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t*******r
发帖数: 22634 | 2 其实 “三只鸡和八只兔子在同一个笼子里，不得不搬脚趾头数数的故事”，
在美国数学计算题八的标准答案里，代数和非代数解法都有。
其实我觉得那个非代数解法，是代数的前导阶段。。。我觉得教代数本身
也没错，但是别教个 1/5 的代数就不教了，要教就教个完整。。。否则
就相当于出动精锐陆战队抢滩到半截就鸣金撤退。。。属于折腾。。。
另外代数有代数的趣味题。。。教了代数以后只用来接鸡兔同笼的问题，
最大的问题是在于无趣，我觉得。。。 |
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a*****g
发帖数: 19398 | 3 说个教育小孩子数学的一个通用的小技巧——
鼓励孩子用第二种、第三种、第四种……方法解答
然后让小孩子选最好最快的办法
注意：一定要是最快最好。
有必要就把将来可能的问题摆出来，让孩子试一试办法是否最好最有效
我从前的学生，
还有8年级数指头做20左右的加法，有靠凑数解鸡兔同笼的
都要了命了 |
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l*****e
发帖数: 2447 | 4 原来还有这么一层顾虑。一般来说，就大球类来讲，技术这个东西，特别在完蛋娃，是
相对容易有阶段性成果的。再完蛋的孩子，一招鲜，兴奋上十天，一招灵，得意的不行
。为啥劳动人民喜爱体育，就是体育有类似这样种种的即时正反馈。不去练技术，任凭
孩子低水平重复，是背离了推体育的基本原理。推球类体育的基本原理是什么，六个字
：好玩驱动进步。而把体育作为锻炼的手段，没有“好玩”这个同盟军，那才需要毅力
。所以，推球类体育，如果目标在于给完蛋娃脱帽，从技术入手的话，是一条简单快乐
的捷径。这个，跟大家花点时间教孩子鸡兔同笼，让娃数学比小白领先，一样轻松愉快。
我这个想法不是凭空得出的，是观察的结果。我们周围的小中完蛋娃，和各种球队里的
各种完蛋娃，若干年看下来。凡是练了技术的，都进步了脱帽了，混得蛮好。没有练技
术的，还在坚持的不多了，而还在坚持的，多是靠毅力，有的时候甚至是家长的毅力。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 5 政治不正确的说，其实对于全美统计平均的娃，稍微使点力，鸡兔同笼不会算不出来吧
，那 Algebra I 也不至于不及格吧。
但就有心理老军医，就过度解读过度外推了一下说，特么你们就不能再使点力变成 260
么？ |
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t*******r
发帖数: 22634 | 6 小学四年级以上的数学，我觉得没有你所说的必须的 “重复训练”。（为了速度
正确率的另说，速度和正确率，在小学四年级以后的内容，在 cognition
的层次是属于 optional，不是 cognition 所必需）。
或者说，对 repetitive training / “重复训练” 要有个 quantify 的定义。
我觉得 repetitive training，是指：“Training by repeating required
pattern, not by repeat logic/causation. And the target is future
decision made by recognizing pattern, without PRIOR comprehension
of relevant logic/causation）。
更添堵的用词应该是 dog training。不过 dog training 这个词政治不正确，
我用个政治正确的。
或者用例子来说：
比如对于图书馆泛读，其实很多书也被 repeat 很多次，但第一这些 repeat 不是
educ... 阅读全帖 |
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l*****8
发帖数: 16949 | 7 哦，我是从第二册开始做的，里面EM是分开的，我只让她做Ｅ的，里面就有好多这种不
用方程很难的题。她没学过方程，简单的类似鸡兔同笼的能做出来，再复杂点就不行了
。还有一个难的地方是MOEMS不是选择题，没法猜。 |
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J***A
发帖数: 1511 | 8 分数忘记了， 鸡兔同笼肯定会了。 女孩早慧， 男孩普遍开窍晚， 但后来居上的多。 |
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d****g
发帖数: 7460 | 9 如果说往前学，也得学了概念后做点题吧？不做题不理解啊。。
好比不做难点的算数题，不理解方程的优越性啊。事实上代数的发明就是为解决鸡兔同
笼的？
所以这个“一定题量”怎么掌握呢？国内太多，米国也太少了吧？
要是有什么顺藤缕下来水到渠成的教材加习题就好了。大家什么经验啊？ |
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w********9
发帖数: 8613 | 10
别客气.
