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History版 - 量子密码,后量子密码:最前沿的技术和最古老的数学
相关主题
为什么中国人数学这么牛,却几乎没有中国人发现的数学定理?两条截然不同的数学道路
欧激励嘚创立的数学共和还是君主立宪难道不需要正本清源么?
为什么很多人说阿基米德比欧几里的牛比Re: 个人以为——拱形结构是关键
天朝是不是很缺乏阿基米德,达芬奇,欧几里得这类人?历史上兵事和科技的关系讨论
毕达哥拉斯 是不是有史以来第一个超级大牛人古埃及,古希腊,罗马人如何解释南方比北方暖和的?
象形文字是文明发展,特别是数学推导的严重障碍阿基米德真NB啊
科举制度为啥不考 周髀算经 和 九章算术 呢?牛逼得是偶激丽嘚,阿基米德也就曹冲的水平
严谨的数学确实没法诞生于中国阿基米德著作一览
相关话题的讨论汇总
话题: 量子话题: 密码话题: 数学话题: rsa话题: 数论
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1 (共1页)
F***e
发帖数: 23
1
前量子密码:经典密码,数学基础死整数(小学数学),初等数论,部分内容在古代数
学就有了。
量子密码:量子技术,数学基础是矩阵,《九章算术》就有了。
后量子密码:经典密码,数学基础是代数整数(中学数学),代数数论,算是比较深奥
,但其实就
是多项式方程,古代就有很多研究,秦九韶研究过十次方程。
最前沿的技术和最古老的数学没有鸿沟,很多人往往看不到这一点。如果真正学懂了数
学,就知道数学的各个分支,古今中外,都是相通的。近代数学有个快速发展阶段,但
也没有那么神。要融会贯通并不容易,有人指导也许不要紧,盯住某个方向就行了。但
是如果想在某方面有突破,这种vision很重要。
==================
前量子密码:
数论是一门既古老又年轻的学科,是密码学的数学基础。公钥密码是最近几十年才发展
起来的现代技术,以RSA 为代表。其实RSA 只需要初等数论,古典数学基本上就够了。
在RSA密码中,如果x和y互素,要求在模 y下x 的逆,即求a使得
ax = 1 mod y
怎么求?这里要用到宋代数学家秦九韶的“大衍求一术”,西方称为Bezout定理(18世
纪),即如果x和y互素,则存在a和b使得
ax + by = 1
"求一"就是求这个“1”。两边取模y,就得到了上面想要的式子。系数a和b怎么得到呢
?要用到《九章算术》求最大公因子的辗转相除法,在西方称为欧几里得算法。(几乎
可以肯定,该
算法不是欧几里得发明的 ,即使假设书是他写的)。以x=4, y=15为例:
15 = 4 x 3 + 3
4 = 3 x 1 + 1
反代回去,得到
1 = 4 – 3 = 4 – (15 – 4 x 3) = 4 x 4 – 1 x 15
知a=4, b=-1,所以x的逆是4。虽然这个例子我们一眼就能看出答案,但是在RSA中都是
非常大的数,就非得要算法求解了。
《九章算术》是计算机(当时用算筹)算法的鼻祖,类似的算法很多。《九章算术》用
最大公因子来约分,即把分子和分母的最大公因子算出来,同时除去,就得到了化简后
的分数。事实上,我们今天还在使用的分子,分母,约分,因子等这些术语,都是在《
九章算术》中定义的。
此外,在RSA中常用中国余数定理来加快乘法,可参见我写的《中国余数定理简史》一
文。
辗转相除法(欧几里得算法)是数论中非常重要的算法,今天还在发展之中。比如密码
