c***z
发帖数: 6348 | 1 There is a worm on a cord of length 2. The worm climbs from one end to the
other at speed 1/min.
Each minute the length of the cord is stretched by 1.
Question: will the worm reach the other end? |
H********k
发帖数: 3950 | 2 assuming uniform stretching.
hehehe |
c***z
发帖数: 6348 | |
c***z
发帖数: 6348 | 4 A duck, pursued by a fox, escapes to the center of a perfectly circular pond
. The fox cannot swim, and the duck cannot take flight from the water (it’s
a deficient duck). The fox is four times faster than the duck.
Assuming the fox and duck pursue optimum strategies, is it possible for the
duck to reach the edge of the pond and fly away without being eaten? If so,
how? |
j*****4
发帖数: 292 | 5 yes.the stretch increases the speed of the worm.
【在 c***z 的大作中提到】
: Yeah, uniform stretch.
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j*****4
发帖数: 292 | 6 yes. hint:consider a small circle with radius r/4.
pond
’s
the
,
【在 c***z 的大作中提到】
: A duck, pursued by a fox, escapes to the center of a perfectly circular pond
: . The fox cannot swim, and the duck cannot take flight from the water (it’s
: a deficient duck). The fox is four times faster than the duck.
: Assuming the fox and duck pursue optimum strategies, is it possible for the
: duck to reach the edge of the pond and fly away without being eaten? If so,
: how?
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z****e
发帖数: 2024 | 7 yes.
the speed of the cord stretching is less than the speed of the worm moving
because it is a relative motion.
【在 c***z 的大作中提到】
: There is a worm on a cord of length 2. The worm climbs from one end to the
: other at speed 1/min.
: Each minute the length of the cord is stretched by 1.
: Question: will the worm reach the other end?
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z****i
发帖数: 406 | 8 这个题，如果再加一个问题，问什么时候the worm reach the other end呢
【在 c***z 的大作中提到】
: There is a worm on a cord of length 2. The worm climbs from one end to the
: other at speed 1/min.
: Each minute the length of the cord is stretched by 1.
: Question: will the worm reach the other end?
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f***a
发帖数: 329 | 9 Assume at time=t, the worm is at the location where is x away from the
beginning point of the cord and y away from the ending point of the cord:
|----- x ------- WORM --------------------- y ----------------|
Since the cord is stretching uniformly, after dt (dt is a small time
interval):
"x" part of cord stretch into: x+x/(x+y)*v1*dt
"y" part of cord stretch into: y+y/(x+y)*v1*dt
and worm climbs: v2*dt
where v1 is stretching speed, v2 is climbing speed.
Now at time=t+dt, the worm is at the locat |
n****e
发帖数: 629 | 10 不用考虑cord长度
把虫速对绳子在t时刻的长度discount一下
然后积分就好
就是假设绳长不变 虫速v(t) = v * L(0)/L(t)
\int_0^T v(t)dt = 2
解得 T = 2(1+e)
【在 f***a 的大作中提到】
: Assume at time=t, the worm is at the location where is x away from the
: beginning point of the cord and y away from the ending point of the cord:
: |----- x ------- WORM --------------------- y ----------------|
: Since the cord is stretching uniformly, after dt (dt is a small time
: interval):
: "x" part of cord stretch into: x+x/(x+y)*v1*dt
: "y" part of cord stretch into: y+y/(x+y)*v1*dt
: and worm climbs: v2*dt
: where v1 is stretching speed, v2 is climbing speed.
