o********7
发帖数: 409 | 1 此为原题 是IBM公司一个人出给世界上的数学家的，
结果呢，有些人就是以为自己很聪明，结果还在嘲笑题目太简单~~三两行就得出结果
看吧 这是正解，已翻译，反正很烦琐就对了，假设五种情况，一一反证~~：
答案：
Fuxiang Yu 于 2005年3月1日给出的证明，证明的原文是英文，把它翻译出来，如下。
解：
我们将利用如下定理。
定理1：在三角形ABC中，AB>BC 当且仅当 角C>角A。
（译注——这就是说，在三角形中，“大角对大边，大边也对大角”，是我们熟知的定
理）
谜题的证明：
我们将证明，角A，角B，角C 都不小于 60度。
假定角A<60度。因为 角CFD>60度，我们可以在线段 AF 上找到一点 A’，使得角CA’D
=60度。
（译注——这一点是没问题的，因为点 A’ 在 AF 上从点 A 向点 F 滑动时，角CA’D
从小于60度逐渐向大于60度变化，其中必有一点A’，使得角CA’D=60度）
因为 角AA’D=120度>60度>角A，所以，在三角形AA’D中，利用定理1可得，AD>A’D。
那么就有 CF=AD>A’D，于是我们可以在线段CF上找到一点C’，使... 阅读全帖 |
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d*z
发帖数: 150 | 2 我也是用这种方法呀。
首先我们看给定三个点后，两两连接的大圆将球面分成8块三角形，
其中，第四个点只有落在其中一块同这三个点构成的三角形中心对称的三角形上时，
四个点才无法放在同一个半球面上。那个中心对称的三角形同这三个点形成的三角形全等
，
所以
给定三个点后，随机选择第四个点使四点不在一个半球面上的概率是三个点确定的球面三
角形的面积（如果整个球面的面积是1）
所以现在我们只要计算球面三角形面积的期望值。
而实际上，由于给定三个点后，两两连接的大园将球面分成8块三角形；如果我们取遍所
有的三角形，它们的大圆所确定的三角形正好将每个三角形也取8次，所以一个三角形的
面积的期望值是1/8。
也就是说，最后的概率是1-1/8=7/8。 |
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wh
发帖数: 141625 | 3 【 以下文字转载自 Guang_Xi 讨论区 】
发信人: liozodell (山水白鹤), 信区: Guang_Xi
标 题: 理科生毁灭世界 （文科生慎入）
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Jul 25 04:44:54 2014, 美东)
刚看到一则。 直看得俺一愣一愣的，要疯掉了。 LOL！
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
1、青年问禅师：“大师，我很爱我的女朋友，她也有很多优点，但是总有几个缺点让
我非常讨厌，有什么方法能让她改变？”
禅师浅笑，答：“方法很简单，不过若想我教你，你需先下山为我找一张只有正面没有
背面的纸回来。” 青年略一沉吟，掏出一个莫比乌斯环。
莫比乌斯环只有一面
2、青年问禅师：“我的心被忧愁和烦恼塞满了怎么办？”
禅师若有所思地说：“你随手画一条曲线。用放大镜放大了看。它的周围难道不是十分
明朗开阔吗？”
那个青年画了一条皮亚诺曲线。
皮亚诺曲线可以遍历单位正方形中所有的点，是一条充满空间的曲线
皮亚诺（Peano）曲线是一条能够填满正方形的曲线。在传统概念中，曲线的数维是1维
， 正方形是2维。
一... 阅读全帖 |
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l*******l
发帖数: 13923 | 4 刚看到一则。 直看得俺一愣一愣的，要疯掉了。 LOL！
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
1、青年问禅师：“大师，我很爱我的女朋友，她也有很多优点，但是总有几个缺点让
我非常讨厌，有什么方法能让她改变？”
禅师浅笑，答：“方法很简单，不过若想我教你，你需先下山为我找一张只有正面没有
背面的纸回来。” 青年略一沉吟，掏出一个莫比乌斯环。
莫比乌斯环只有一面
2、青年问禅师：“我的心被忧愁和烦恼塞满了怎么办？”
禅师若有所思地说：“你随手画一条曲线。用放大镜放大了看。它的周围难道不是十分
明朗开阔吗？”
那个青年画了一条皮亚诺曲线。
皮亚诺曲线可以遍历单位正方形中所有的点，是一条充满空间的曲线
皮亚诺（Peano）曲线是一条能够填满正方形的曲线。在传统概念中，曲线的数维是1维
， 正方形是2维。
一般来说，一维的东西是不可能填满2维的方格的。但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例。
这说明我们对维数的认识是有缺陷的，有必要重新考察维数的定义。这就是分形几何考
虑的问题。在分形几何中， 维数可以是分数叫做分维。
此外皮亚诺曲线是连续的但处处不可导的曲线。因此如果我们... 阅读全帖 |
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d********l
发帖数: 1824 | 5 来自主题: BrainTeaser版 - 凸多边形. 先找到重心然后链接相邻的2个顶点成一个三角形， 然后再找到三角形的重心
三角形重心连接三角形顶点，三分这个三角形， 类推，把其他的三角形也分了
然后连接相邻的被分三角形， 成3等分， done。（感谢提示）
要是俺就直接用直尺和圆规做个天平，然后那另一个规则的纸片（园，三角形）
然后称的和多边形一样，再把规则的纸片三分， 拿出一份标准的称未知多边形，就不
信分不了它了 |
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d**********h
发帖数: 2795 | 6 最简单，您觉得啥是三角形
最早大家看到山，树，石头，有了模糊三角形的认识，但是那不是三角形概念。后来聪
明人凭直觉把诸多三角形表象抽象出三角形数学概念
这是第一步
然后仍然问啥是三角形，可以说我们可以想象的三角形都是欧式空间的三角形，后来有
人想象球面三角，双曲面三角
可以负责的说，还有无穷没有被想象出的三角
那么，数学是想一个做一个吗？显然不是，数学的意义在于，他对三角的研究总是对的
，无论
是你想出来的，还是还没有想出来的
无论是地球上的，还是外星人的，只要是数学里定义的那个 |
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P*******i
发帖数: 10965 | 7 心宽天地广，拥有开阔心胸，双眼才能够看到更美好的事物。一个人的心胸可以用平方
米来衡量，就像买房子，总是空间越大越有价值。请拿出一张白纸开始下面的测试，1
分钟后，你就会知道自己的心有几平方米。
1.在这一张白纸上画一个圆，你将会画在什么位置？
A.正中——去2题
B.左上角——去3题
C.右上角——去4题
D.左下角——去2题
E.右下角——去5题
2.这个圆形是有颜色的，那么你会画成什么颜色？
A.蓝色——去4题
B.粉色——去3题
C.黄色——去5题
D.绿色——去8题
3.圆形会让你联想到什么？
A.车轮——去6题
B.速度——去4题
C.人生——去5题
4.把圆形可以拉成一条怎样的线？
A.直线——去6题
B.曲线——去10题
C.折线——去5题
5.在圆上画一个三角形，你会怎么画？
A.圆包围着三角形——去11题
B.三角形包围着圆——去6题
C.三角形和圆交叉着——去7题
6.你认为什么样的三角形最稳定？
A.等边三角形——去9题
B.等腰三角形——去7题
C.直角三角形——去8题
7.把三角形画成什么颜色最漂亮？
A.橙红色——去10题
B.天蓝色——去9题
C.米黄色... 阅读全帖 |
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n********n
发帖数: 8336 | 8 耶和华见证人与传统基督教教义的主要不同点(二） 2012-11-27 13:18:22
耶证认为耶稣是独一真神耶和华的独生子，但不是独一真神。他是众神中的一个。
根据一、约翰福音17章3节。 关于the God和a god。
John 17:3 And this is life eternal, that they might know thee the only true
God,G2316 and Jesus Christ, whom thou hast sent.