印象里你是学过数学专业的,因此不能随便说.
这里面有一些是经典的数学娱乐题或者变型.比如,本质上是(表面上不是)鸡兔同笼的一
个题型.还有两人比谁能拿到一堆石子的最后一个.还有一些人站一个竖排猜帽子颜色的
一个变型.还有两种药品混在一起如何能正确服药.还有更复杂的握手问题.竞赛中出现
的有多重"钥匙"的问题.还有找灯泡开关的一个开放性问题...
有些是我完全没有见过,尽管是比较纯但非高深的数学题.有些是网格上的问题.第6页有
个女的有两个男朋友.这个我没见过.写了art of computer programming的Donald
Knuth也做过这种政治不正确的题目,讨论一帮人的婚姻,看起来是挺复杂的一个数学大
题,发表在某类数学的刊物里.
还在慢慢看.必须有DVD,否则有时情况不明. |
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d****g
发帖数: 7460 | 11 如果说往前学，也得学了概念后做点题吧？不做题不理解啊。。
好比不做难点的算数题，不理解方程的优越性啊。事实上代数的发明就是为解决鸡兔同
笼的？
所以这个“一定题量”怎么掌握呢？国内太多，米国也太少了吧？
要是有什么顺藤缕下来水到渠成的教材加习题就好了。大家什么经验啊？ |
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w********9
发帖数: 8613 | 12
别客气.
印象里你是学过数学专业的,因此不能随便说.
这里面有一些是经典的数学娱乐题或者变型.比如,本质上是(表面上不是)鸡兔同笼的一
个题型.还有两人比谁能拿到一堆石子的最后一个.还有一些人站一个竖排猜帽子颜色的
一个变型.还有两种药品混在一起如何能正确服药.还有更复杂的握手问题.竞赛中出现
的有多重"钥匙"的问题.还有找灯泡开关的一个开放性问题...
有些是我完全没有见过,尽管是比较纯但非高深的数学题.有些是网格上的问题.第6页有
个女的有两个男朋友.这个我没见过.写了art of computer programming的Donald
Knuth也做过这种政治不正确的题目,讨论一帮人的婚姻,看起来是挺复杂的一个数学大
题,发表在某类数学的刊物里.
还在慢慢看.必须有DVD,否则有时情况不明. |
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a*****g
发帖数: 19398 | 13 对简单的题是没什么的，
但是对于复杂的问题，就要有更好的更有效的更系统一点的方法。
得给小朋友出些需要多个步骤的、数字多的题目，帮小朋友走上正道。
我曾经有8年级的学生，解决“鸡兔同笼”类的问题，就用凑数的方式
这种基本上就是只管结果不管过程不管效率养出来的。
好好的数学给学成这样累，能喜欢数学才怪呢。 |
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d*g
发帖数: 16592 | 14 我觉得小学鸡兔同笼都是这么算，关键是土豪想象力丰富，语言风趣，小孩子会更加喜
闻乐见。
“鸡都一屁股坐地上了” |
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w******7
发帖数: 333 | 15 你可以让娃考天才班 ，他们是因材施教。数学学的很深啊。我们娃四年级，我看作业
发的是国内小学五年级学的课程。当年二年级的时候，都在做鸡兔同笼的题了。 娃说
每个孩子学的不一样， 学期初有考试评定你是哪个年级的水平，老师就给你哪个年级
的题做， 而且作业量大，难度高。还老考试。同时还要做普通班的数学作业。娃压力
立马上来了。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 16 我没说 assume commutative 不存在。我是说如果代数里的分配律的定义如果是
写成 a*(b+c) = a*b + a*c 。那就不能 assume 另一边的式子自然就存在。
换言之，逻辑上而言，无法从 a*(b+c) = a*b + a*c ， 而 induce 出
(b+c)*a = b*a + c*a 。这个要么你显式定义之，要么你从 commutative
导出之。
不要小看这个逻辑上的漏洞。这个漏洞可能就是将来的绊脚石。举个最简单的
逻辑不严格的错误，decision tree 节点分叉的时候，左腿和右腿之间存在
intersection 还没意识上，导致重复 count 而出错。
而更深层的说，formal system 的意思，就是我不管你这 formal system
指代的是啥，只要我按照你这个 formal system 规定的 formal operation
进行运算，其结果一定是正确的。如果发生错误，那就是 formal system 建模
