T******e
发帖数: 18290 | 1 我已经跟你说了，用纯几何学定义pi是行不通的，因为你没办法定义长度，也无法定义
比例。要用比例就必须用到“数”，而一切数的基础都是自然数。没有自然数就没有加
减乘除、有理数、实数、虚数、矩阵等等等等。
没有自然数就没有数学，这不仅是数学的历史，也是数学的本质。
比如不经过自然数而凭空定义实数，就像没有一楼就开始修二楼，是做不到的，不信你
试试。 |
|
j******l
发帖数: 2790 | 2 菌版有人贴答案了啊，就是鸽笼原理的一个应用，知道套路就简单，否则就难，典型的
竞赛题。
分两步，第一步是证明对于任意的整数n，必然存在俩自然数k1, k2使得 10^k1=10^k2
mod n。反证法：如若不然，则对于任意俩自然数k1, k2，10^k1=10^k2 mod n不能成立
，所以可以找到n+1个自然数k1, k2, k3,... 使得10^k1, 10^k2, 10^k3,... 除以n的
余数各不相同，根据鸽笼原理这是不可能的。
第二步：对于不能被2或5整除的n, 存在自然数k<l使得10^k=10^l mod n， 所以10
^k [10^(l-k)-1]=0 mod n。因为n不能被2, 5整除，所以10^(l-k)-1=0 mod n。证毕
[在 zillionaire (Becoming ruler of the universe) 的大作中提到：]
:没人接？ |
|
r*****e
发帖数: 7853 | 3 高！
[在 jonahill (像疯一样自由) 的大作中提到：]
:菌版有人贴答案了啊，就是鸽笼原理的一个应用，知道套路就简单，否则就难，典型
的竞赛题。
:分两步，第一步是证明对于任意的整数n，必然存在俩自然数k1, k2使得 10^k1=10^k2
mod n。反证法：如若不然，则对于任意俩自然数k1, k2，10^k1=10^k2 mod n不能成
立，所以可以找到n+1个自然数k1, k2, k3,... 使得10^k1, 10^k2, 10^k3,... 除以n的
:余数各不相同，根据鸽笼原理这是不可能的。
:第二步：对于不能被2或5整除的n, 存在自然数k<l使得10^k=10^l mod n， 所以
10^k [10^(l-k)-1]=0 mod n。因为n不能被2, 5整除，所以10^(l-k)-1=0 mod n。证毕 |
|
G*M
发帖数: 6042 | 4 也可以证明 1 不是最小的自然数：
比1 小的自然数“不存在”
“不存在自然数” < 1
所以1 不是最小的自然数 |
|
m*****a
发帖数: 629 | 5 ☆─────────────────────────────────────☆
yaz2006 (柏林低温武警) 于 (Fri Sep 5 23:21:45 2008) 提到:
发信人: hero080 (APM=080), 信区: BrainTeaser
标 题: 出个题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Jul 25 14:09:37 2008), 转信
转载的
A(n)表示：一个自然数各位数字是1或者3或者4，数字和是n，这样的自然数的个数。
B(n)表示：一个自然数各位数字是1或者2，数字和是n，这样的自然数的个数。
求证：
A(2n) = B(n)^2
☆─────────────────────────────────────☆
yaz2006 (柏林低温武警) 于 (Fri Sep 5 23:34:29 2008) 提到:
大家议一议
☆─────────────────────────────────────☆
kx (民选科学家) 于 (Sat Sep 6 00:41:45 2008) 提到:
这么简单的算术题，小狼都做的 |
|
m********r
发帖数: 23 | 6 下面的内容是我前面问题的背景. 请大家姑妄读之. 有什么问题, 请
回贴或回信到 m*******[email protected]
对每一个自然数, 我们可以定义一种特殊的自然生成图, 把所有由该自然数生成的
不同的图作为一个集合, 该集合与该自然数之间是否有尚属未知的关系, 是我所研
究的目的.
自然生成图具有以下特征:
1. 该图是无向连通图;
2. 将图置于坐标之上, 任何一个顶点的坐标x和y均为整数;
3. 顶点A和顶点B由边直接相连当且仅当A和B之间的距离为1;
4. 根据规则3, 所有边的长度均为1.
根据以上规则, 由自然数4 可生成以下图:
*-*-*-* *-*-* *-*-* *-* *-*
| | | | |
* * *-* *-*
(1) (2) (3) (4) (5)
在定义了以上规则之后, 我们仍需进一步定义如何区分不同的图. 在此我们引入距
离矩阵.