John 17:3 认识你独一的真神，并且认识你所差来的耶稣基督，这就是永生。
耶证认为耶稣不是独一真神。耶稣强调要认识独一真神和要认识独一真神差来的(耶稣
自己)是并列的，那独一真神肯定不是他“差来的耶稣基督”，那独一真神差来的显然
不是独一真神。如果耶稣也是独一真神，那就有两个独一真神了，与圣经不符。
从人的逻辑看，这样的质疑是合乎情理的。耶证的根本问题不是耶稣是不是神，而是
“独一”让他们的理性难以把耶稣也看作神。也就是说如果你能把属于神的所有特性都
在耶稣身上找到，他也不会承认耶稣是神, 因为那样就... 阅读全帖 |
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Z*****l
发帖数: 14069 | 9 金庸政治学之《书剑恩仇录》1——如无陈家洛，谁是总舵主？
一、如果没有陈家洛
一把手退下来了，谁来接替他的位置？这是个问题。
在封建社会，皇帝自然是一把手，采用世袭制，若不是整个江山被人一窝端的话，
就总是自家人称孤道寡，但自家人也不见得一团和气，少不了争储夺位的事情发生，比
如康熙传位雍正，便成了千古谜团，赵匡胤和赵匡义兄弟的烛影斧声也是一例。如果身
在官场，这事情就更复杂，各部门的一把手要是退了，就涉及外调和内部提拔的问题，
而外调调谁，内部提拔又提拔谁，里面学问大了。
红花会是金庸武侠处女作《书剑恩仇录》当中的正义团体，与朝廷对立，乾隆对其
也畏惧三分。如此庞大的组织，如此实力雄厚的帮派，在《书剑》一书开始时，也遭遇
了一次一把手的更迭。
不过作为与满清朝廷对立的大帮派，红花会的总舵主俨然小皇帝，于老舵主去世了
，就传位给义子陈家洛，而且陈家洛身世特殊，是乾隆的亲弟弟，又是天池怪侠的高徒
，加上于老舵主没有子嗣，总舵主的位置非他莫属。
但如果没有陈家洛这个人的话，又会是谁来做这个拥有七万人的大帮派的总舵主？
对于红花会这样一个大帮派来说，外调一把手的可能性几乎为零（陈家洛作为原总... 阅读全帖 |
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z*******9
发帖数: 167 | 10 我觉得楼主的意思是这样的：
A1 = {(x,y,z): x+y=z}, A2 = {(x,y,z): x,y,z组成线段}
B1 = {(x,y,z): x^2+y^2=z^2}, B2 = {(x,y,z): x,y,z直角三角形}
C1 = {(x,y,z): x^3+y^3=z^3}, C2 = {(x,y,z): 符合某这特性的三角形}
显然集合A1=A2，B1=B2，为了让C1=C2，我们应该找一种怎样的三角形描述。
C1里的所有元素都是锐角三角形，但是并不是所有锐角三角形都在C1里。所以锐角三角形
并不是一个楼主要的描述。
我用数值计算的方法看了一下C2上的三角形都长成什么样的。如附件所示，
如果x^3+y^3=z^3,那么这个三角形是以蓝色直线为一边，第三点在红色圈圈，
或者相似于此的三角形。
像一个椭圆。
这是数值描述，我估计楼主还想要一个更精确或者close form的描述 |
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d**y
发帖数: 18174 | 11 用仰泳游开水很省力，呼吸的自由度最大，也不耽误欣赏风景。但是如果没有人工指引
和参照（游泳池的房顶和泳道的浮标当然没有了，开水比赛的浮标也没有，假设也没有
引路船），想游直线就必须得解决sighting的问题。我和很多人探讨过，并没有太好的
办法。大部分人推荐，也是我自己经常用的办法是游一段，就翻过来面朝下变成自由泳
抬头看一下方向，然后翻回去接着仰泳。游多长翻身因人而异，主要看平时在游泳池里
游的直不直。这种办法在平静的湖里还能接受，要是风浪大点，特别是有不稳定的复杂
水流的时候，就得频繁地检查方向，比较烦人。
所以，想轻松地仰泳，还是得充分利用不翻身就能看到的东西来确定方向。
仰泳的时候能看到什么？网上有人说可以晚上游，看星空定方位，这当然是玩笑。看太
阳行不行？太刺眼了，不可能定准方向。云肯定不行，随风在动。
不太宽的水域可以看左右两岸，但是两岸和前进的方向基本平行，误差会很大。
最可靠的参照物是前进方向相反的明显地标，建筑物，输电塔之类；最好不是大山，小
山可以；孤零零的小山可以，连绵的不行。仅仅抬头看这个地标还是不够的，眼睛的误
差还是太大，特别是离这个地标越来越远，方向越来... 阅读全帖 |
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wh
发帖数: 141625 | 12 【 以下文字转载自 FDU 讨论区 】
发信人: Lotus (mimi乐), 信区: FDU
标 题: 我喜欢的王天德老师
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Nov 12 04:13:24 2011, 美东)
第一次见到王天德老师，是在2教2楼最北面的那个大阶梯教室（2210?）《中国画与西
洋画》的老师，果然如传说中那般长发飘飘、玉树临风。教室里座无虚席，前几排坐满
的都是女生。
那个学期讲西洋画为主，从中古时代到文艺复兴，从巴洛克艺术、洛可可风格、现实主
义、印象派、后印象派，从达芬奇、米开朗基罗、拉斐尔、伦勃朗、德拉克洛瓦，到塞
尚、凡高...谈笑风声中一路娓娓道来，让人如沐春风。
印象最深的几点
-- 他对“三角形”美学的评价：
“看到了吗？又是一个三角形！这里...这里...还有这里...你看，多漂亮！” 这幅画
中，女人的腰身和弯曲的手臂构成一个三角形，直立的左腿和微曲的右腿构成一个三角
形，这里和那里又是一个三角形。他总是兴奋地指点着画面告诉我们，几何性的形体结
构中三角形是最美的。所以，以后每次他放幻灯片让我们欣赏名作时，我总是条件反射
地寻找三角形。以至于后... 阅读全帖 |
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wh
发帖数: 141625 | 13 【 以下文字转载自 FDU 讨论区 】