有错或者超越其适用范围。
如果在建模完毕后使用 formal system 的时候，还需要想着 forma... 阅读全帖 |
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t******l
发帖数: 10908 | 17 如果撇开不谈 business 上的问题（business 首先是混，很多东西不一定做得出来），
谈下一代的教育的问题。从这个角度，比如就说这个 Conjugated Gradient 解方程：
马工要解决的是现实世界的问题，这些问题没有证明素数定理那么单纯。我们就先
退一万步，就算 CG solver 能够解出线性方程的理论解，你说现实世界有多少实际
能出货的问题，可以直接建模成无约束条件的线性方程组（鸡兔同笼、小明小芳除外）？
所以通常遇到问题客户大怒的时候，一般都不是 CG 的解的精确度差个多少个百分点。
常常遇到的情况，是客户要把菜放在锅里，而 CG 把结果解在马桶里（很多模型对
实际 constraint 的 handling 就是不对的，没办法，practically computable
/ implementable 的问题，常常也就是赌中率高点低点的差别）。
很多时候目前的 technology 还不一定有啥必杀的好办法。实在不行就只能跟客户说，
你就自己动手把菜从马桶里捞出来，随便洗洗再扔回锅里，烧成一碟回锅肉其实也能
出货卖。然后赌竞争对手的解也在马桶里，或者好点... 阅读全帖 |
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a*****g
发帖数: 19398 | 18 做对结果，还要有效率，才能应对将来的更复杂的情况
我的中学生，8年级还在拿凑数的办法解决鸡兔同笼问题……
慰。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 19 美帝的 National / State 的 Average Math 的定义不同。照围棋哥的说法，
就是高中毕业不会用一元二次方程解鸡兔同笼的那种。搞不好真的没夸大。
所以只要 7 分以上学校就不可能着重在送分题上。 |
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S****p
发帖数: 3928 | 20 再说说推娃。是做父母都看自己娃是天才呢，或者可以推成天才。还是有父母觉得娃达
不到自己的预期的呢？
我家的，因为在乡下小地方（白人区），在学校各方面都算突出（当然也因为我和其他
家长比起来可能算推的。）我说不清娃算不算聪明，教东西基本教一遍就会。但是没教
过的东西，让她自己去想办法解决，却经常低于我的预期（不知道是不是我期望值过高
，用大人的标准来衡量小朋友）。
结果就是我现在不想去过早的推，觉得是拔苗助长。
例如鸡兔同笼，看娃在一个个凑的时候，经常有教娃一点点代数的冲动。觉得娃为啥想
不到呢，代数用起来很简单啊。呵呵。我现在每天都在压制自己的这样教她的冲动。
推还是不推，什么该推，怎么推，很纠结啊。 |
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S****p
发帖数: 3928 | 21 再说说推娃。是做父母都看自己娃是天才呢，或者可以推成天才。还是有父母觉得娃达
不到自己的预期的呢？
我家的，因为在乡下小地方（白人区），在学校各方面都算突出（当然也因为我和其他
家长比起来可能算推的。）我说不清娃算不算聪明，教东西基本教一遍就会。但是没教
过的东西，让她自己去想办法解决，却经常低于我的预期（不知道是不是我期望值过高
，用大人的标准来衡量小朋友）。
结果就是我现在不想去过早的推，觉得是拔苗助长。
例如鸡兔同笼，看娃在一个个凑的时候，经常有教娃一点点代数的冲动。觉得娃为啥想
不到呢，代数用起来很简单啊。呵呵。我现在每天都在压制自己的这样教她的冲动。
推还是不推，什么该推，怎么推，很纠结啊。 |
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d****g
发帖数: 7460 | 22 像国内那种。。按题型或者概念分类，有讲解，有例题，还有几道测试题。。
好比讲讲鸡兔同笼。。好比讲讲通分，约分。。
我可以自己教。。但觉得不锻炼娃自己看书学习的本事。
而且我教的话，常常庞证博引，娃觉得我满嘴跑火车。习惯性的左耳进，右耳出。
咋办？考虑过围基百科，但比我还庞证博引跑火车。。ＫＡＨＮ的话，录像和读书又是
两码事儿。
就看着国内课外书好了。娃还看不懂中文，咋办？ |
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d****g
发帖数: 7460 | 23 我觉得吧，好比体育好的人，看我们家娃扔棒球，肯定就乐了。说你老还是歇歇吧。不