: Now at time=t+dt, the worm is at the locat
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f***a
发帖数: 329 | 11 我觉得你忽略了由于uniformly stretching所导致的虫速对终点相对速度v(t)不仅跟L(
t)有关而
且跟虫子当前location有关的问题。
譬如，虫子还在出发点的时，整个绳子的stretching都影响虫子到终点的距离；
虫子到达中点时，只有后半段绳子的stretching影响虫子到终点的距离。
所以worm location还是要考虑吧。
【在 n****e 的大作中提到】
: 不用考虑cord长度
: 把虫速对绳子在t时刻的长度discount一下
: 然后积分就好
: 就是假设绳长不变 虫速v(t) = v * L(0)/L(t)
: \int_0^T v(t)dt = 2
: 解得 T = 2(1+e)
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n****e
发帖数: 629 | 12 我的v(t)是把绳长normalize之后的v(t)
不用考虑当前位置的
L(
【在 f***a 的大作中提到】
: 我觉得你忽略了由于uniformly stretching所导致的虫速对终点相对速度v(t)不仅跟L(
: t)有关而
: 且跟虫子当前location有关的问题。
: 譬如，虫子还在出发点的时，整个绳子的stretching都影响虫子到终点的距离；
: 虫子到达中点时，只有后半段绳子的stretching影响虫子到终点的距离。
: 所以worm location还是要考虑吧。
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f***a
发帖数: 329 | 13 你"normalize"的是整个绳子，然后把结果应用到“discount”虫速上面，实际上是应该
只"normalize"剩下的一段绳子然后应用结果。两个结果是不一样的。
【在 n****e 的大作中提到】
: 我的v(t)是把绳长normalize之后的v(t)
: 不用考虑当前位置的
:
: L(
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p*****k
发帖数: 318 | 14 fanta, i think native is correct.
this seems to be a good example to teach hubble expansion
in an introductory cosmology class :P |
j*****4
发帖数: 292 | 15 Nice solution!
One more complex method to get v_t.Verified your answer.
distance travelled by warm S_t=int_0^t v_x dx
then velocity of the warm, v_t=1+1*S_t/L_t
sovle the integral equation, v_t=1+ln((t+2)/2)
But it's not so evident to get the solution T by solving 2+T=int_0^T v_x dx.
【在 n****e 的大作中提到】
: 不用考虑cord长度
: 把虫速对绳子在t时刻的长度discount一下
: 然后积分就好
: 就是假设绳长不变 虫速v(t) = v * L(0)/L(t)
: \int_0^T v(t)dt = 2
: 解得 T = 2(1+e)
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c*********g
发帖数: 154 | 16 我不擅长相对论，对于这个巧妙的解法心存怀疑，如果你能提供这种解法的有效性证明
就最好了。不过结果是对的。
我的两种解法是这样的。
解法一：
假设虫子相对绳子的速度是V_w(t)，位置是S(t)，绳子均匀增长的速度是V_s(t)，另
一端的位置是L(t)。那么根据题意有：
dS(t) = ( V_w(t) + V_s(t)*S(t)/L(t) ) dt
我们知道V_w(t)=V_s(t)=1，而且因为V_s(t)=1，我们有L(t)=2+t，于是上式简化为：
dS(t) = ( 1 + S(t)/(2+t) ) dt
在S(0)=0的初始条件下解这个ODE，得：
S(t)=(t+2)(log(t+2)-log2)
于是由S(T)=L(T)=2+T可得T=2(e-1)。
解法二：
令D(t)=S(t)-L(t)。那么我们有：
dD(t)=dS(t)-dL(t)= ( V_w(t) + V_s(t)*S(t)/L(t) ) dt - V_s(t)dt
= ( V_w(t) + V_s(t)*D(t)/L(t) ) dt
这个ODE和上面S(t)的ODE完全一样，只不过初始值变成了D
【在 n****e 的大作中提到】
: 不用考虑cord长度
: 把虫速对绳子在t时刻的长度discount一下
: 然后积分就好
: 就是假设绳长不变 虫速v(t) = v * L(0)/L(t)
: \int_0^T v(t)dt = 2
: 解得 T = 2(1+e)
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p*****k
发帖数: 318 | 17 jason04, since v_T=1+1*S_T/L_T as you indicated,
your last equation is simply:
L_T = 2+T = S_T = (v_T-1)*L_T
hence v_T = 2 = 1+ln((T+2)/2)
creepingdog, try searching "comoving frame" |
c*********g
发帖数: 154 | 18 这个uniform stretching其实挺有歧义的。
dL(t)=V_1 dt 可以算uniform stretching吗？
dL(t)=V_2*L(t) dt 才是真正的uniform stretching吧，因为对每一个微小单元来说，
stretch的量是等同的，即速率V_2。当然，从全局来说，也可以叫exponential
stretching
【在 H********k 的大作中提到】
: assuming uniform stretching.