发信人: Lotus (mimi乐), 信区: FDU
标 题: 我喜欢的王天德老师
发信站: BBS 未名空间站 (Sat Nov 12 04:13:24 2011, 美东)
第一次见到王天德老师，是在2教2楼最北面的那个大阶梯教室（2210?）《中国画与西
洋画》的老师，果然如传说中那般长发飘飘、玉树临风。教室里座无虚席，前几排坐满
的都是女生。
那个学期讲西洋画为主，从中古时代到文艺复兴，从巴洛克艺术、洛可可风格、现实主
义、印象派、后印象派，从达芬奇、米开朗基罗、拉斐尔、伦勃朗、德拉克洛瓦，到塞
尚、凡高...谈笑风声中一路娓娓道来，让人如沐春风。
印象最深的几点
-- 他对“三角形”美学的评价：
“看到了吗？又是一个三角形！这里...这里...还有这里...你看，多漂亮！” 这幅画
中，女人的腰身和弯曲的手臂构成一个三角形，直立的左腿和微曲的右腿构成一个三角
形，这里和那里又是一个三角形。他总是兴奋地指点着画面告诉我们，几何性的形体结
构中三角形是最美的。所以，以后每次他放幻灯片让我们欣赏名作时，我总是条件反射
地寻找三角形。以至于后... 阅读全帖 |
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b********h
发帖数: 2451 | 14 补充一点吧，不见得理解得对：
1.公理系统是形式逻辑的范畴，和实际应用无关
2.哪怕是实际检验，也需要follow公理的定义。比如欧氏几何对三角形的定义和非欧几
何是不同的。你要实践检验欧氏几何三角形之和等于180，你必须找一个符合欧氏几何
定义的三角形，同理对非欧几何亦然。在曲面上画一个三角形去否认欧式几何，显然是
错误的，因为那个“三角形”不是欧式几何定义中的三角形，尽管他们“白纸黑字“都
是三角形。
圣经中的公理：1 神万能2.神至善。3.圣经无误。如果一个人对圣经的理解得出与1.2.
3相反的结论，必然是这人的理解错了。这是基督教解释圣经的总原则。回到老七那节
经文，耶稣话中的”你们“，有两种解释1.狭义指耶稣直接说话的对象，早期使徒 2.
广义指所有基督徒。按照2解释，与现实不合，并非所有基督徒有这个能力，但是圣经
是不会错的，耶稣是不会撒谎的，所以只能取第一种解释，这是对早期使徒说的。而且
这种解释在后面的圣经中有支持，因为根据圣经，那些使徒的确获得了医治的神奇能力。
度，有的 |
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L***s
发帖数: 920 | 15 第一次见到王天德老师，是在2教2楼最北面的那个大阶梯教室（2210?）《中国画与西
洋画》的老师，果然如传说中那般长发飘飘、玉树临风。教室里座无虚席，前几排坐满
的都是女生。
那个学期讲西洋画为主，从中古时代到文艺复兴，从巴洛克艺术、洛可可风格、现实主
义、印象派、后印象派，从达芬奇、米开朗基罗、拉斐尔、伦勃朗、德拉克洛瓦，到塞
尚、凡高...谈笑风声中一路娓娓道来，让人如沐春风。
印象最深的几点
-- 他对“三角形”美学的评价：
“看到了吗？又是一个三角形！这里...这里...还有这里...你看，多漂亮！” 这幅画
中，女人的腰身和弯曲的手臂构成一个三角形，直立的左腿和微曲的右腿构成一个三角
形，这里和那里又是一个三角形。他总是兴奋地指点着画面告诉我们，几何性的形体结
构中三角形是最美的。所以，以后每次他放幻灯片让我们欣赏名作时，我总是条件反射
地寻找三角形。以至于后来看各种照片的时候也是这样。发现还果真如此（随便找几张
选美图片，好多三角形）
-- 还有科林斯柱，从文艺复兴到现在都是经典。“你看这幅画里这个是科林斯柱，那
幅画里也是...” 以后的生活中每当看到各式建筑、各种博物馆... 阅读全帖 |
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L***s
发帖数: 920 | 16 第一次见到王天德老师，是在2教2楼最北面的那个大阶梯教室（2210?）《中国画与西
洋画》的老师，果然如传说中那般长发飘飘、玉树临风。教室里座无虚席，前几排坐满
的都是女生。
那个学期讲西洋画为主，从中古时代到文艺复兴，从巴洛克艺术、洛可可风格、现实主
义、印象派、后印象派，从达芬奇、米开朗基罗、拉斐尔、伦勃朗、德拉克洛瓦，到塞
尚、凡高...谈笑风声中一路娓娓道来，让人如沐春风。
印象最深的几点
-- 他对“三角形”美学的评价：
“看到了吗？又是一个三角形！这里...这里...还有这里...你看，多漂亮！” 这幅画
中，女人的腰身和弯曲的手臂构成一个三角形，直立的左腿和微曲的右腿构成一个三角
形，这里和那里又是一个三角形。他总是兴奋地指点着画面告诉我们，几何性的形体结
构中三角形是最美的。所以，以后每次他放幻灯片让我们欣赏名作时，我总是条件反射
地寻找三角形。以至于后来看各种照片的时候也是这样。发现还果真如此（随便找几张
选美图片，好多三角形）
-- 还有科林斯柱，从文艺复兴到现在都是经典。“你看这幅画里这个是科林斯柱，那
幅画里也是...” 以后的生活中每当看到各式建筑、各种博物馆... 阅读全帖 |
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s*****V
发帖数: 21731 | 17 找到的貌似后续 4
我们今天从AS定理的远祖开始来考察一下AS定理的世系演化。
平面三角形的内角和等于180度这一定理，不能算是AS定理最早的祖先，但算得是一个
好的祖先代表。
这个简单例子让我们看到了几何体上有代数，三对边夹角之和是个常数。因此，我们知
道无穷多个三角形之所以能归为一类，用边数为3或角数为3来判断都不够好，而是因为
有一个共同的不变量π。这个不变量是几何不变量。
三角形还有别的不变量吗？当然有。大家可以验算一下：边数-顶点数＝0对所有三角形
也成立（不许笑！），而且与几何不变量π没有关系。
这个不变数对任意多边形（平面的或立体的）都成立：边数-顶点数＝0。有一点点意思
了吧。敏感的同学可能马上看到这个不变数0是由于任意多边形都是一个闭合的东东。
更多一点意思的是，推广到无穷多边形也是成立的，特别是对圆周也成立，虽然边和顶