要做无用功了。没有就是没有。。俺们呢，不光扔，还扔的挺认真，没事儿就练练。这
里面的滑稽就不提了。
数学呢？这要是会加减乘除，但是不会鸡兔同笼，这在我个人的眼里，这就是没学到深
度。当然了，到初中可能列方程也就会了，但列了方程你要是不会因式分解，那我也觉
得你代数没学到深度。当然了，陶天才可能说，你那深度也根本不算深度。呵呵。。
对我来说，这数学学到我习惯的这个深度是个素质问题。达不到我要求的这个深度，那
就是文科生。那是比五音不全，五体不勤，身高不够要严重很多的。这基本是我对美国
教育最担心的地方。人文，艺术，体育，那美国肯定是大大的好的。（按我的标准）
为什么呢？我的标准到底有道理没有呢？哈哈。。。
会不会是我井底之蛙，故步自封了。。? |
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s*****o
发帖数: 22187 | 24 从另一个角度讲，鸡兔同笼算不算祖国数学教育的糟粕呢？ |
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t******l
发帖数: 10908 | 25 言归正传，就好比 place value 是海空伞降敌后游击队，其核心是 positional
notation system 及其背后的基本概念。。。过多纠结于十进制还是二进制还是三点八
进制的搞法，基本就是把游击队扔水塘里了。。。
而海空直降 algebra 1，其核心是 algebraic notation system, with its spatial
form of analytic geometric 及其背后的基本概念。。。而过多纠结 simultaneous (
linear) equation 这种特例问题，特别是鸡兔同笼这种特例里的特例问题。这种纯属
把 101 空中突击师一万多号人马，用直升机给统统机降在一个美帝小学的操场上。。
。对了，101 师长刚才发电报来问是不是要叠罗汉？。。。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 26 或者这么形象的说。。。要验证哥们着重长远的想法是不是靠谱，那至少也得等到 AMC
10 的时候，看蝗虫一样的 UH-60 黑鹰直升机，海空直降下来口径 105mm 的 M119 榴
弹炮，是不是把对手轰成稀巴烂的时候，才能见分晓。。。
但哥们我大胆预言，在此之前，很大可能哥们已经被烤肉拉天窗里飞出的，推妈之《攻
克鸡兔同笼之三十六计招招制敌》的短平快型水果刀们，给扎的体无完肤啦啦啦。。。
哥们多保重啊，我先溜号了。。。 |
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c***x
发帖数: 1826 | 27
），
一直很赞你对"数学抽象" 的理解，是 space-time-pattern。
窃以为鸡兔同笼问题是space-time-pattern在小学低年级数学的极佳体现。 |
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d**********h
发帖数: 2795 | 28 袋鼠，还以为是鸡兔同笼的澳大利亚版本呢，现在明白了 :) |
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d****g
发帖数: 7460 | 29 话说我娃是这么做鸡兔同笼的：
鸡兔 20只， 脚 64。 应该用假设法，假设什么呢？假设---------- 所有的脚都是鸡
，应有32个头。..... |
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h*****m
发帖数: 1034 | 30 你们知识都忒丰富，理论都忒高深。我还是聊聊题目本身吧。
话说，某人去见大师说：“我教我孩子鸡兔同笼问题，他总是喜欢猜出来答案，我想教
他先假设都是鸡，然后替换一只成兔子增加两支脚的办法来算，他总是不听，怎么办？“
大师从身旁拿起一串念珠，说：“老衲这串珠子，是两位施主所赠的168颗珠子串成，第
一位施主所赠珠子每颗重10克，第二位施主所赠珠子每颗重14克，整串珠子一共2000克
重。你且猜猜看每种珠子多少个？“。某人呆立半晌，说：“我知道了，这岂不就是潮
水智人所言，用具体的题目来penalize某种解法，和鼓励另一种解法吗？“。大师笑曰
：“数目太大，他猜不出来，自然就要按你的办法来算了。再不行，你给他整几万的数
字来出题“
某人大喜，回家依计而行。唤儿过来，出一巨大数目问题，料儿难以猜出。儿呆立半晌
，怒曰：“你莫不是在消遣洒家？“。一把把题目扔在地上，跑走玩儿去了。某人吐血
，倒地之前喃喃道：“你不按常理出牌！” |