距离矩阵: 对有n 个顶点组成的连通图, 从每 |
|
k*******n
发帖数: 116 | 7 我看了一下，你的主要观点是自然数集N={1,2,3,4,5,...}和奇数集{1,3,5,7,...}无法
建立一一对应，那我就建立给你看：
1<->1
2<->3
3<->5
4<->7
5<->9
6<->11
7<->13
...
k<->2k-1
...
给定左边的元素自然数k，右边对应的奇数可以唯一确定：n=2k-1
给定右边的元素奇数n,左边对应的自然数可以唯一确定：k=(n+1)/2
这个对应给每个自然数都找到了一个对应的奇数，
而且没有遗漏，没有重复。
同样的，每个奇数都找到了对应的自然数，
没有遗漏，没有重复。
所以我们建立了自然数集和奇数集的一一对应关系。
这样数学上就把它定义为这两个无穷集的“势”相等。
我们用势，而不是元素数目，这是因为无穷集的元素数目都是无穷大。
而无穷多并不是一个数，只能用上面定义的“势”来区别不同类型的无穷集。
现在你明白了吧？ |
|
l*3
发帖数: 2279 | 8 水版那边我就不回复你了, 因为你虽然水平不高, 不过比水版的无脑还是强一些的.
(1).你根本没仔细看13楼, 你用的合数的定义也不是朴素定义, 朴素定义是: a是合数<
=>a是大于一的自然数, 且存在非1和a本身的自然数b, 使得b整除a.
请你先把你合数的定义 "合数是指可以表示成若干个 (大于1个) 质数的乘积" 证明了,
而不要随随便便说trivial (尤其是在你用此来对比说明别人的是nontrivial的时候)
(2). 我也可以学你的逻辑辩论方式: "在我眼中, 我那个素数的定义非常trivial, 如
果你不认为他trivial, 我只能说你笨."
实际上, 你的合数定义, 我的素数定义, 是配对的, 是朴素定义在 "任何大于1的自然
数都有素因子" 的推论. 这句话能懂否? 这个是需要证明的. 当然, 你也可以觉得太显
然, 如果你觉得这个显然, 那我素数定义的合理性也是显然的, 你不能说你合数的定义
显然, 我素数的定义就不显然.
再者, 我素数的定义, 基本就是你合数定义写成了逆否命题的样子, 你居然说你的定义
显然, 我的定义不显然, 这是不是双重标准?
(3... 阅读全帖 |
|
|
a**********y
发帖数: 2367 | 9 所有的自然数集合也是无限的
但可以证明自然数的个数小于实数集，简要的说，你没有办法在自然数和实数间建立一一对应的关系。
所以无限和无限之间可以有很大的差别 |
|
g***t
发帖数: 7544 | 10 你的逻辑是错的。比如，正偶数都是自然数，但是自然数中的奇数不是偶数，你是不是
认为自然数比正偶数多？
使用穷举法，平面上画一条直线，再做一条直线与第一条直线垂直。第二条直线包含的
无穷个点只对应第一条直线上的一个点。第一条直线的无穷条垂线构成了这个平面，所
以平面上的点的总数大于直线中点的总数。 |
|
j*********g
发帖数: 3179 | 11 哥德尔不完备定理只针对包含自然数定理的公理体系。说现有数学体系不自恰，不完备
就太离谱了。
实际上完备的公理体系很多，大家熟悉的欧式几何就是完备的。
哥德尔不完备定律之所以强大就在于自然数定理体系是很多实用公理体系的基础，比如
现有的计算机理论体系必然需要定义自然数。另外还有集合论等等。所以这个不完备定
律已经够人类吃一壶了。
）。 |
|
N*******d
发帖数: 5641 | 12 你这个表包含了所有的自然数么？你这样构建出来的x是自然数，但是不在你这张表里
，有什么矛盾？
成43210000000。。。（后面加无穷多个零）。那么所有自然数，可以做成一个表 |
|
a****o
发帖数: 6612 | 13 字面上不对，表达的内容也南辕北辙。
好比小学老师拿苹果来较学生数数。换成你的解释，就成了
一个苹果是自然数1，两个苹果是自然数2, 苹果不随时间空间变化...