点已经难以看出来了。
于是我们发现这个不变数0原来是不仅是三角形的，也不仅是多边形的，也不仅是圆周
的，而是任意封闭曲线的性质。任意封闭曲线有一个不变数0。这就是封闭曲线的所谓
拓扑不变量。到这时，我们看不到这个0与边数或顶点数之类的关系，边、顶点、... 阅读全帖 |
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l******e
发帖数: 172 | 18 1) 大图把C和D都标反了
2) 小学生知道比和比例，也知道三角形的面积是底乘高除以2
3) 三角形EFD和三角形CFD的面积比是2:3, 高相同，所以底EF:CF = 2:3
4) 小学生不知道相似三角形，但聪明一点的，能猜出BF:DF=CF:EF=3:2=1.5
5）所以三角形BCF的面积是三角形CFD的面积的1.5倍，也就是4.5
6) 所以半个矩形的面积是7.5, 所以四边形ABEF的面积是5.5 |
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l******e
发帖数: 172 | 19 1) 大图把C和D都标反了
2) 小学生知道比和比例，也知道三角形的面积是底乘高除以2
3) 三角形EFD和三角形CFD的面积比是2:3, 高相同，所以底EF:CF = 2:3
4) 小学生不知道相似三角形，但聪明一点的，能猜出BF:DF=CF:EF=3:2=1.5
5）所以三角形BCF的面积是三角形CFD的面积的1.5倍，也就是4.5
6) 所以半个矩形的面积是7.5, 所以四边形ABEF的面积是5.5 |
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j*******g
发帖数: 429 | 20 霍有光
（西安交通大学生态环境与现代农业工程研究中心，教授，西安 710049）
摘要：渤海是我国最大的内海。黄河泥沙淤积渤海，虽然每年可新增陆地23平方公里，
但是意味着将以同样的速度损失渤海作为我国内海的故有海域。本文周密论证了令黄河
复归故道的可行性与有效途径。黄河复归故道即由原“废黄河口”入海，不仅能够不断
增加我国陆地、内海及领海的面积，而且能够解除黄河下游千里悬河之患，具有极大的
经济、社会与生态环境意义。
几年前，西北大学地质系教授王战先生，有感于黄河携泥沙入海形成造陆运动，致使渤
海日益缩小的现实，发出了改道黄河入海口，保护渤海湾的慷慨呼吁。遗憾的是，这一
体现着重大经济意义与生态环境意义的睿智良策，一直未能引起有关部门的重视。笔者
试图在王战教授呼吁的基础上，进一步加以论证，使之更具科学性、优越性与可操作性。
一、保护渤海（内海）与根治黄河下游水患
渤海呈“C”字型深深嵌入中国北方大陆（如天津一带嵌入500多公里），三面环陆，与
河北、天津、山东的陆岸相邻，是大自然赐予我国的一个得天独厚的半封闭型内海。渤
海海底地势由海岸向湾中缓慢加深，平均水深12.5米，海湾南北长... 阅读全帖 |
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m***n
发帖数: 2154 | 21 来自主题: JobHunting版 - 问道概率题 几个假设吧。。
1. 如果是形成一个三角形，可以假定他投飞镖的准星在三角形内部。
2. 三角形内部某点和三角形的三个点距离相等，以该点为原心画圆，覆盖三角形的三
个顶点。
3. 这时候判断三角形面积和圆的面积就行了。 不知道对不对，呵呵 |
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l*****l
发帖数: 5909 | 22 这是我昨天下午写的，今天改了改错别字和措辞，有错漏望海涵及指正。
一些设定和剧情我好像以前在别的地方看过，想不起来。
并非本人故意抄袭。谁知道的话，麻烦提供出处。
希望大家多多支持我的娱乐创作。谢谢。
我已经为本版捐献了50个包子！如有必要，我还可以再捐！
如无意外，本人至少一个月不会再用我的两个id开帖。
情节纯属虚构。
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情人节的雪还是没有停。我和A天没亮就出发，一起去郊外的独角兽养殖基地参观独角
兽。A是那里的饲养员，不过今天轮休。
据我所知，独角兽是一种西方传说中的动物。在中国也有类似的，叫麒麟。这种动物何
以会在现实中出现？难不成又是商家搞的什么神兽之类的噱头。我心中带着这样的疑问
，驾临了这个深山之中交通不便的所在。迎面就是一座辉煌的大门，上面写着十一个鎏
金大字儿，“溜沟子乡独角兽养殖基地”。我随A走进场区，发现果然是别有洞天。门
外天寒地冻，门内却是春意盎然外加鸟语花香。我心想：莫不是我今日“撞上了桃花运
，来到了桃花源”？我心中哼着这首歌曲，四处张望。绕过一个牌楼，眼前的奇景将我
震撼了。
我看见了一片广袤的草原，... 阅读全帖 |
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l*3
发帖数: 2279 | 23 1. 关于平行公设与三角形内角和的关系, 看附图.
图(1)是说平行的定义与平行公理, 先说平行的定义, 两直线t1与t2平行的意思就是,
任一条线 (绿线) 若与t1, t2均相交, 则两交点处同侧角 (即角1与角2) 的和是pi (古
话叫180°)
平行公理是说, 过直线外一点, 有且仅有一条直线与已知直线平行.
我这里关于 "平行" 的叙述方式与欧几里得的叙述方式有一点区别 (他是叙述 "不平行
" 的定义), 具体可查阅维基百科百度百科各种百科, 这个没什么本质差别.
三角形内角和180°的证明:
看图(2), 三角形ABC, 首先线段BC本身是在唯一的一条直线上 (这是欧几里得第二条公
理), 过A有且仅有一条直线t3与线段BC所在的直线平行. 由平行的定义知角5+角6+角8=
pi, 但角6+角8+角7=pi, 故角5=角7, 同理角4=角6.
故角4+角5+角8=角6+角7+角8=pi
此方法对任何三角形均可用.