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i**e
发帖数: 19242 | 31 实在是受不了了:)
孩子第一次接触鸡兔同笼的时候
猜之，然后修正，最后因为计算不过关，等于我帮着算出来的
第二次再见 //第一次的基本忘光了
又猜之，运气太好，直接猜准
我只好腹议之后，把一肚子的算术之话全部憋回去了:)
第三次再见
依旧猜之，修正之，终于算正确了
看她算得那么辛苦，我就说了一句
你猜几只，换来换去还要加加减减，如果直接猜全部/零只
换过去几只就是几只，还不容易出错，是不是？
现在娃会咋做，我也吃不准，呵呵
别人兜售过吹哨法
我没用，万一不是鸡兔，来三头六臂的妖魔鬼怪，吹哨人家不听呢？呵呵
潮大师讲的东西，对我来说基本上是天书
我的rule of thumb
是观察自己的孩子是如何解决问题的
跟着孩子的思维走，guide，不要硬性灌输
top down的东西不牢靠
自己想出来走出来的才牢固
有的时候，老师父母指点一下，总结一下规律优化一下算法就可以了
这些是算术
我个人觉着是beauty of problem solving， 当然是初级的
所以我个人不主张过早让孩子接触代数
多玩玩这种problem solving多好
？“
，第 |
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f******e
发帖数: 423 | 32 鸡兔同笼问题。 鸡兔共20只， 脚65只， 鸡若干／兔若干？
are you kidding me?
odd number of feet? |
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t******l
发帖数: 10908 | 33 我觉得跟推爸推妈数学水准关系不大。。。主要原因我猜要么是爱幻想，所以视自己的
过去而不见；要么是干脆也没记住自己的过去。。。否则如果真的小学四年级就能用代
数方法解鸡兔同笼不在话下的话，那高一至少给进个冬令营吧，如果不是集训队的话。
。。否则的话，这把学校数学教研组的脸都给丢尽了。。。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 34 再不信的话，看个统计数据好了：
今年 AMC 10A，全美 6 年级及以下统计：
>= 60.0 ：总共 626 个人头（6 年级及以下）
>= 90.0 ：总共 180 个人头（6 年级及以下）
AMC 10 拿个 60 分根本不需要会代数法解鸡兔同笼（simultaneous equation），
拿 90 分可能需要会。。。这还是 6 年级及以下，而不是 4 年级及以下。。。
（人 AoPS 都不单独统计 4 年级及以下的人头数）。。。再不信的话，counting
towards 500 总不可能不会吧。。。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 35 对数学竞赛不感兴趣很好理解，毕竟人各有所好，不必强求一致。。。
我只是看不懂那些纠结三年级会不会鸡兔同笼代数解法，但目标却不是 USAMO
qualifiers 那种，也不知道这么急吼吼是图个啥。。。真要目标是 USAMO qualifiers
or above，那倒是容易理解。。。当然话说回来，比起那种跳级但不参加任何竞赛，
纯属为纳税人省钱的假私济公的雷锋精神，还是要好理解多了。。。
：没啥不信的
：我对奥竞不感兴趣，can't afford it，出门吃豆腐脑 |
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l****i
发帖数: 406 | 36 昨天看了这个贴，晚上就和preK的娃有了第一次关于鸡兔同笼的对话：
我： 如果你去动物园，发现一个笼子里又有兔子又有鸡。。。
娃哈哈大笑： 这动物园太搞笑了，怎么把鸡和兔子关在一个笼子里？
我： 嗯，好玩吧？现在告诉你笼子里一共有两个头，6只脚，笼子里有几只兔子几只鸡。
娃不假思索立刻说：一只兔子一只鸡，一共就两只，又有兔子又有鸡，还管脚干嘛？
我：哦，这道题出失败了。那么要是有三个头，8只脚呢？
娃开始看着我的表情猜：一只兔子两只鸡？还是两只兔子一只鸡？
然后又扳着手指头算了半天，也没算清楚，扔下我跑去玩了。 |
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i**e
发帖数: 19242 | 37 你是认真的吗？
我在现实生活在网上，都没有遇见过你说的这种人
“纠结三年级会不会鸡兔同笼代数解法，但目标却不是 USAMO qualifiers”
不管孩子刚生下来的时候有多少期望幻想理想
磨过几年就会越来越现实了
所以呢，人在网上，往往是跟自己的假想敌在较劲
qualifiers |