学中,对于非常大的数,如何加快辗转相除法?有不少人在研究。
==============
量子密码:基于量子技术的密码,也叫量子通讯或量子保密通讯,可抗量子攻击。其数
学基础主要是矩阵,《九章算术》专
门有一章讲矩阵。此外,需要纠错编码来纠错,RS码是常用的码。RS码的译码就用到辗
转相除法(欧几里得算法),只不过变成了求两个多项式的最大公因子。
但是缺点不少,应用范围有限,这里就不展开了。量子密码与经典密码孰优孰劣,是有
争议的。
==============
后量子密码:
随着RSA在量子攻击下灰飞烟灭,我们即将进入后量子密码时代,整数将被代数整数(
形如1+\sqrt{2}的数)取代。代数
数论在纯粹数学专业一般是一门研究生课程,用抽象代数来研究数论。这里怎么做辗转
相除法(欧几里得算法)?这是一个远远没有解决的问题;甚至连除法怎么做 ,都所
知甚少。
代数数论的最核心问题是费马大定理,即方程
x^n + y^n = z^n,n>2
不存在非平凡整数解。如果n=2,就是勾股定理
x^2 + y^2 = z^2
最早是中国数学家在《周髀算经》中给出的。费马大定理看起来很简单,但它曾是世界
上最难的问题。要研究费马大定理,需要知道割圆(分圆)多项式。古代割圆术的最高
成就者是祖冲之,创造了圆周率的记录。
如果说RSA中中国余数定理可有可无的话,在后量子密码中它将起到关键作用。什么作
用?乘法。或许你会问,乘法这么基本的东西,小学生都会,有啥好研究的?两个代数
整数相乘,不是个简单问题。怎么乘得快?必须得在(割圆多项式)环上做CRT。
费马大定理最终由怀尔斯在上世纪90年代证明,可能是最近几十年数学的最大突破。怀
尔斯的证明用了看起来没关联的椭圆曲线。大师能看到不同事物之间的联系,纵横不同
领域之间,往往能取得意想不到的重大突破。
===============
可以说我们每天都在用古代数学家两千年前发明的算法,只是我们感觉不到罢了。
万丈高楼平地起。现代数学是高楼,古典数学是地基。对人类先贤,我们还是多一分尊
敬好。
F***e
发帖数: 23
2
数学的贡献是以原创性为最重要的标准之一。张益唐的界有几千万,后来有人降低到几
百,大家还是认为张益唐贡献最大。为什么,因为他是第一个。
sametime问了一个关于1+1=2和勒贝格积分的问题,我觉得问得很好。猛一看,勒贝格
积分高端大气,远不是1+1=2这种小儿科能比的。但是,从原创性来看,我认为第一个
给出1+1=2的人的贡献大于勒贝格积分。为什么?
第一个给出1+1=2的人的贡献是从无到有,增量巨大。
勒贝格积分是黎曼积分的推广,而后者又是对积分的严格化,所以勒贝格积分的增量并
不比1+1=2大。
就好像1+1=2是地基,黎曼积分是10楼,勒贝格积分是11楼,虽然比地基高得多,但也
就是一层而已。理解了勒贝格积分,本质上还是1+1=2.
以上只是我个人角度而已。
T*******x
发帖数: 8565
3
从数学大尺度上看,的确是这样。
今天看了个知乎文章,说人类一万年前的事。一个部落发展出制陶罐的工艺,真是太不
容易了。关键当时的迭代周期太长了。
反观数学,这都已经是小尺度了。再看一个概念,更不要说技巧了,前人已经有基础打
下了。有基础,有问题的方向,有问题检验的目标,有同辈,这是啥条件啊?
所以,中国的问题主要还是一个科研环境的问题。在思维能力上找原因的人,是找错了
方向。找错了方向,就很可能不能理解,这个国家的科研原创成果,会在不可思议的不
长时间内井喷。