注: 平行公理 和 "三角形内角和是pi" 是等价的两个命题, 你同学如果承认一个, 那
就可以推出另一个, 但是他以此来 "证明平行公理必然成立" 是不对的... 阅读全帖 |
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j*******7
发帖数: 6300 | 24 【 以下文字转载自 TrustInJesus 讨论区 】
发信人: jmsma2007 (James), 信区: TrustInJesus
标 题: [学术] 关于逻辑自身的“循环论证”问题
发信站: BBS 未名空间站 (Tue Apr 30 14:42:07 2013, 美东)
逻辑：沙滩上的象牙塔？——关于逻辑自身的“循环论证”问题
1.问题的提出
逻辑适用于研究任何对象，自然也适用于研究它自身。用逻辑研究其他对象非但不
会引起非议，反倒会被认为是必要的。然而，用逻辑研究逻辑本身就会导致如下责难：
这样做难道不是在循环论证吗？事实上，只有在预先设定了逻辑的无矛盾性和可靠性的
情况下，才有可能去论证逻辑的无矛盾性和可靠性。
卡汉在《逻辑和哲学》一书中就曾指出：“有些哲学家对于建造公理系统认为无多
大意义。其原因之一是，建造一个公理系统（至少是就逻辑的公理系统而论）包含着某
种程度的恶性循环。就拿谓词逻辑的一个公理系统为例。假定我们要证明这个系统无矛
盾，困难是这种无矛盾证明（在元语言中）不可避免地要使用那些‘推理工具’（如假
言推理规则），但这些工具是系统自身的推导规则。所以如果... 阅读全帖 |
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p**********6
发帖数: 3408 | 25 其实如果测量了很多个三角形，发现它们的内角和都是180度，就可以知道所有三角形
的内角和都是180度是必然的。大部分的的初等几何题，理论上都可以用举足够多的有
限个成立的例子来证明。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
“数学中有两种思想方法，一种是归纳，一种是演绎。
归纳就是说，你测量了很多个三角形，发现它们的内角和都是180度，所以你推断所有
三角形的内角和都是180度。
演绎是说，三角形的内角和是180度已经成为真理，那么拿出任何一个三角形，你都可
以推断它的内角和是180度。
徐策向来习惯用演绎法进行思考，他排斥归纳法。
因为归纳法不是逻辑上的必然证明，存在天然的小概率事件。你不能说谁的儿子搞了个
威讯，谁的儿子是最有钱的残疾人，就推论说，上面的大佬全是中饱私囊，没一个好人
。也许他们中也有好人，好得不太明显呢？
归纳是经验的总结，演绎是逻辑的推理。” |
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j*******7
发帖数: 6300 | 26 逻辑：沙滩上的象牙塔？——关于逻辑自身的“循环论证”问题
1.问题的提出
逻辑适用于研究任何对象，自然也适用于研究它自身。用逻辑研究其他对象非但不
会引起非议，反倒会被认为是必要的。然而，用逻辑研究逻辑本身就会导致如下责难：
这样做难道不是在循环论证吗？事实上，只有在预先设定了逻辑的无矛盾性和可靠性的
情况下，才有可能去论证逻辑的无矛盾性和可靠性。
卡汉在《逻辑和哲学》一书中就曾指出：“有些哲学家对于建造公理系统认为无多
大意义。其原因之一是，建造一个公理系统（至少是就逻辑的公理系统而论）包含着某
种程度的恶性循环。就拿谓词逻辑的一个公理系统为例。假定我们要证明这个系统无矛
盾，困难是这种无矛盾证明（在元语言中）不可避免地要使用那些‘推理工具’（如假
言推理规则），但这些工具是系统自身的推导规则。所以如果这些‘推理工具’本身是
无矛盾的，那么证明对象语言的系统无矛盾是有价值的。但是如果它们是矛盾的呢，那
么这种证明就没有价值了。因此提出一个无矛盾证明，事情并没有取得任何进展，因为
我们事先得相信这些推理规则是无矛盾的，再用它们来证明无矛盾，从而又证明这些规
则本身无矛盾。对于系统中的公... 阅读全帖 |
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n********n
发帖数: 8336 | 27 “全能悖论”的其他变体[编辑]
早在公元6世纪时，伪狄奥尼修斯就指出了“全能悖论”和《使徒行传》中记载的圣保
罗和魔法师Elmyas的辩论（Acts 13:8）有相似之处，只不过《使徒行传》中，他们之
间辩论的问题是上帝是否能够“否定自己”[25]。11世纪时，安瑟伦又提出，即使上帝
做不到某些事情，他仍然可以是全能的[26]。
一个在欧几里得平面上的三角形，它的三条边、三个角、三个顶点标记如图。三角形的
三个内角之和，即 α + β + γ，应该等于180°
托马斯·阿奎那对于全能悖论提出过一个更深刻的问题，即“上帝能否创造一个内角和
不是180°的三角形。”他在《哲学大全》中说：
“ 因为逻辑、几何、代数中的一些定律是仅仅是从基于最根本的自然规律建立的公
式化原则中导出的，所以上帝是无法做违反这些定律的事情的。例如，他不能创造一类
不是物种的动物，也不能画一条通过圆心但是不等分圆的直线，更不能画一个内角和不
等于两直角之和的三角形。[27] ”
拉丁文原文：
“ Cum principia quarundam scientiarum, ut logicae, ge... 阅读全帖 |
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P******l
发帖数: 1648 | 28
其次我们说说在不同认知层次如何来讨论问题。
一个三岁的孩子对一个成年人说，你画的侧面人像不是人脸像。 只有我画的正面人像
才是人脸像。
成年人告诉三岁的孩子，你和我画的都是人脸像。
三岁孩子说，这简直是疯子的逻辑。这两个人脸像如此得不同，怎么可能都是人脸像。
成年人可能要想一下，如何解释。
但如果这个三岁孩子总是不听，成年人只能笑笑得摇头走开。也许这个三岁孩子长大了
可能明白。
有一个初中生听到一个大学生说：三角形内角和可以不为180°
初中生说，你难道连三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°都不知道。
这个大学生可以解释一下:你说的三角形是指平面三角形，处于平直空间中。当三角形
处于黎曼几何空间中时，内角和不一定为180°。例如，在罗巴契夫斯基几何（罗氏几
何）中，内角和小于180°；而在黎曼几何时，内角和大于180°。
初中生说，这简直是疯子的逻辑。我无法评价。
如果这个初中生总是不听，大学生只能笑笑得摇头走开。也许这个初中生多学点知识后
可能明白。 |
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p****i
发帖数: 83 | 29 我能想到的算法就是把这个问题转化为3个control points的问题。
首先，把多个控制点转化成mesh，也就是三角形组成的网状结构，这些三角形共享边，
但不会互相覆盖。尽量让每个三角形的面积平均一些。
第二步，3个控制点组成的三角形内，可以渐变。具体算法参见PovRay开源项目中
