其实可以开始 MOEMS 趣味数学了。。。虽然 MOEMS 是 list & check
为主，再加一点 naive visual modelling，跟学校数学不直接接轨。。。但
不管怎么样，总比酱油 chess 的接轨度高上一万倍了吧。。。
五年级。。。其实我觉得五年级也是转折点。。。五年级可以开始探索粗浅的
algebraic thinking 了，visual modelling 也不是纯粹... 阅读全帖 |
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y***c
发帖数: 8 | 25 给个非天才娃 推数学成功的例子， 在华人孩子中还算是厉害的
4岁生日， 还数不到20， 开始学习加1， 加2
5岁生日， 多位数加减
6岁生日， 多位数乘除
一，二年级： 分数， 小数，负数, Singapore challenge work problem
三年级： AOPS: introduction to pre-algebra, number theory, probability and
counting.
四年级： AOPS: introduction of algebra, competition math for middle school
五年级： AOPS: introduction of geometry.2014 AMC8 16(分数差点， 如果不限时
， 所有题都能自己做出来）， 在家模拟 2015 mathcounts chapter level ： 33
开学六年级： ？？？？ 打算刷mathcounts chapter, state level 考古题，
争取 mathcounts chapter 出线。
过去几年， 基... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 26 个人觉得这个对 pre-algebra 的普通娃而言，太难了。因为需要 prove place value
以及竖式计算。
否则用瓢虫的话，太累了。pre-algebra 阶段普通娃还不 ready 搞这个，我个人觉得。
当然，proof 以后，就不是个事。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 27 昨天 6 年级班发电子书，数学部分把 6、7、8 三个年级的书一起发下来了不算。娃娃
们之间疯狂谣传明年 7 年级上 9 年级代数1。
俺于是目测加展望了一下，毛估普通非天才的快班进度速度应该是:
6 年级：Pre-algebra 6、7、8 三个年级。
7 年级：Algebra I & II， Geometry，Trigonometry 整个 high school math
8 年级：Pre-calculus，Calculus 等整个非数学专业本科数学。
9 年级：群论、域论、场论、图论、combinatorics、differetial geometry、formal
logics 等牛角尖数学。
10 年级：(是不是只能放羊了？) |
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s**********y
发帖数: 509 | 28 一般学校， 一般学区：
6 年级： prealgebra
7 年级： algebra I
8 年级： algebra II
9 年级： geometry
高中 calculus I/II 是标配
你说的7年级学完整个中学数学是童话？
九年级的那些term， 除了combinatorics， 是不可能叫的。 原因很简单：不是每个人
都想上STEM。 事实是大部分人都不想上STEM。高中是培养leadership，发展个性的地
方， 不必要太深。
formal |
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w********9
发帖数: 8613 | 29
在哪里？
在我们烂加州的两个临近（硅谷）顶尖公立学区里都是这样的：大部分学生在7年级学
prealgebra。其中一个学区里特别好的学生才在7年级开学学algebra，而在另一个学区
有20%左右的7年级开学学algebra。差别不小。 |
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s***n
发帖数: 1280 | 30 你这个应该是Fast Track.