问题是自然数固然不随时间空间变化，苹果时间长了会被吃掉或者烂掉。 |
|
发帖数: 1 | 14 传统的自然数或者有理数的1，是一个实在的量
而“实数”的1，是一个无限集
神特码实在的量
你真是自然数，整数，有理数，实数构造一个都不知道啊
你知不知道这里面每个1都是集合？
: 所谓第三次数学危机
: 就是冲着极限是否最后达到了来的
: 康托和戴德金用尽浑身解数
: 最后用玩赖的办法把极限不可达论给镇压了下去
: 玩赖的精髓就在“实数”的定义
: 传统的自然数或者有理数的1，是一个实在的量
: 而“实数”的1，是一个无限集
: 就像哲学笑话一样
: 父亲问儿子
: 你从大学学哲学回来，学到什么啦？
|
|
m*****n
发帖数: 3575 | 15 1/9是有理数
0.111......不是有理数
这么简单的道理被你耍赖忽略了
古希腊人能被你气的从棺材里跳起来
0.111...的概念必须用无穷级数定义
否则，即使你感官上可以验证，即使你用数学归纳法可以验证
1/9一直余1，再加位还是余1
没有办法把1/9等同于一个没有除完的算式
你说的那个什么11对应，依然是康托那帮赖皮的屁话
什么自然数和奇数的个数相等，因为一一对应
什么自然数和偶数的个数相等，因为一一对应
靠玩赖搞出来的结论上来就是悖论
那你说自然数的个数除了0和无穷多还有什么？ |
|
m*****n
发帖数: 3575 | 16 我继续驳你们的谬论
下面证明无穷多、无穷小不存在，不可能
另一种常见的理解是
0.9+0.09+0.009+...
这个加和可以有无穷多项，在加有限个项内它总是与1差一点，但是如果可以有无数个
，就不差了
这是所谓的“通俗”解释，但是依然藏有漏洞
因为你们看到的，只不过是有穷个的展示，没有去追查无穷个
好，既然你说这个加和有无数个，这无数的概念是大于任何可名之自然数个，例如1亿
，1亿零1，那么你这个加和必然有【第】无数个，它的大小小于任何自然数分之1且不
小于0，你可以把它说成是零，或者说成是正无穷小.
那么第无数个之前，是第无数减一个，它的大小也是正无穷小，第无数减二个，也是正
无穷小...
甚至你可以把第无数个折半，第无数/2个，它的大小也是正无穷小，第无数/4个，也是
正无穷小（芝诺悖论的花式运用）
为什么是正无穷小，用反证法和“它的大小小于任何自然数分之1且不小于0”的定义可
证。
因为你非要主张“无数”的存在，我们现在就在和式内分出了两类数，一类是左边的自
然数，一类在右边是绝对比它大的无数族，且无数族断然不可以和自然数接上，那么显
然，你把那个和式从左端找到的自然数再怎么... 阅读全帖 |
|
发帖数: 1 | 17 我说你本末倒置就是，你用了ordinal number下游的东西去说明这个问题（需要）无穷
、极限。但这个问题根本不需要知道无穷和极限，只需要ordinal number（整数集）和
伴生的数学归纳法就行了。连无穷公理都不需要。
-----------------------------------------------------------------
再来补几刀
1.ordinal number 是自然数的推广（不是整数）
2.自然数集的存在由无穷公理保证（所以想舒服的使用自然数，最好有无穷公理）
3.第一个非自然数的ordinal number由无穷公理给出
然后你现在告诉我你想用ordinal number不想用无穷公理，然后还指责我本末倒置，哈哈
: 在集合论里，在你定义ordinal number之前，如何定义无穷？
: 你可以有无穷公理。公理当然不用证明。但没有ordinal number，如何知道0.
999...有
: 无穷多个9。
: 我说你本末倒置就是，你用了ordinal number下游的东西去说明这个问题（需要
）无穷
... 阅读全帖 |
|
m*****n
发帖数: 3575 | 18 117楼已经证过了，睁眼瞎同学
=============================
下面证明无穷多、无穷小不存在，不可能
另一种常见的理解是
0.9+0.09+0.009+...
这个加和可以有无穷多项，在加有限个项内它总是与1差一点，但是如果可以有无数个
，就不差了
这是所谓的“通俗”解释，但是依然藏有漏洞
因为你们看到的，只不过是有穷个的展示，没有去追查无穷个
好，既然你说这个加和有无数个，这无数的概念是大于任何可名之自然数个，例如1亿
，1亿零1，那么你这个加和必然有【第】无数个，它的大小小于任何自然数分之1且不
小于0，你可以把它说成是零，或者说成是正无穷小.
那么第无数个之前，是第无数减一个，它的大小也是正无穷小，第无数减二个，也是正
无穷小...