: hehehe
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o**o
发帖数: 3964 | 19 no
【在 c***z 的大作中提到】
: There is a worm on a cord of length 2. The worm climbs from one end to the
: other at speed 1/min.
: Each minute the length of the cord is stretched by 1.
: Question: will the worm reach the other end?
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c*********g
发帖数: 154 | 20 这个解法应该是错误的，只不过这些数字凑巧使得答案正确了而已。
下面为了方便起见，另虫子相对绳子的速度为x，绳子增长的绝对速度为y（即每分钟增
长y），绳子的初始长度为z，其中x>0, y>0, z>0
那么由这个方法得到的结果是T=z*(exp(1/xy)-1)。就是说不论x和y的关系怎么样，虫
子总能爬到另一端，显然错误。
而我的解法得到的结果是：T=z*( (x/(x-y+1))^(1/(y-1)) -1 )。可以看
到只有当x>y-1的时候，T才有实数解并且大于0。注意当y无限逼近1的时候，T无限逼近
z*(exp(1/x)-1)，这就是为什么在y=1的时候，上面的错误解法也得到正确答案的原因。
相对的参照坐标系物理当中学过，但没有准确的证明，仍然难以让我信服。
【在 n****e 的大作中提到】
: 不用考虑cord长度
: 把虫速对绳子在t时刻的长度discount一下
: 然后积分就好
: 就是假设绳长不变 虫速v(t) = v * L(0)/L(t)
: \int_0^T v(t)dt = 2
: 解得 T = 2(1+e)
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n****e
发帖数: 629 | 21 ai...您老不要说人“显然”错误行不。听着也不理直气壮啊。
其实您显然地想一下：
t很大的时候，虫子单位时间爬过的绳长
大约是原来绳长的 1/t 的关系
因为对(1/t)dt积分是发散的
所以不管绳子多长 动得多快 虫子多慢 都是可以爬到底的
因。
【在 c*********g 的大作中提到】
: 这个解法应该是错误的，只不过这些数字凑巧使得答案正确了而已。
: 下面为了方便起见，另虫子相对绳子的速度为x，绳子增长的绝对速度为y（即每分钟增
: 长y），绳子的初始长度为z，其中x>0, y>0, z>0
: 那么由这个方法得到的结果是T=z*(exp(1/xy)-1)。就是说不论x和y的关系怎么样，虫
: 子总能爬到另一端，显然错误。
: 而我的解法得到的结果是：T=z*( (x/(x-y+1))^(1/(y-1)) -1 )。可以看
: 到只有当x>y-1的时候，T才有实数解并且大于0。注意当y无限逼近1的时候，T无限逼近
: z*(exp(1/x)-1)，这就是为什么在y=1的时候，上面的错误解法也得到正确答案的原因。
: 相对的参照坐标系物理当中学过，但没有准确的证明，仍然难以让我信服。
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p*****k
发帖数: 318 | 22 creepingdog, i'm siding with native on this.
there are couple of typos in your post (simply check the dimension).
here is what i got for your general problem following native's
and your approach:
(1) native's:
int{from 0 to T} x * z/(z+y*t) dt = z
this gives T = (z/y) * [exp(y/x)-1]
(2) your method 1:
dS(t) = [ x + y*S(t)/(z+y*t) ] dt
with S(0)=0
this gives S(t) = x * (t+z/y) * log(y/z*t+1)
setting S(T) = z+y*T gives the exact same result |
s****n
发帖数: 1237 | 23 但是为啥这个答案是2(e-1)。原来虫速1/min,绳长2,也就是T=2。
现在大家都说strech了以后虫的相对速度变快，那应该T<2，为什么是反而大了呢？
【在 p*****k 的大作中提到】
: creepingdog, i'm siding with native on this.
: there are couple of typos in your post (simply check the dimension).