【在 F***e 的大作中提到】
: 数学的贡献是以原创性为最重要的标准之一。张益唐的界有几千万,后来有人降低到几
: 百,大家还是认为张益唐贡献最大。为什么,因为他是第一个。
: sametime问了一个关于1+1=2和勒贝格积分的问题,我觉得问得很好。猛一看,勒贝格
: 积分高端大气,远不是1+1=2这种小儿科能比的。但是,从原创性来看,我认为第一个
: 给出1+1=2的人的贡献大于勒贝格积分。为什么?
: 第一个给出1+1=2的人的贡献是从无到有,增量巨大。
: 勒贝格积分是黎曼积分的推广,而后者又是对积分的严格化,所以勒贝格积分的增量并
: 不比1+1=2大。
: 就好像1+1=2是地基,黎曼积分是10楼,勒贝格积分是11楼,虽然比地基高得多,但也
: 就是一层而已。理解了勒贝格积分,本质上还是1+1=2.

n****t
发帖数: 729
4
人类的智力水平和环境之间不存在互动关系吗?人类拥有超大的脑容量,首先就是环境
压力造成的进化结果。人类在脑容量增大的同时,具备了靠智力适应和改造环境,获取
更多食物,支持大脑继续发展所需营养的能力。
而且,从个体来看,人类的智力也是从出生开始一直增长,成年以后,基本就不再增长
了。人类社会达到温饱后,智力的差异就主要由社会环境来决定了,包括教育,也包括
你所谓的科研环境。
结论就是,除非你相信神创论,即人类智力在上帝造人的那一刻就被瞬间固化的话,并
且婴儿具有和成人一样的智力的话,那强调环境因素,并不能排除思维存在强弱,因为
思维强弱依然可以是环境不同造成的。
.

【在 T*******x 的大作中提到】
: 从数学大尺度上看,的确是这样。
: 今天看了个知乎文章,说人类一万年前的事。一个部落发展出制陶罐的工艺,真是太不
: 容易了。关键当时的迭代周期太长了。
: 反观数学,这都已经是小尺度了。再看一个概念,更不要说技巧了,前人已经有基础打
: 下了。有基础,有问题的方向,有问题检验的目标,有同辈,这是啥条件啊?
: 所以,中国的问题主要还是一个科研环境的问题。在思维能力上找原因的人,是找错了
: 方向。找错了方向,就很可能不能理解,这个国家的科研原创成果,会在不可思议的不
: 长时间内井喷。

n****t
发帖数: 729
5
看来还是上帝他老人家贡献最大。没有他造人,从无到有,哪有你在这里灌水?

【在 F***e 的大作中提到】
: 数学的贡献是以原创性为最重要的标准之一。张益唐的界有几千万,后来有人降低到几
: 百,大家还是认为张益唐贡献最大。为什么,因为他是第一个。
: sametime问了一个关于1+1=2和勒贝格积分的问题,我觉得问得很好。猛一看,勒贝格
: 积分高端大气,远不是1+1=2这种小儿科能比的。但是,从原创性来看,我认为第一个
: 给出1+1=2的人的贡献大于勒贝格积分。为什么?
: 第一个给出1+1=2的人的贡献是从无到有,增量巨大。
: 勒贝格积分是黎曼积分的推广,而后者又是对积分的严格化,所以勒贝格积分的增量并
: 不比1+1=2大。
: 就好像1+1=2是地基,黎曼积分是10楼,勒贝格积分是11楼,虽然比地基高得多,但也
: 就是一层而已。理解了勒贝格积分,本质上还是1+1=2.

F***e
发帖数: 23
6
连积分都搞不清的人到一边去。
s******e
发帖数: 1751
7
这个就是典型的厚古薄今,祖先崇拜。 其实是妨碍进步的。
从工作的难度来说,全世界所有地方都发现了1+1=2. 没啥高深的。但是发现黎曼积分
只有一个地方的人,还是很伟大的。
前两天偶然看到,拉瓦锡发现了很多分子构造,在化学领域算是重要的奠基人。博世发
明了大规模合成氨的方法。不能因为拉瓦锡早了100多年做了更基础的工作就说拉瓦锡
更牛。 博世的工作其实难多了。 甚至可以说早来的人是挑了很多low hanging fruit.

【在 F***e 的大作中提到】
: 数学的贡献是以原创性为最重要的标准之一。张益唐的界有几千万,后来有人降低到几
: 百,大家还是认为张益唐贡献最大。为什么,因为他是第一个。
: sametime问了一个关于1+1=2和勒贝格积分的问题,我觉得问得很好。猛一看,勒贝格
: 积分高端大气,远不是1+1=2这种小儿科能比的。但是,从原创性来看,我认为第一个
: 给出1+1=2的人的贡献大于勒贝格积分。为什么?
: 第一个给出1+1=2的人的贡献是从无到有,增量巨大。
: 勒贝格积分是黎曼积分的推广,而后者又是对积分的严格化,所以勒贝格积分的增量并
: 不比1+1=2大。
: 就好像1+1=2是地基,黎曼积分是10楼,勒贝格积分是11楼,虽然比地基高得多,但也
: 就是一层而已。理解了勒贝格积分,本质上还是1+1=2.

n****t
发帖数: 729
8
他开篇说“数学的贡献是以原创性为最重要的标准之一”,写着写着,原创性就成了评
价数学贡献的唯一标准了,开始对1+1=2大唱赞歌,是比黎曼积分都伟大的贡献。
所以有人评价他脑子不行,是一点没错的。但是脑子不行的人,也可以有常识。1+1=2
比黎曼积分贡献还大这种话要出口的时候,难道心中的常识不帮他把一下门吗?

fruit.