甚至你可以把第无数个折半，第无数/2个，它的大小也是正无穷小，第无数/4个，也是
正无穷小（芝诺悖论的花式运用）
为什么是正无穷小，用反证法和“它的大小小于任何自然数分之1且不小于0”的定义可
证。
因为你非要主张“无数”的存在，我们现在就在和式内分出了两类数，一类是左边的自
然数，一类在右边是绝对比它大的无数族，且无数族... 阅读全帖 |
|
a********u
发帖数: 16 | 19 奥运和谐定律:
奥委会现有成员国205个,北京奥运会参赛国204个.其中,78%的奥运会金牌和奖牌被22%
的国家包揽和分配,即至少45个国家将夺得78%的奥运金牌和奖牌,至少15个国家将包揽
60%的奥运金牌和奖牌.
附:浑沌经济学之和谐密码(和谐与和谐定律)
管理论坛
当今社会是一个合作的社会，和谐的社会。和谐是一种美，美是和谐的比例。社会的资
本，人力资源的分配，流向究竟该保持怎样的比例，将最终决定这个社会和谐的程度，
这个比例是否有它自身的规律呢？
在看似无序的经济现象中，存在着一种出乎意料的有序，即无序中的有序，这就是浑沌
经济学研究的范畴。
作者无心发现，社会的财富分配，人才需求的比例，与数论中素数的分布规律有着惊人
的相似性。
先看一下数论中一个有趣的现象，素数分布问题。
从1—100的自然数中素数的个数问题，共有24个。推广到一般，用n表示自然数的个数
，1—n之间素数的个数约为n/log n，log n为n的自然对数，这就是素数定理。
素数的本质上是变异。合数都能分解为素数的乘积，因此合数携带有素数的全部信息,
合数是遗传。素数的个数即是变异的个数，这就是自然数的全息 |
|
m*****t
发帖数: 239 | 20
说实话，我对自然数本身的foundations不是很熟...这个可以说是自然数乘法的定义（
或者说整数乘法，因为可以从此直接推导出负数的乘法），但是它需要两点：1.每个自
然数都可以由1+1+...1而形成; 2. 1+1+...+1 =0的情况永不发生。换句话说，从加减
法角度来说，整数是由一个generator所造成的free abelian group（自然数+0是一个
generator所造成的free abelian monoid）
如果是这样的话，我想了想，乘法的定义应该可以从generator自乘来产生，不过一旦
负数存在，那么整数就有两个generators，还有一个-1，如果定义
(-1)＊(-1) = -1，（或者1＊1=-1)
那么用这个方式也可以推导出另一种整数的乘法方式＊，这种乘法用通常乘法*的表达
方式是
a＊b=-(a*b)
这也是一个ring structure，其中的multiplicative identity是-1。（而如果定义1*1
=2或者其它整数，那么也可以得到一个乘法方式，但是没有multiplicative identity
。）
个人... 阅读全帖 |
|
L*****e
发帖数: 8347 | 21 发发龙，这句话其实就是“沟代尔（哥德尔）不完备性定理的饶舌表述。下面补充点背
景知识：
1931年，哥德尔还是一个20岁出头的名不见经传的博士生，但是他发表了一篇让数学界
地动山摇的论文。
那个年代，希尔伯特在数学天才比太阳更加光辉夺目，希尔波特成了数学形式主义派的
一杆大旗。希尔伯特认为：借助于形式化的手段，抽掉数学证明中的意义，把数学证明
抽象成一堆无意义的符号转换，就连我们人类赖以自豪的逻辑推导，也不过只是一堆堆
符号转换而已。这样一来，一个我们日常所谓的，带有直观意义和解释的数学系统就变
成了一个纯粹由无意义符号表达的、公理加上推导规则所构成的形式系统，而数学证明
呢，只不过是在这个系统内玩的一个文字游戏。
希尔伯特希望能够证明，在任一个无矛盾的形式系统中所能表达的所有陈述都要么能够
证明要么能够证伪。这看起来是个非常直观的结论，因为一个结论要么是真要么是假，
而它在它所处的领域/系统中当然应该能够证明或证伪了（只要我们能够揭示出该系统
中足够多的真理）。
然而，哥德尔的证明无情的击碎了这一企图，哥德尔的证明揭示出，任何足够强到蕴含
了皮亚诺算术系统（PA）的一致（即无矛盾）的... 阅读全帖 |
|
P*****r
发帖数: 252 | 22 point!