: here is what i got for your general problem following native's
: and your approach:
: (1) native's:
: int{from 0 to T} x * z/(z+y*t) dt = z
: this gives T = (z/y) * [exp(y/x)-1]
: (2) your method 1:
: dS(t) = [ x + y*S(t)/(z+y*t) ] dt
: with S(0)=0
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j*****4
发帖数: 292 | 24 the cord is streching.
【在 s****n 的大作中提到】
: 但是为啥这个答案是2(e-1)。原来虫速1/min,绳长2,也就是T=2。
: 现在大家都说strech了以后虫的相对速度变快，那应该T<2，为什么是反而大了呢？
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D****u
发帖数: 735 | 25 Relative speed 2/t+2 < 1. It became slower
【在 s****n 的大作中提到】
: 但是为啥这个答案是2(e-1)。原来虫速1/min,绳长2,也就是T=2。
: 现在大家都说strech了以后虫的相对速度变快，那应该T<2，为什么是反而大了呢？
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s****n
发帖数: 1237 | 26 creepingdog's point is if initially y>x, then the worm won't able to reach
the end. However native's approach always gives a finite time.
For example, if the cord is streching at 3/min (y=3), worm moves at 1/min (x
=1), and cord length z=2, we won't get a solution for T. (or say T->\inf)
【在 p*****k 的大作中提到】
: creepingdog, i'm siding with native on this.
: there are couple of typos in your post (simply check the dimension).
: here is what i got for your general problem following native's
: and your approach:
: (1) native's:
: int{from 0 to T} x * z/(z+y*t) dt = z
: this gives T = (z/y) * [exp(y/x)-1]
: (2) your method 1:
: dS(t) = [ x + y*S(t)/(z+y*t) ] dt
: with S(0)=0
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j*****4
发帖数: 292 | 27 I cannot see any obvious evidence that the worm could not reach the other
end.
Actually the velocity of the worm increases much faster than imagination.
solving an integral equation could get the closed form:
v_t=v_0(1+ln((L_0+u_0*t)/L_0) where u_0 is the cord streching speed.
(take the initially position of worm as origin and regular coordinates as
frame of reference).At certain stage,the worm moves faster than streching
speed,so a finite T is possible.
As pcasnik indicated,native's neat soluti
【在 s****n 的大作中提到】
: creepingdog's point is if initially y>x, then the worm won't able to reach
: the end. However native's approach always gives a finite time.
: For example, if the cord is streching at 3/min (y=3), worm moves at 1/min (x
: =1), and cord length z=2, we won't get a solution for T. (or say T->\inf)
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m*****n
发帖数: 2152 | 28 这都是物理题啊，现在都用来做brain teaser了？
两个好像都是可以。
1，看参考系了，假设起始点不动，蚂蚁的相对起始点速度从1慢慢增大，终点的速度始终是1。
2，鸭子在到r/4前角速度比狐狸快，完全可以调整到一个距离狐狸最远，离岸3r/4的点逃跑。 \pi >
3，所以逃得掉。
the
【在 c***z 的大作中提到】
: There is a worm on a cord of length 2. The worm climbs from one end to the
: other at speed 1/min.
: Each minute the length of the cord is stretched by 1.
: Question: will the worm reach the other end?
|
M*****y
发帖数: 666 | 29 agree
creepingdog 太纠结了
A------------------C--------------------------------------------------B
intuitively, set the other end B as origin. A has velocity va stretch to the
left side.
even C don’t move relatively to the rope, C has a velocity vc = va * CB/AB,
where CB/AB is constant. However, C move into B, so the ratio will become
smaller. So the ground speed of C will be v - va * CB/AB. so eventually this
value will be positive, i.e. C is moving toward to B, no matter how fast va
is.