一般正常进度：
6-8年级： Prealgebra
9年级: Algebra I
10年级： Geometry
11年级： Algebra II
12年级： Pre-Calculus
SAT I 和 II 甚至 AMC 12/AIME 都不考 Calculus。AP Calculus也只有10%的学生考。
哪怕calculus I/II 是学校标配，也不是标学。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 31 更大的问题，是从 pre-algebra 到 algebra，从 AMC 到 AIME，这种跨阶段怎么建模
预测？ |
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Y********d
发帖数: 1478 | 32 从 pre-algebra 到 algebra，formal education system肯定从无数个体中总结出很好
的衔接了。
从 AMC 到 AIME，就像你讲的，样本太小，只能他山之石，可以攻玉，攻不攻得下来，
很难预测。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 33 我们这里六年级的 math fast track 都不会有 algebra，更不要说 algebra word
problem 了。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 35 “早点” 说得轻松，那得天才的不知道多少次方的娃。
要保证在 pre-teen 以前跑步进入代数阶段，我目测最慢的进度应该如下：
一年级上 AMC8
二年级教 Algebra I & Geometry
这样三年级上 AMC10
这样才能保证在四年级以前跑步进入 algebra。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 36 MOEMS 的方程题，因为数字很小，所以可以直接用 guess & check 的策略。有助于兴
趣。
但我觉得 guess & check 太多意义不大，所以我给娃讲解的都是用 reduction /
deduction 或者偶尔 induction。数字小更容易直接拿积木 / 纸牌 来演示。
但后来我发现，我这积木纸牌瓢虫阵，虽然成功的避免了代数符号系统，但这瓢虫阵对
娃思维的要求，好像不比代数低。Too demanding。这也是我后来放弃 MOEMS，转成
AMC8，期望尽快打好 pre-algebra 的基础尽快上 algebra AMC10。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 37 我觉得是这样。具体看各家。另外对大部分娃，这主要是说 algebra / pre-algebra
开始，而不是说加减乘除。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 38 我觉得对大多数普通娃，第一步可能确实是往前先学到 AMC 10、先建立完善的公理理论
系统的概念、先保证能够做完善的符号运算演绎，这可能比停留在 pre-algebra 的 “
啥玩意儿都当公理死记硬背” + “真正的公理却以 ‘法兰西是培根’ 的姿势，既不
明确写下来，又不许疑问，总之一笔糊涂账” 的阶段，却去钻 pre-algebra 难题牛角
尖似懂非懂，更实在一些。
当然 AMC 10 掌握公理理论体系的概念，有了分析型思维以后以后，可以考虑难题和往
前学并重。
俺的个人看法，不一定有道理就是了。
：我觉得能推动的娃，往下学比作难题有意义的多。即使是要培养能力，学下去的内容
里面用到的技巧，比竞赛题/难题里用得到技巧也不会少，而且更重要。
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t******l
发帖数: 10908 | 39 我觉得对大多数普通娃，第一步可能确实是往前先学到 AMC 10、先建立完善的公理理论
系统的概念、先保证能够做完善的符号运算演绎，这可能比停留在 pre-algebra 的 “
啥玩意儿都当公理死记硬背” + “真正的公理却以 ‘法兰西是培根’ 的姿势，既不
明确写下来，又不许疑问，总之一笔糊涂账” 的阶段，却去钻 pre-algebra 难题牛角
尖似懂非懂，更实在一些。
当然 AMC 10 掌握公理理论体系的概念，有了分析型思维以后以后，可以考虑难题和往
前学并重。
俺的个人看法，不一定有道理就是了。
：我觉得能推动的娃，往下学比作难题有意义的多。即使是要培养能力，学下去的内容
里面用到的技巧，比竞赛题/难题里用得到技巧也不会少，而且更重要。
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t******l
发帖数: 10908 | 41 如果目的仅仅是求根而不是画整个函数，那不一定要解不等式，理论上就是把
|f(x)| 这个表达式给 algebraic substitute 成两个带条件的表达式：
+f(x), when f(x) >= 0
-f(x), when f(x) <= 0
然后把条件表达式放进去形成带条件的方程。先不管条件解出来以后，代入条件
看看是不是满足条件即可，不用解 x range 的不等式了。algebraic substitution
死推也推倒了，当然就是体力活多一些。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 42 当然这讨论不包括为了数学竞赛推迟 algebra 培养思维能力的。这里的讨论主要
是基于把数学作为 STEM 的工具的用法。
几何
Formal）
像是
algebra” |
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t******l
发帖数: 10908 | 43 回过头来说小学算术（arithmetic，不包括 pre-algebra）。其实小学 arithmetic
应该是算 spatial 的，瓢虫阵法显然都是 spatial 的，place value 其实在小学
意义上也是 spatial 的（想想 place 那个词就知道了）。还有竖式乘除法，也有相当
的 spatial 的成分。当然这些都是指还没有熟练到用脊髓就能做出来的时候，那个就是
条件反射了。
不过这么一来就有个问题是 word problem。其实小学 arithmetic 阶段的 word
problem 相对很简单，其主旨并不是用 verbal logics to solve problem，而是
convert verbal to spatial，也就是数学建模。（当然，GT 天才班的小学超级艰难
绕弯子 arithmetic 除外）。
以上说的小学 arithmetic，特指不包含 pre-algebra 部分的。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 44 但 文科 ELA 型 math 的支持者会说，我们那玩意儿有趣，你那就算是改良型鹅毛