smooth triangle实现如何知道三角形内一个点对应的三角形每个顶点的weight值。 |
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c***s
发帖数: 70028 | 30 石家庄一大楼乍一看如薄饼干，市民戏称“楼薄薄”
这几天里，一组上海都市弄堂“纸片楼”的照片在网上热传，照片中的居民楼造型独特薄如纸，而事实上真实的居民楼是三角形，这只是摄影师从特定角度拍摄的结果。无独有偶，在石家庄也有这样一座三角形的大厦，从特定角度看上去也是薄薄的狭窄一条。
2013年12月28日一位摄影师在上海弄堂内拍摄了一组照片，近日却在网络上蹿红，只因这一栋居民楼看起来非常得薄，这就是拍摄于上海宁波路的“纸片楼”。而事实上，“纸片楼”其实是一幢带有三角的多边形建筑，“纸片楼”的“尖角”后方紧贴着一条名为石潭弄的弄堂。其实薄如纸片的立面仅仅是一种视线错觉，整幢楼三角形的格局使得它在某个角度看起来薄得仿佛一张纸。
上海的“楼薄薄”在网上受到网友热捧，而就在石家庄，也有这样的一栋“纸片楼”。1月6日中午，在平安南大街与裕华路交口往南200米左右，记者一睹“楼薄薄”的芳容。这栋“楼薄薄”是省直某机关的办公楼，大楼共有16层，从大楼的东南侧看过去，整栋大楼变成了薄薄的一块“饼干”，整面南墙上分布着一层层的大窗户，而楼的东侧却仅有两米来宽，配合大楼高大的身影，成了名副其实的“楼薄薄”。
其... 阅读全帖 |
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C********g
发帖数: 9656 | 31 ·艾 丁·
甲：最近看到一些关于弯曲时空的讨论。我是学社会科学的，只具备高中水平的数学和
物理知识，对于相对论的概念只是略知皮毛，所以许多文章我读起来不得要领。你是物
理教师，能否做个科普介绍？
乙：我试试看。我虽然做过物理教师，但从未教过相对论。我尽可能少用专业术语。如
果你有疑问，请随时提出。
甲：我猜想，在欧氏几何与非欧几何中，直线应当有不同的定义。
乙：在几何学里，所谓“下定义”，就是用已经具备确定含义的概念来界定尚未定义的
概念。例如，你如何定义“三角形”？
甲：我把三角形定义为“首尾相接的三条线段构成的几何图形”。可以吗？
乙：当然可以。但是这个定义必须在界定“线段”之后才有意义。什么是“线段”呢？
甲：我记得中学的几何课本里说过，"线段是直线上任意两点间的部分”。
乙：什么是“点”，什么是“直线”呢？
甲：我不知道。但是我明白你是在说，几何体系中，“下定义”的链条势必有个终点，
总有一些概念是无法“下定义”的。
乙：是这样。“点”，“直线”和“平面”就是无法在几何理论体系中定义的。当然，
在几何体系之外，它们可能有某种形式的定义。
甲：在几何学中，这些无法定义的概念是如何... 阅读全帖 |
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y***i
发帖数: 11639 | 32
这97%受到的是什么垃圾教育呢，下面给大家一些例子：
1969年1月北京市中小学教材编写：北京市中学试用课本《数学第二册》“第四章简单
图形”摘选：
三角形
在无产阶级文化大革命噎取得伟大的决定性的胜利的时刻，又一曲毛泽东思想的胜利凯
歌响彻云霄。我国自行设计和施工建造的最大的长达6700多米的现代桥梁——南京长江
大桥全部建成。可以看到凌空飞架的巨大钢梁，笔直的横卧在矗立江心的桥墩上，排列
整齐的三脚架有力的支撑着大桥钢梁。“凡事应该用脑筋好好想一想。”大桥的钢梁为
什么要用三脚架结构呢？伟大领袖毛主席教导我们“最聪明，最有才能的是最有实践经
验的战士。”劳动人民在长期实践中，发现三角形有如下特征……
伟大领袖毛主席教导我们“科学研究的区分，就是根据科学对象所具有的特殊的矛盾性
。”按三角形的情形，三角形可以分为三类……
简单轴对称图形
伟大领袖毛主席是我们心中的红太阳。让我们怀着无限忠于毛主席，无限忠于毛泽东思
想，无限忠于毛主席的无产阶级革命路线的深厚阶级感情，剪个“忠” 字代表忠心。
我们剪“忠”字时可以把纸对折起来剪。因为这个图形沿着中间的直线对折过来，左右
两部分能够完全... 阅读全帖 |
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s******8
发帖数: 7105 | 33
"保姆"秦桂贞揭秘江青旧事
在最高人民法院特别法庭审判江青的时候，从上海前往北京的出庭者有郑君里夫人黄晨
和秦桂贞。
秦桂贞常常被说成是蓝苹(江青)30年代在上海的保姆。其实，那时候蓝苹很穷，还
雇不起保姆。秦桂贞是蓝苹借住的房东家的保姆。
秦桂贞是江青30年代在上海时的好友。江青在当时发表的《一封公开信》中，便曾
两处提到她......
那是在1936年4月，当时叫蓝苹的江青，在上海和影评人、演员唐纳结婚。这是江
青第二次结婚。婚礼在上海青年会及杭州六和塔举行。上海各报纷纷报道。才过了两个
月，就发生婚变。唐纳为此两度自杀(未遂)。一时间，上海各报竞相刊载唐纳两度为蓝
苹自杀的新闻，闹得满城风雨，称之为"唐蓝事件"。
不久，蓝苹又与有妻、有子女的导演章泯同居，舆论更是一片哗然。
面对舆论的强大压力，蓝苹在1937年6月5日上海出版的九卷四期《联华画报》上，
发表了《一封公开信》，为自己辩解。她这样写及唐纳：
"他又来了，进门就骂我，我请他出去，他不出去，于是我叫阿妈上来，但是他竟
把房门锁了，急得我那个善良的阿妈在外边哭，可是我呢?我却平静得很，我知道他很
痛苦，让他骂骂出出气也是... 阅读全帖 |
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y***u
发帖数: 7039 | 34 何新：解读共济会密教的一些神秘符号（一）
2012.12.31
漫步在东京街头的独眼怪
何新按：共济会是一种极其特殊而古老、神秘的宗教文化。
作为全球最大的半隐身的组织，它是一个内部活动对外保持高度隐秘性的特殊宗教性组
织（尽管共济会并不承认自己是宗教）。在共济会的信仰体系中存在着大量独特而神秘
的符号和密码。
一些年来，共济会的符号和密码引起了关注共济会的各国学术和艺术研究者的高度兴趣
，对之进行了许多有趣的解读。本博近期拟发表一组博文，诠释一些已经被人们解读了
的共济会符号和密码。
华盛顿身穿共济会“石匠”Mason的三角裙
主持美国联邦首都华盛顿的奠基典礼
中央局部放大：
美国生活杂志介绍共济会员Masons，
集体腰围与上图中华盛顿腰间相同的石匠围裙，
排成象征金字塔的三角形阵列
Mason——石匠腰系的共济会围裙
1、美国共济会神殿，隐藏神秘命理数字33
根据美国著名作家丹布朗的揭露... 阅读全帖 |
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r******e
发帖数: 8925 | 35 一位26岁的健壮男子，自9月6日被银环蛇咬伤后，至今躺在杭州市中医院的ICU里，全
身肌肉麻痹，动弹不得。市中医院ICU主任王秋雁说，壮男还得在ICU呆上一段时间。“
不过，幸运的是，他一条命总归是保住了。”
看到蛇身上长着漂亮的“斑马纹”