1命题对于小于10的偶数不成立
这里“可能大于10”是针对偶数集体而言的，
但作为数学命题则必须严格对于满足前提（偶数）的个体，结论（可能大于10）都成立
但如果取个体4， 则4 不可能大于10。命题错误。
只有如此的命题，数学意义上才是成立的：
”如果x是偶数，则x 可能是 自然数。“
其逆否：
如果x不可能是自然数，则x不是偶数。 成立
当然强命题
”如果x是偶数，则x 是 自然数。也成立。“ |
|
t**********k
发帖数: 511 | 23
读维特根斯坦（数学和逻辑）
这一篇会有一些难度，我认为自己的这一个系列是写给那些想了解语言哲学的人看的，
尽量浅出。已经知道的人用不着看，我以为自己缺乏深入的本钱。
西方哲学和神学从来都和数学有密切的联系，以后会进一步谈到，在这一点上和中国哲
学走的路似乎有所不同。这个里面有一个很重要的关联，数学是一个很严密的东西，结
论会有普遍性。比如说，芙蓉姐姐美不美，难得定论；而1+1=2，没有人去怀疑。所以
说，我们要想自己的语言严密而可靠，就得往数学那一边靠。
当人们认识到逻辑比数学是一个更根本的东西时，自然就想语言也得要用逻辑来彻底的
整一下，看看哪些东西是合乎逻辑的，我认为这是语言哲学的最重要的根源。所以说，
想理解语言哲学不懂一些逻辑就是笑话了。
其实撇开这一点，了解弗雷格是怎么样从逻辑构造出数还是很有些意思的，知道那些最
重要的思想是怎么一回事，考察人的智力活动能够到达一个什么样的高度，怎么都会是
很吸引人的。而且逻辑是不要什么预备知识的，很多中国人在美国迅速转行做了码工就
是证明，相对... 阅读全帖 |
|
b*******n
发帖数: 1267 | 24 关于连续统假设的评论
吕陈君
1. 连续统假设的来源及其历史演变
连续统假设（简称CH），是康托在创立集合论时提出的一个问题，要了解这个问题，就
必须了解康托是怎样建立集合论的。
康托采用了两种方法来构造越来越大的无穷集合。[1]第一种方法是利用幂集合，他证
明了一个集合总比其幂集合要小，而且自然数集N的幂集合P(N)与实数集R等势（即元素
个数相等）。这样，从自然数集N开始，利用幂集合方法，就可以形成一系列越来越大
的无穷幂集合
N, P(N), P(P(N)), ……
第二种方法是利用超穷数，康托提出了生成超穷序数的三条原则: 第一原则，从1开始
，任何序数α加1后仍是一个序数。这样，从1开始，就可以形成一个无穷序数序列
1, 2, 3, …, n, ……
在这个无穷序数序列中没有最大序数存在; 第二原则，如果一个无穷序数序列中没有最
大序数，那么必然存在一个极限序数ω，这是一个新的序数。这样，从ω开始反复加1
，又可以得到一系列无穷极限序数
ω, …, 2ω, …, ω2,…, ωn,…... 阅读全帖 |
|
K**********i
发帖数: 22099 | 25 我这看不懂啊，好像前几天有新闻说华人科学家证明素数无穷多。
我学文科的。不过也知道自然数不是无穷多的么？素数是自然数的一个子集，那肯定也
是无穷多的啊，用脚想想也是啊，还用证明？
组成无穷多的东西，如果分成两个子集（尤其是可以增长的、不是说1和非1这种），肯
定都是无穷多的，对吧？在这个例子里，是素数和非素数。如果素数是有限的，非素数
是无限的，自然数也是无限的，那不合理啊！
看得头疼，谁给咱学文科的科普一下？ |
|
w********n
发帖数: 715 | 26 还有，无穷集的子集合不一定是无穷的。比如只包含数字1的集合，是自然数的一个子
集合，可是他是有限的。
素数的无限性是用反证法证明的。
我这看不懂啊，好像前几天有新闻说华人科学家证明素数无穷多。我学文科的。不过也
知道自然数不是无穷多的么？素数是自然数的一个子集，那肯定也是无穷多的啊，用脚
想想也是啊，还用证明？组........ |
|
l*3
发帖数: 2279 | 27 这个推导不知道你能看懂不:
--------
若a不是自然数, 则a不是素数.