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t******l
发帖数: 10908 | 38 我的办法是把 pre-algebra （包括鸡兔同笼、追击问题等等的 pre-algebra 解法）统
统扔给学校，我自己要么教 arithmetic（包括 arithmetic properties），要么直接
教 algebra 1。
原因很简单，因为 pre-algebra 这玩意儿我自己好像从来就不会，也不曾会过。。。
自己平时动扳手、开焊枪、大卸汽车点火系统的后院 handyman 都知道修玩意儿最基本
原则就是：自己不懂的玩意儿就根本不要去碰，否则一定漫天都是谁的幺蛾子在飞。。。 |
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d****g
发帖数: 7460 | 39 的确，就是些雕虫小技。练练脑子。就当是另版智力题。的确不宜多做。也不宜认为是
多高的境界。
高境界的还真是美国这种教法。可以不会鸡兔同笼算数解，不耽误高中就学微积分。
对大概念的掌握的确是高考教育的一个弊端。 |
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h*****m
发帖数: 1034 | 40 我也不知道这道题的要求是什么。或许很多孩子能猜出答案来，可是如果要求说出来个
道理，有点太弯弯绕了吧，才是一年级的孩子啊。估计没几个能像二位这样简单扼要地
解释清楚。
也许中国的孩子从小就经受这样的训练，稍大点解个鸡兔同笼就不当回事儿了。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 41 另外看过 AMC 10 statistics 以后，也就能切身体会到网上讨论的那些比如：
“鸡兔同笼/追击问题/欧拉定理/黎曼猜想” 之类的 “拉风题”，其实也没多少
普通娃能做对。。。所以自家普通娃做不出来，也不影响俺们自家普通娃吃晚饭、
上州立不是？。。。这不用鸡汤都有实打实的自信，岂不甚佳？。。。
12
受到 |
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l***y
发帖数: 1166 | 42 鸡兔共20， 腿64.
1.鸡2腿，兔4腿，兔比鸡多2腿，
2.假如20只全部是鸡，共40腿，多出来的64-40=24腿必然是兔子的。24/2=12只兔子。
3.20-12=8 只鸡。
列方程解也是一样，只不过一般没有人去想解方程过程的含义而已，仔细想想和前面推
理是一致的：
x+y=20
2x+4y=64
2x+2y=40(相当于假设全部是鸡)
2x+4y=64
2y=64-40 (多出来的腿必然是兔子的) |
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l***y
发帖数: 1166 | 43 这个问题等价于把64 个球放入20个箱子，每个箱子只能放2个或者4个球。
当然先把20个箱子每个放2个球，共放了40个球，然后剩下的24个球每2个一组12份随机
放入12个箱子。 |
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B********e
发帖数: 10014 | 44 i believe rgg knows that.
he/she was talking about 'sense the solution by gut'
before 'get the solution by logic/algebra' |
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c**c
发帖数: 386 | 45 记得很久以前看到过一个很容易让孩子想明白的解法：
吹一次哨所有的鸡兔都抬起一条腿，再吹一次哨再都抬起一条腿，于是鸡全趴下了，剩
下站着的就都是兔子了 |
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B********e
发帖数: 10014 | 47 故事要讲好，关键字不能少
google 鸡一屁股坐地上 |
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s**s
发帖数: 3374 | 48 鸡兔都砍掉两条腿，20*2=40
于是还剩下64-40=24条腿
鸡砍了两条腿就没有腿了
兔子还有两条腿
那剩下这24条腿就是兔子的
24/2=12只兔子
20-12=8只鸡 |
|
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d****g
发帖数: 7460 | 50 化学专业的应该这么做:
2 0.8 2
\ /
3.2
/ \
4 1.2 3 |
|