云南小伙好奇把玩结果被咬
壮男是云南人，在德清工作。9月6日，他的一位朋友在野外草丛里抓到一条蛇。蛇不
大，身上一截白一截黑类似斑马纹，朋友只觉得蛮漂亮，也不认识，就拿去壮男家献宝
。壮男也没见过这种蛇，看看蛇头不是三角形的，觉得不是毒蛇，胆子忒大，竟拿起蛇
把玩起来。说时迟那时快，小蛇突然在壮男左手拇指上咬了一口！壮男左手拇指上瞬间
就被蛇牙扎出一个不到一厘米的小口，但不肿不胀，出血也不多。
壮男起初还不以为意，还好家里人谨慎，送他去了德清的医院。到了医院，医生一听
一看，说他们处理不了，赶紧送杭州市中医院。
等到了杭州市中医院急诊皮肤科，壮男才知道，自己是被银环蛇咬了。
虽然脱离生命危险但至今不能动
今后肌肉力量恢复几成要看个人造化了
“他大概是傍晚7点不到被咬的，到我们医院的时候是晚上8：40，当时眼睛已经有点睁
不开，头晕，喉咙开始有阻塞感... 阅读全帖 |
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r****z
发帖数: 12020 | 36
纳粹的核心思想并不是极权主义，去掉极权主义，仍然可以是纳粹。
基督教的核心思想就是反同，去掉反同，就不是基督教了。
这两句是模仿您说的。请见谅。我的意思就是下个结论很容易，但是需要说服别人可就
不那么容易了。圣经处处反同，如果您读过就不应该说“去掉反同，仍然可以是基督教
”的话了。
三角形的概念是从现实中抽象出来的。如果现实中没有三角形，根本就不会有这个概念
。理想中的三角形内角和严格等于180，现实中的三角形内角和约等于180.这个理想和
现实是符合的。这个理想中的三角形才有意义。
您的理想中的基督教不反同，可现实中的基督教大部分反同。这个理想和现实是不符合
的。所以讨论您的这个理想中的基督教没有意义。 |
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b******t
发帖数: 965 | 37 面试官 就是画了
两行 总共六个三角形
第一行 三个三角形 = 3
第二行 三个三角形 = 9
然后 第三行 空着 要你画
问怎么画 =13
用三个 三角形
我是这么答的
第一行 三个点
第二行 九条边
第三行 我用三个三角形画了某个图形 总共有13个angle
但是面试官 说 我这个虽然work 但是没有利用 第一行和第二行的信息 |
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b******7
发帖数: 92 | 38 三角形T1被T2覆盖等价于T1的三个顶点(A1,B1,C1)均在T2内部或边界上。
点在三角形内部或边界上是编程之美上的原题，
1. 判断点在三条线的同一侧
2. 判断该点与三角形三个点组成的三个三角形的面积和是否等于原三角形的面积 |
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i******n
发帖数: 12 | 39 上来就做题，挂在第二题上了
1. 无序数组求逆序对的数量
逆序对就是A > A[j] 且 i
-- merge sort归并的时候统计，nlogn 这个还好。。
2. 给一个0和1的矩阵，先全部为0，然后，用一个正方形或者三角形去覆盖这个矩阵，
若覆盖到的方格面积大于等于1/2，则标1。正方形和三角形的各个顶点都不会超过矩阵
边界。可以假设不存在只有一个格子为1的情况。正方形或者三角形可以在任意位置以
任意角度去覆盖。
那么，给你一个0,1矩阵，判断覆盖该矩阵的是正方形还是三角形。
--算法没想出来没想出来没想出来。。。
后来想想，是不是看与1相邻的0的数目是奇数还是偶数啊？但是三角形奇数不会证。。
。求解答 |
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i******n
发帖数: 12 | 40 上来就做题，挂在第二题上了
1. 无序数组求逆序对的数量
逆序对就是A > A[j] 且 i
-- merge sort归并的时候统计，nlogn 这个还好。。
2. 给一个0和1的矩阵，先全部为0，然后，用一个正方形或者三角形去覆盖这个矩阵，
若覆盖到的方格面积大于等于1/2，则标1。正方形和三角形的各个顶点都不会超过矩阵
边界。可以假设不存在只有一个格子为1的情况。正方形或者三角形可以在任意位置以
任意角度去覆盖。
那么，给你一个0,1矩阵，判断覆盖该矩阵的是正方形还是三角形。
--算法没想出来没想出来没想出来。。。
后来想想，是不是看与1相邻的0的数目是奇数还是偶数啊？但是三角形奇数不会证。。
。求解答 |
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t******l
发帖数: 10908 | 41 看样子还是我比较狠一点。。。当然我娃也比较大一点。。。我这么
给娃 spiral 概念的：
========================================================
第一攻击波：
先说朴素集合论
然后说 slope (rise over run) 的概念
然后说 point-slope 的概念
然后用 “朴素集合论 + point-slope + linear equation” 推导
point-slope 方程。。。当然从 y = x 开始。。。
然后推导 point-point / point-intercept 方程
然后特么没教会，撤。。。
========================================================
第二攻击波：
先教欧几里德平面几何概念，第四公理，第五公理，平行线定义，
相似三角形。。。
然后朴素集合论 <=> 实数集，实数 pair 集 (R1 R2)
然后平几二维空间 和 解几二维空间 的对应关系（第四/第五公理，矩形）。
然后朴素集合论的点集合形成直线 <=> 实数 pair... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 42 然后三角形有 M/LCM(k1, k2, k3) + M/LCM(k1, k2, k4) + ... (五个数里面所有选 3
个的组合。)
然后一个独立自主的五边形下面有 C(5,3) 个寄人篱下的的三角形，而一个独立自主的
四边形下面有 C(4,3) 个寄人篱下的的三角形。
而独立自主的多边形相互不重叠，俗话说就是已经正交化。所以简单相加就是所有寄人
篱下的三角形个数。
再两者相减就是独立自主的三角形个数。
然后 recursive down 到独立自主的一角形（独立自主的一个点）。
然后数奇戆，就是灭灯个数。没有被灭灯的就是亮着的。
数学上是 recursive 表达式。但这个是 recursive down 的就是了。
码字真他妈累。
：对于五个自然数的情况：
： |
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k****e
发帖数: 647 | 43 恭喜恭喜！
刚才想到个纯几何的证明：利用一组全等三角形（边角边），和重心的2:1等分性质，