若a是自然数, 那么:
1. a≤1 <=> a不是素数
2. a>1,
那么:
a不是素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的素因子
即:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
综上:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
---------
对的还是错的? |
|
x*****p
发帖数: 1707 | 28 我强调多次，这个定义是循环定义。预先知道什么叫素数了，再找个推论。
(1) "a是大于1的奇自然数，而且不能被小于a的素数整除。", 这样的数，我们称为素
数。
(2) "a是大于1的自然数，而且不能被小于a的素数整除。", 这样的数，我们称为素数。
(1)和(2)都是递归定义. (1)不全，漏了2。(2)是全的。这说明递归在数学上不能当成
定义，只能当成数学归纳法用来证明一个命题。而且，递归的初始条件，是靠定义来完
成的。
比如说证明2是素数，是根据素数定义，说一个大于1的自然数只能被1和其本身整除。2
正好满足这一定义，这才是证明2是素数的根据。并由此展开数学归纳法，就可以证明
凡是大于1而不能被比自己小的素数整除的，必是素数。 |
|
d*****n
发帖数: 3033 | 29 民科就是民科，
素数定义不对，正确的是：
素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其他自然数整除的数
你不能认为N就是素数。
需要证明N不能被所有其他自然数整除 |
|
d*****u
发帖数: 17243 | 30 lz的错误在于认为 素数的定义等价于“该自然数不能被其本身以外的所有素数整除”
实际上应该是“该自然数不能1和它本身以外的自然数整除”
两者看似等价，但是在lz构造的反证法的时候不等价
所以最后就是乱七八糟 |
|
l*3
发帖数: 2279 | 31 转171楼如下:
这个推导不知道你能看懂不:
--------
若a不是自然数, 则a不是素数.
若a是自然数, 那么:
1. a≤1 <=> a不是素数
2. a>1,
那么:
a不是素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的素因子
即:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
综上:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
---------
对的还是错的?
哪一步用到了 "质数必须有无穷个"? |
|
l*3
发帖数: 2279 | 32 在不加任何说明的情况下, 自然数当然就是主流承认的自然数, 大于1的自然数, 其素
因子分解的存在性和唯一性, 当然是正确的
你们不考虑前提, 反而考虑什么 "非标准模型", 连整环理论都要扯出来, 有意思? 还
说我不同意你的观点.
下次我写个证明, 是不是每一步都要回溯到那几条公理上, 你们才能说 "正确"? |
|
n***j
发帖数: 5 | 33 楼主， 其实你不必回那几个神经病。你的证明没有问题。我看它们是有意捣蛋！
在不加任何说明的情况下, 自然数当然就是主流承认的自然数, 大于1的自然数, 其素
因子分解的存在性和唯一性, 当然是正确的你们不考虑前提, 反而考虑什么 "非标准模
型", 连整........ |
|
b*********z
发帖数: 26 | 34 好，不就是换个词嘛。另，不要老说人家脑子犯晕。。。
你的前提是，你只假设了“素数是哪些”，然后告诉我“素数是这些”，就***这些素
数***。然后你在第三步中说，
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
那是不是应该是：
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的***这些素数***整除
因为这是你的前提啊，素数就这些。
这个显然是不对的
2，3，5和49的例子。
另外，定义就一个！注意，是定义，你自己随便到哪里看看什么是素数的**定义**
”a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的***这些素数***整除“是无法推出”a除了
自己和1不能不其他整数整除“的。
然后你就没法归谬了，因为你没发证明a是素数。 |
|
b*********z
发帖数: 26 | 35 这是你171楼的证明，我帮你改了一改：
记住，前提是你说了只有**这些素数**。
你这个结论是不能带入反证法中再去归谬的。
不信你不要分开证，直接将171楼的逻辑代入反正法就知道错了。
-------------------------------------
若a不是自然数, 则a不是素数.
若a是自然数, 那么:
1. a≤1 <=> a不是素数
2. a>1,
那么:
a不是这些素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的****这些素因子****
！！！这句话在反证法的前提下是错的！！！
即:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
综上:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除 |
|
l*3
发帖数: 2279 | 36 命题 (即素数等价定义) 的证明在171楼, 现复制粘贴如下 (考虑对象a):
-----------
若a不是自然数, 则a不是素数.
若a是自然数, 那么:
1. a≤1 <=> a不是素数
2. a>1,
那么:
a不是素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的素因子
即:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
综上:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
---------
请问其中哪一处用到了和假设有关的性质? |
|
t*******r
发帖数: 22634 | 37 你这个证明写的不是太好。其实你要证明的是：
如果自然数a不能被任何小于a的素数整除，那么自然数a必然不能被任何小于a
的除了 1 以外的任何自然数整除。。。 |
|
l*3
发帖数: 2279 | 38 这个要求很合理, 但真的不是我没有这么做过. 我在171楼已经写了.