习题集，还是那么枯燥无趣到好比 “费而不死” 一个个 lap 练游泳不是？
但另一方面，structured learning，有趣不能成为第一要素。structured
learning，其效率也是有趣重要因子。我以非天使娃浪子的角度说，提早收拾书包
走人去玩游戏，比特么啥都有趣！！！特别是对于 pre-teen 叛逆期。
所以，最终看起来，这小学和初中的数学教育，是反过来的。小学算术是学校搞
structured learning，家里搞 unstructured learning。中学反过来，学校
ELA 型 pre-algebra 实际上搞的是 unstructured learning，回家正好搞
structured learning。
高中 algebra 以后不知道形势如何，有请高中大娃家长入场。
基本写完了。不喜勿入。转天俺删贴清一下，更清净。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 45 我没说 assume commutative 不存在。我是说如果代数里的分配律的定义如果是
写成 a*(b+c) = a*b + a*c 。那就不能 assume 另一边的式子自然就存在。
换言之，逻辑上而言，无法从 a*(b+c) = a*b + a*c ， 而 induce 出
(b+c)*a = b*a + c*a 。这个要么你显式定义之，要么你从 commutative
导出之。
不要小看这个逻辑上的漏洞。这个漏洞可能就是将来的绊脚石。举个最简单的
逻辑不严格的错误，decision tree 节点分叉的时候，左腿和右腿之间存在
intersection 还没意识上，导致重复 count 而出错。
而更深层的说，formal system 的意思，就是我不管你这 formal system
指代的是啥，只要我按照你这个 formal system 规定的 formal operation
进行运算，其结果一定是正确的。如果发生错误，那就是 formal system 建模
有错或者超越其适用范围。
如果在建模完毕后使用 formal system 的时候，还需要想着 forma... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 46 我对美帝数学八年级进度不熟。但如果不是 math accelerated track，algebra 1 是
九年级上的？八年级不会 simultaneous equation 是不是情有可原？
不过问题也真的在于，如果 prealgebra 底子不行的话，九年级很可能过不了
simultaneous equation 和 quadratic equation 的两道关口。
我看完美帝小说型 prealgebra 课本后，我都觉得不用说啥了。我打定主意自己用 AMC
8 -> AMC 10 加料，帮娃推过 algebra 那关，其他都是浮云。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 47 这其实或多或少还真是个问题，就好比 AMC 8 的部分 pre-algebra 啰嗦题，不会
transferable to AMC 10 algebra 阶段。
这就好比我们那时初中平几狂人，不一定高中数学都行。（当然也不要过度解读成平几
狂人高中数学一定不行，不同的娃不一样）。
AMC 8 的难度，我其实就是听我娃乱嚷嚷。我自己没做过整张卷子，都是以前答疑才
做的。而且我娃又不靠谱。所以无所谓，你从最新的往前做就好了。
art |
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a*****g
发帖数: 19398 | 48 By Kate Zerniki
BOSTON - It has been one of the most stubborn problems in education: With 50
states, 50 standards and 50 tests, how could anyone really know what
American students were learning, or how well?
At a dinner with colleagues in 2009, Mitchell Chester, Massachusetts's
commissioner of education, hatched what seemed like an obvious answer - a
national test based on the Common Core standards that almost every state had
recently adopted.
Now Dr. Chester finds himself in the awkward positio... 阅读全帖 |
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a*****g
发帖数: 19398 | 49 Lessons in math don't have to be so boring. Physicist Frank Wilczek on logic
puzzles, games of chance and other ways to entice students
By Frank Wilczek
[Dr. Wilczek, winner of the 2004 Nobel Prize in physics, is a professor at
the Massachusetts Institute of Technology and the author of "A Beautiful
Question: Finding Nature's Deep Design."]
You might not expect to find challenging mathematics on supermarket magazine
stands, but it is there in abundance. New collections of cerebral puzzles
are al... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 50 不过倒是说明可能应该把三角函数的两角和公式证明的基本概念，下放到 AMC 10
algebra。
和角公式证明的基本概念，确实可能是原则上属于 AMC 10 algebra 内容，因为主要就
是勾股定理加直角三角形。
：利用n*sin(180deg/n)计算Pi
：（受APHH, timefall, BlackKnife三位网友以及APHH家小孩的启发） |
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