【在 n****e 的大作中提到】
: ai...您老不要说人“显然”错误行不。听着也不理直气壮啊。
: 其实您显然地想一下：
: t很大的时候，虫子单位时间爬过的绳长
: 大约是原来绳长的 1/t 的关系
: 因为对(1/t)dt积分是发散的
: 所以不管绳子多长 动得多快 虫子多慢 都是可以爬到底的
:
: 因。
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p*****k
发帖数: 318 | 30 just would like to add that creepingdog's intuition is
more or less correct. there are cases the bug would NOT
be able to reach the other end - it's just not the case
for linear stretching.
e.g., instead of 2+t, the rope stretches following 2+2*t^2,
(accelerated expansion like our universe)
the maximum the bug could reach is:
pi/4 < 79% of the total length of the rope |
|
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c******n
发帖数: 380 | 31
circular pond
(it’s
for the
If so,
yes,it's possible.
Let the duck do circular motion with radius range from r/4 to (4-
pi)r/4,the fox can only do circular motion with radius r,so the duck has
faster angular velocity than fox.When the angle difference between them
reach 540/pi to 180 (depends on the radius duck chose),duck can go
straight to the nearest edge of the pond and fly away safely.
Although I seriously doubt this deficient duck can go straight right
after so many circular motion,it is
【在 c***z 的大作中提到】
: A duck, pursued by a fox, escapes to the center of a perfectly circular pond
: . The fox cannot swim, and the duck cannot take flight from the water (it’s
: a deficient duck). The fox is four times faster than the duck.
: Assuming the fox and duck pursue optimum strategies, is it possible for the
: duck to reach the edge of the pond and fly away without being eaten? If so,
: how?
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t**j
发帖数: 418 | 32 他是对的。因为虫子要爬到终点，所以参考点和discount应该对应绳子的最右端点
应该
【在 f***a 的大作中提到】
: 你"normalize"的是整个绳子，然后把结果应用到“discount”虫速上面，实际上是应该
: 只"normalize"剩下的一段绳子然后应用结果。两个结果是不一样的。
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t**j
发帖数: 418 | 33 如果只normalize剩下一段，那这剩下一段的原始长度除以stretch之后的长度的这个比
例和2/(2+T)是相等的，所以我觉得native的方法是对的，而且简单。
应该
【在 f***a 的大作中提到】
: 你"normalize"的是整个绳子，然后把结果应用到“discount”虫速上面，实际上是应该
: 只"normalize"剩下的一段绳子然后应用结果。两个结果是不一样的。
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f***a
发帖数: 329 | 34 晕，回过头来一看，我也觉得他说的很直观很对
不过我那天开始写的方法我也没看出来哪错了。。。
问题再复杂点不是也就只有那样用numerical的方法算吗？
【在 t**j 的大作中提到】
: 如果只normalize剩下一段，那这剩下一段的原始长度除以stretch之后的长度的这个比
: 例和2/(2+T)是相等的，所以我觉得native的方法是对的，而且简单。
:
: 应该
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z****g
发帖数: 1978 | |
S*********g
发帖数: 5298 | 36 哈哈，你也来了
【在 f***a 的大作中提到】
: 晕，回过头来一看，我也觉得他说的很直观很对
: 不过我那天开始写的方法我也没看出来哪错了。。。
: 问题再复杂点不是也就只有那样用numerical的方法算吗？
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f***a
发帖数: 329 | 37 娃长好大啊 呵呵
【在 S*********g 的大作中提到】
: 哈哈，你也来了
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S*********g
发帖数: 5298 | 38 头像里是娃4个半月的时候，现在已经18个月了:)
【在 f***a 的大作中提到】
: 娃长好大啊 呵呵
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S*********g
发帖数: 5298 | 39 你那个也是可以解析解的
dy=y'-y = -dt+y/(x+y) dt = -dt+y/(2+t) dt
define z = y/(2+t) => dy = (2+t) dz + z dt = -dt + zdt
=> dz = -dt/(2+t)
z(t=0) = 2
z(t=T) = 0
这个推导过程实际上就是native说的那个坐标变换的过程
【在 f***a 的大作中提到】
: 晕，回过头来一看，我也觉得他说的很直观很对
: 不过我那天开始写的方法我也没看出来哪错了。。。
: 问题再复杂点不是也就只有那样用numerical的方法算吗？
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