当然, 我不介意再复制粘贴过来:
--------
若a不是自然数, 则a不是素数.
若a是自然数, 那么:
1. a≤1 <=> a不是素数
2. a>1,
那么:
a不是素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的素因子
即:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
综上:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
---------
以上这个证明并没有步步都划归到公理的情形, 其中 "a是合数 <=> a有小于a的素因子
" 严格来说, 还得用数学归纳法证明, 而且证明本身写得也不太规范, 比如最开始我没
有写上一句 "对于任意一个对象a" 就开始说 "a如何如何", 我的目的, 是为了保证原
帖内容的完整性和继承性, 因为这种争议比较大的帖子, 我觉得还是不要随意改动以前
的说法的好. 不过我可以人格保证, 这个证明并不需要用到 "素数有无穷多个" 这一命
题.
如果你认为以上哪个地方有可能用了... 阅读全帖 |
|
l*3
发帖数: 2279 | 39 我举个例子吧, 如何根据
“a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何不等于a的素数整除”
来判定2是不是素数:
由于2肯定不被比2大的自然数整除, 故2也不被比2大的素数整除 (这里用到了定义中的
"素数是自然数")
所以只需考虑比2小的素数,
blablabla
后面我就不说了.
-------
现在你仍旧认为这个定义有问题吗? |
|
l*3
发帖数: 2279 | 40 这你就和我的基本观念有分歧了.
我这么说吧, 我有一个定义, 并且我现在根据这个定义 (以及其他主流的数学公理,定
义,逻辑体系) 可以清楚地对任意一个对象作出判断, 那这个定义能被称之为错的吗?
你说: "So the problem is any prime number bigger than current
prime number is "undefined" in current recursive context,
resulting a incorrect circular-definition."
这实际上是一种CS工作者的误导, 数学上从未有任何一条公理要求你定义一个东西, 一
定要按照 "从小到大" 的顺序来吧? (更一般的表述是: 数学上并不要求一个定义在考
察其可操作性时一定要满足某种序关系) 你这是一种计算机意义下的 "惯性思维", 在
数学上是不合理的.
简单来说, 我可以问你这么一个问题 (我想你回答了这个问题, 应该就能明白问题所在
了):
我在考察自然数a是否是素数的时候, 是否一定要知道自然数中大于a的素数是哪些?
注意, 我这里的 "一定" 有一... 阅读全帖 |
|
l*3
发帖数: 2279 | 41 请自行看本帖171楼.
我不介意复制粘贴如下:
--------
若a不是自然数, 则a不是素数.
若a是自然数, 那么:
1. a≤1 <=> a不是素数
2. a>1,
那么:
a不是素数 <=> a是合数 <=> a有小于a的素因子
即:
a是素数 <=> a没有小于a的素因子 <=> a不被任何小于a的素数整除
综上:
a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除
---------
请问, 该证明是否正确? 其正确性和前提假设有关系没? |
|
l*3
发帖数: 2279 | 42 如果按照同样的逻辑,
根据之前的定义, 对于素数2来说, 小于2的素数是集合吗?
如果不知道, 那似乎是不能直接和 {大于1的自然数} 取交集 (从而得到空集) 的.
所以这一切的一切都应该有一个前提: 就是说我们只讨论自然数.
自然数中满足命题函数P(x)的元素所构成的子集的存在性和唯一性, 应该是被直接认可
的.
这样我们才能说 "定义" 的良定义性.
-------
我以上的意思是, 两个定义, 旧的定义和新的定义, 其正确性似乎 (从逻辑上来看) 不
会有区别. |
|
k******a
发帖数: 2436 | 43 好吧，既然对反证法有这么多误解，我老给尔等解释一下。LOL
我也不是学数学的。但是学过逻辑
证明 "素数有无穷多个"
定义1：质数
n 是质数:= n是大于1的自然数，而且n不能被除了1和n之外的自然数整除
命题a: 素数有无穷多个
命题b: 素数有有限多个, 用p1, p2, p3, ... pk 表示 （其中k是大于等于1的自然数）
denote M = p1*p2*...*pk+1
显然命题b和命题a互为反命题
命题c: M是质数
命题d: b => M不是质数
命题e: M是质数 => b 不成立
命题d和命题e互为逆反命题
第一步，根据定义1证明命题c，细节略去
第二步，证明命题d，细节略去
第三步，证明命题e, 因为第二步已经证明了e的逆反命题，所以e是真命题
第四步，从第一步和第三步的结果（命题c和命题e都成立）得到最终结果：b 不成立
好像不对。让我再改改 |
|
l*3
发帖数: 2279 | 44 你不懂什么叫 "命题",
我在利用如下 "命题":
"a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除 => a 是素数"
我利用该 "命题" 判断 "在前提假设下, N是素数" 对不对时, 只需要验证: "在前提假
设下,N是大于1的自然数, 且N不被任何小于N的素数整除"
我的验证方法是:
在前提假设下,N是自然数, 显然, N大于1, 显然, "假设" 告诉我们素数只有p_1,...,p
_k这些, 故 "小于N的素数" 也至多是这些, 但每一个p_i都不能整除N
于是: "在前提假设下, N是素数"
这么说够清楚不?