【在 s******e 的大作中提到】
: 这个就是典型的厚古薄今,祖先崇拜。 其实是妨碍进步的。
: 从工作的难度来说,全世界所有地方都发现了1+1=2. 没啥高深的。但是发现黎曼积分
: 只有一个地方的人,还是很伟大的。
: 前两天偶然看到,拉瓦锡发现了很多分子构造,在化学领域算是重要的奠基人。博世发
: 明了大规模合成氨的方法。不能因为拉瓦锡早了100多年做了更基础的工作就说拉瓦锡
: 更牛。 博世的工作其实难多了。 甚至可以说早来的人是挑了很多low hanging fruit.

F***e
发帖数: 23
9
这并非厚古薄今,而是要认识到数学的累积性发展,是一步一步前进的。(至于尊敬祖
先,是中国传统。)
勒贝格积分,前面有黎曼积分,再前面有牛顿/莱布尼兹积分,再前面有刘辉-祖暅/
Cavalieri原理,再前面有求体积,再前面有求面积,再前面有乘法,再前面有累加,
再前面有加法,...,再前面有1+1=2。
了解点历史,就不会对勒贝格积分有那么崇拜了。

fruit.

【在 s******e 的大作中提到】
: 这个就是典型的厚古薄今,祖先崇拜。 其实是妨碍进步的。
: 从工作的难度来说,全世界所有地方都发现了1+1=2. 没啥高深的。但是发现黎曼积分
: 只有一个地方的人,还是很伟大的。
: 前两天偶然看到,拉瓦锡发现了很多分子构造,在化学领域算是重要的奠基人。博世发
: 明了大规模合成氨的方法。不能因为拉瓦锡早了100多年做了更基础的工作就说拉瓦锡
: 更牛。 博世的工作其实难多了。 甚至可以说早来的人是挑了很多low hanging fruit.