可以证明原三角形的重心就是拿破仑三角形的外心；另外全等还有个副产品，就是那个
外心处的半径两两夹角是120度！
重心：三角形三条边上的中线的交点
外心：三角形三条边上的中垂线的交点（也是外接圆的圆心）
好久不做平几了，心情大好 :)
哈哈 |
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w***w
发帖数: 6301 | 44 现在乐视正在放U17女足世界杯日本队对美国队的比赛， 海外也可以看。
上半场美国女足1：0领先，但是这球是日本队后卫低级失误，其实是日本队占优势，控
球率66：34。
今天注意看了一下日本女足的阵型。
日本女足的阵型最基本的是三角形。就是每个队员在其附近不同方向的等距上通常会有
两个其他球员，这样任何一个球员拿球，都至少有两个方向可以传球。而在中场经常有
4，5个方向可以传球。同时任何一个队员拿球时，其附近的两个球员都在不停跑位以便
于拿球队员传球。跑位的原则是在这个“等距”的半径上向利于接球或利于进攻的方向
移动。
这个三角形和更多的其他球员之间又结成更多的三角形，所以整个队形就像是一个散开
的网，而每一个网缝就是一个三角形。
在防守时最后的一道防线就变成了线型。在中场对方拿球时，日本队离球最近的球员会
上前堵截，而其他球员并没有对对方其他球员盯人，而是自己按一个个三角形保持
队形。
所以不管在进攻还是防守，不管球在任何地方，附近都会有至少三名日本球员。
这场球日本队3：2赢了。 |
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s*******1
发帖数: 2366 | 45 来自: Cannonball
最近这些日子，你的乐趣是很少的。而六月可能拥有所有正确的元素使你的笑容重新回
归，甚至迈向春天。你刚进入2013年的一个转折期，真正的变化是很有可能的。好消息
是，6月25日象征着馈赠和幸运的木星将进入巨蟹座，进入荣誉和名望的第十宫。 古典
占星家们把第十宫称之为“尊严宫”，因为人人都会看到你的成就，甚至连你的竞争对
手也不得不像你脱帽致敬（也许只是勉强承认你做得真的很好）。第10宫位于你的星盘
最上方，就像刻度“12”在时钟上的位置，意味着事业方面的动作将很快成为你的焦点
所在。
这真的称得上是一个极好的消息，因为很多天秤在推特上@我说“我什么时候才能找到
一个新的职位啊？真的很难！” 亲爱的天秤，我知道这确实很难。到目前为止，你经
历的大多数是挑战和一点点珍贵的运气，几乎没有从外界（例如朋友啊同事）得到任何
的援助。你一定在想“哎，我简直没有一点休息的机会！”这种情况会从现在开始改变
，因为幸运的吉星—木星会在你最重要的事业宫里停留。6月末至7月，任何一个你在洽
谈的职位都会比你现在的工作更上一层楼。 木星将在你的第十宫停留到2014年7月16日
，超... 阅读全帖 |
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T*****n
发帖数: 2456 | 46 楞！一定楞！
1765年，莱昂哈德·欧拉证明：“垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圆（六点圆）
。”许多人误以为九点圆是由而欧拉发现所以又称乎此圆为欧拉圆。而第一个证明九点
圆的人是彭赛列（1821年）。1822年，卡尔·威廉·费尔巴哈也发现了九点圆，并得出
“九点圆和三角形的内切圆和旁切圆相切”，因此德国人称此圆为费尔巴哈圆，并称这
四个切点为费尔巴哈点。库利奇与大上分别于1910年与1916年发表库利奇－大上定理“
圆周上四点任取三点做三角形，四个三角形的九点圆圆心共圆。”这个圆还被称为四边
形的九点圆，此结果还可推广到n边形。 |
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c***t
发帖数: 324 | 47 如果3边都不等长，设BC>AC>AB,那么角A>B>C
容易证明三角形里如果2条边长度固定，夹角越大对应的第三边越长，反之亦然，第三
边越长则对应的夹角越大
FC>EA>DB, 那么角FEC>EDA>DFB, 显然角EFC>FDB>EDA
做辅助线使角DAM=B,ADM=EFB,那么三角形ADM=BFD, 角BDF=AMD>APD>AED>EPD,
角APD+EPD＝180，显然角APD>90, 那么EFC>FDB=AMD>APD都为钝角
做辅助线使角CEN=BFD, EN=EF, 由于EFC为钝角，点N一定在三角形CEF内部，三角形CEN
=BFD, 角B=ECNC矛盾，所以3边都不等长是不可能的，至少2边相等，设AB=AC,
那么AE=BD,显然三角形AED=BDF,那么角A=B,于是BC=AC=AB,
证毕 |
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c****n
发帖数: 1646 | 48 文科生是我，有独立id作证。我之前说63是文科生，这里向文科生同学道歉。对
这个贴，我灌了不少，原因之一是当年我身边就有一位朋友从数学的无穷小概念走火如
魔，最终荒废的学业。反证法是他当年一段时间用的最多的方法，也是和他无数次讨论
，现在还剩了点的影子。我一直想写点有关他的故事，这就算一个小note, 帮助我回忆
吧。
举一个我们当初讨论过的，通过反证法证明平行公理（公设）
欧几里德的平行公理，一直是一个悬案。因为它看上去不像前四个公理那么直观，
欧几里德一直想证明它，以他对反证法的熟练（著名的几个都是他的例子），不可能没
想过，可惜两千年来，无数人试过了，包括数学史上最牛的几个，都无功而返。我那个
同学当年是这么证明的，具体过程已经想不起来的，他在两条平行线之间构造了一系列
具说能延伸到无穷的三角形。我说一个简化的版本：
假设：两条平行线在无穷远处存在一个交点c，交点c 必有不小于零交角存在。
则：在平行线任选一点做垂线，和两平行线相交于点a, b. 两垂足均为直角。
同时点a,b,c构成一三角形。 三角形三内角和>180度。
而由三角形... 阅读全帖 |
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c***t
发帖数: 324 | 49 如果3边都不等长，设BC>AC>AB,那么角A>B>C
容易证明三角形里如果2条边长度固定，夹角越大对应的第三边越长，反之亦然，第三
边越长则对应的夹角越大
FC>EA>DB, 那么角FEC>EDA>DFB, 显然角EFC>FDB>EDA
做辅助线使角DAM=B,ADM=EFB,那么三角形ADM=BFD, 角BDF=AMD>APD>AED>EPD,
角APD+EPD＝180，显然角APD>90, 那么EFC>FDB=AMD>APD都为钝角
做辅助线使角CEN=BFD, EN=EF, 由于EFC为钝角，点N一定在三角形CEF内部，三角形CEN
=BFD, 角B=ECNC矛盾，所以3边都不等长是不可能的，至少2边相等，设AB=AC,
那么AE=BD,显然三角形AED=BDF,那么角A=B,于是BC=AC=AB,
证毕 |
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