你不懂如何利用一个正确的命题进行 "判断", 满脑子都是码工的想法, 什么 "质因数
最大只能检查到n" 这种说法, 只能暴露出你对 "命题" 这个词的认识还停留在计算机
智力的水平. |
|
l*3
发帖数: 2279 | 45 "定义" 在数学中, 就是 "命题" 的一种.
"定义" 本身是一个 "命题", 但是他比命题多了一些东西, 比如 "良定义性" (也就是
说你得能够根据定义判断出来你所处理的对象是不是具有某种属性).
并不是所有 "命题" 都具有良定义性, 比如:
"a是素数 <=> a是素数" ,这就是一个正确的 "命题", 但他不能作为素数的 "定义".
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何除1和它本身外的自然数整除", 这就可
以作为一个 "定义", 同时他也是 "命题", 在主流数学公里下, 这是素数的主流 "定义
", 也是 "真命题".
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被任何小于a的素数整除", 这也可以作为一个
"素数的定义", 同时也是 "命题", 在主流数学公理下, 我们知道, 这是个 "真命题",
可以用来 "证明" 其他 "命题", 其 "定义", 和 "主流定义" 是等价的.
但无论如何, "定义" 本身, 一定是 "命题".
这么说, 明白不?
不明白只能说你得去找本主流的逻辑书看看. |
|
l*3
发帖数: 2279 | 46 我觉得你那个 formal system 局限性太大了.
请问你那个 formal system 如何根据以下这个素数的主流定义来判断素数?
"a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且不被任何非1和非a的自然数整除"
请问, 你的 formal system 如何扔掉比a大的那一部分? (在主流数学逻辑中, 我们可
以根据 "比a大的自然数不会整除a" 来做这个 "筛选" )
这个定义本身, 在数学上来看应该是 "没有问题" 的, 用了几千年了.... |
|
l*3
发帖数: 2279 | 47 没懂...
所以其实你的意思是 "a是素数 <=> a是大于1的自然数, 且a不被其他非a的素数整除"
这个定义, 违背了你那个system?
我疑惑的就是, 如果上面的定义违背了你那个system, 那你是如何论证清楚 "a是素数
<=> a是大于1的自然数, 且a不被非1和a的任何自然数整除" 这个定义是不违背你那个
system的? |
|
t*******r
发帖数: 22634 | 48 （1）那是素数的递归定义，递归定义是自己定义自己，其边界是天然跨在被定义的和
用来
定义的当中。否则为啥正好左边的还没有被定义，右边的已经被定义了？
（2）自然数先于素数定义，所以在定义素数前，边界内的自然数已经都定义了。
（3）素数是自然数是定义，不需要证明。。。 |
|
l*3
发帖数: 2279 | 49 噢, 是这样, 我的问题就是, 你现在好像在说这么一件事情:
首先我们只考虑 "边界内的自然数", 然后由此我们可以根据朴素定义来判定 "边界内
的素数", 至于 "边界外的" 为什么不用考虑, system内给出的理由是 "有一个整除算
子可以排除边界外的情况".
那我的疑问就是: 既然整除算子能够 "排除边界外的自然数 (因为他们肯定大于a)",
那为什么不能排除 "边界外的素数"? 尤其是你已经默认system有能力知道 "素数都是
自然数" 这一回事. |
|
l*3
发帖数: 2279 | 50 你说我死脑筋, 你的逻辑是什么?
请问, 谁告诉你 "2是自然数" 是错误?
"2是自然数" 当然是正确的.
你要脑补我认为这句话是错的, 那是你的问题还是我的问题?
请问, 说一个证明 "不完全"/"不完整", 和说2除了是自然数, 也可以叫做一个整数,
实数, 复数的这种 "不完整" 是同一个 "不完整" 的意思不?
说一个证明 "不完整", 严格来说, 是不是就是说这证明是错的?
多， |
|