F***e
发帖数: 23
10
发信人: FoxMe (FoxMe), 信区: History
标 题: 球的体积公式简史兼打假阿基米德羊皮书
发信站: BBS 未名空间站 (Tue May 26 17:48:39 2020, 美东)
[由于很多证明细节可能不易看懂,先贴摘要。如有兴趣,可接着看全文。]
直径为D的球的体积公式pi/6*D^3是怎么推导的?学过微积分的大学生不见得都能推出
来。可是南北朝的中国数学家祖暅却做到了。让我们来回顾一下球体积公式五百年的发
展历史。(西方把这一问题归功于阿基米德,但本文将论述其羊皮书是伪造的。)
以下为讨论方便,令D=1,这样球体积为pi/6。
第一节:中国数学家的方法
1. 汉代《九章算术》(公元前后)给出了一个近似公式:
球体积 = 9/16。
这个近似公式其实应该是(pi/4)^2。但因九章算术的圆周率pi取近似值3,得到球体积
约等于9/16,误差较大。
2. 刘徽(公元三世纪)做了很大努力,提出牟合方盖方法。
为修正此误差,刘徽构造了牟合方盖(图3)。这是两个相互垂直的圆柱(图1图2)的
公共部分(即两圆柱的相交部分),由上下对称的两个方形盖子组成。刘徽得到公式
球体积 = pi/4 * 牟合方盖体积。
但是方盖神秘莫测,刘徽虽绞尽脑汁,亦无能为力。
3. 祖暅(公元六世纪)推出了牟合方盖的体积2/3。这样,祖暅最终证明了
球体积 = pi/4 * 2/3 = pi/6。
注:还有更简洁的证明,即跳过牟合方盖,直接考虑圆柱和内切球(图7),用几乎完
全相同的方法,可证明球的体积是其外接圆柱体积的2/3。因为圆柱体积为pi/4,得到
同样的结果pi/4 * 2/3 = pi/6。姑且称它为直接法,是现代常用方法。
第二节:阿基米德的方法
但是上网一查,阿基米德早在公元前三世纪就证明了球体积公式。真的是这样吗?据说
阿基米德有很多作品,但都失传了。1906年,有个欧洲人在土耳其“发现”了阿基米德
的羊皮书,令人难以置信的是,作品非常全,有174页。
如果说这些东西我们只能怀疑,无法证伪的话,那么就来看看阿基米德是如何推导球的
体积的。他的推导方法极其搞笑,要用个杠杆,左边挂个圆锥和球,右边挂个圆柱(图
8)。明眼的人一下就看出,这其实是图7的翻版,无非是把图 7中右边的挖出的圆锥挪
到了左边。阿基米德的推导极其繁琐,用了三十多个命题。
这里有两大疑点:第一,这个杆杠完全是多余的,你推数学就推数学,干嘛要弄根杆杠
进来?第二,阿基米德既然是宇宙最大的数学家,数学推导怎么这么烂?比祖暅差远了
。祖暅只用了几步,你为什么要用三十多个命题?
如果这些证据还不足以说服你的话,那么下面我们给它致命一击:羊皮书中也研究了一
模一样的牟合方盖!算体积也是用杠杆的伎俩。奇怪的是,它算出牟合方盖体积之后就
置之不管了。要知道,牟合方盖是个极不自然的形状,是刘徽构造出来的;刘徽和祖暅
研究它,是为了推导球的体积。阿基米德莫名其妙地研究它干什么?耍无厘头吗?
不管怎样,由于两方研究的方法和结果如此相似,必有一方抄袭。既然阿基米德比刘徽
和祖暅早几百年,不存在阿基米德抄袭的可能(假设阿基米德真实存在)。那么,必然
是刘徽和祖暅抄袭;但是要做到这一点,他们得穿越三百年约定好,你抄一半,我抄一
半。
如果你不相信时空穿越,就不得不得出一个结论:阿基米德的羊皮书必然是假的,造假
者窃取了中国数学(或加上近代数学)的研究成果。造假者心虚,不敢原样照抄,作了
些改头换面。
s******e
发帖数: 1751
11
我看的是问题的难度。
站在黎曼积分的基础上研究出勒贝格积分,还是蛮难的。
啥都没有,看看自己的手指,研究出1+1=2,很多人做到了。
很多细分领域的难题很难,但是外面的人不熟悉,不代表他不厉害。很多基本原理用的
人多,很有名,不代表他厉害。 不以成败论英雄。

【在 F***e 的大作中提到】
: 这并非厚古薄今,而是要认识到数学的累积性发展,是一步一步前进的。(至于尊敬祖
: 先,是中国传统。)
: 勒贝格积分,前面有黎曼积分,再前面有牛顿/莱布尼兹积分,再前面有刘辉-祖暅/
: Cavalieri原理,再前面有求体积,再前面有求面积,再前面有乘法,再前面有累加,
: 再前面有加法,...,再前面有1+1=2。
: 了解点历史,就不会对勒贝格积分有那么崇拜了。
:
: fruit.

F***e
发帖数: 23
12
你说的也有道理。角度不同。

【在 s******e 的大作中提到】
: 我看的是问题的难度。
: 站在黎曼积分的基础上研究出勒贝格积分,还是蛮难的。
: 啥都没有,看看自己的手指,研究出1+1=2,很多人做到了。
: 很多细分领域的难题很难,但是外面的人不熟悉,不代表他不厉害。很多基本原理用的
: 人多,很有名,不代表他厉害。 不以成败论英雄。

n****t
发帖数: 729
13
这样推演下去,还是创造万物的上帝最伟大嘛。

【在 F***e 的大作中提到】
: 这并非厚古薄今,而是要认识到数学的累积性发展,是一步一步前进的。(至于尊敬祖
: 先,是中国传统。)
: 勒贝格积分,前面有黎曼积分,再前面有牛顿/莱布尼兹积分,再前面有刘辉-祖暅/
: Cavalieri原理,再前面有求体积,再前面有求面积,再前面有乘法,再前面有累加,
: 再前面有加法,...,再前面有1+1=2。
: 了解点历史,就不会对勒贝格积分有那么崇拜了。
:
: fruit.

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欧激励嘚创立的数学共和还是君主立宪难道不需要正本清源么?
为什么很多人说阿基米德比欧几里的牛比Re: 个人以为——拱形结构是关键
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