J***n
发帖数: 391 | 1 Very good.
捕捉儿童敏感期
多少父母知道，婴儿刚出生时喜欢看黑白相界的地方，而不是人们通常认为的
彩球？婴幼
儿喝了糖水后为什么拒绝再喝白水？他为什么爱吃手？还对非常微小的东西感兴趣？他
为什么不断扔
掉手里的东西，你捡起来递给他，他会再扔掉？让他听磁带，他的兴趣
为什么不在听上，而是在来回装卸磁带上。。。。。。
这一切，揭示的是儿童生命过程中的一个秘密——敏感期。
所谓敏感期，是指在0 - 6岁的成长过程中，儿童受内在生命力的驱使，在某个时间段
内，专心吸收
环境中某一事物的特质，并不断重复实践的过程。顺利通过一个敏感期后，儿童的心智
水平便从一个
层面上升到另一个层面。
通过十年的教育实践，以孙瑞雪为首的幼儿教育专家团队发现，敏感期得到充分发
展的孩子，头
脑清楚、思维开阔、安全感强，能深入理解事物的特性和本质。
他们还发现，儿童敏感期也是有弹性的，0——6岁的儿童，如果敏感期没有得到良
好发展，到了6
——12岁还会有弥补的机会，但是，这有个前提，那就是6——12岁期间，儿童必须有
一个充满爱和自由
的成长环境。但现实是，在学习压力下，这个年龄段的很多孩子... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 2 写代码太忙了，回不动了。。。快速贴一个，俺觉得个人觉得中小学的几个概念的坎是：
（1）符号空间思考的概念：第一次出现在：多项式化简和因式分解。
（2）拓扑空间思考的概念：第一次出现在：平面几何添辅助线。
（3）三维空间思考的概念：第一次出现在：立体几何。
不一定对，就是个人看法而已。。。回去写 code 了。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 3 极限的概念，在微积分之前 N 久就有了。现代微积分之所以是微积分，不是
因为极限概念，而是因为那一套符号和符号运算法则。光光极限概念不能称作
微积分。。。
概念的困难，是在于创新。如果前人已经说了“姑娘的胸脯像鸽子”，后人重复
一遍也不是啥困难的事情。
大学微积分的困难，是在于在一个学期里要学会那一套符号运算。中学里如果是
靠死记硬背学多项式符号运算的，微积分就悲催了。。。所谓的符号空间能力不
行。。。
不过微积分还是有一个学期的时间，死记硬背可能还成。。。但是将来的
LR文法/图论/场论。。。可能会搞到每几个章节就出现新的一套符号。。。 |
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s**********y
发帖数: 509 | 4 家长总是担心太多。 总担心学校教育不够。
我来普及一下美式小学至中学的数学教育。
小学 K-5： 各式算数。 程度 《《 中国小学。
6年级， preAlgebra 从算数到代数的过渡。程度 接近 中国小学
七年级： algebra I: 包括： 因式分解， 一元二次方程求根， 二元一次方程， 程
度 》 中国初中一年级。
八年级： algebra II: 包括： 一元多次方程， 矩阵 （你没看错！） （矩阵相乘，
求行列式， 高斯消元）， 三角函数 （和差化积， 积化和差， 半角公式， 倍角公
式）， 线性规划， 多项式。 程度 》》 中国初中。略相当于中国高中， 略低于工
科院校大一的水平 （微积分在外）。
中美的体系大不一样。 人家慢（小学）， 快（中学）， 自有道理。总的来说， 中式
在四则运算上占明显优势， 美式强调代数和近代数学的衔接。
（说开一句， 教学体系其实是没有优劣的。 关键在于是不是适合娃）。
以上是一般学区， 正常学校， 正常班级 （当然， 比较serious）。
，结 |
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s**********y
发帖数: 509 | 5 寒假在家， 闲着也是闲着， 继续 数学教育 一家之言系列之三， 中美比较。
这当然是一个大题目，只能随手写写感触，如果对您有帮助， 就往下看。 如果对您没
有帮助， 一笑而过； 欢迎评论， 板砖请轻拍。
对新读者， 数学教育 一家之言 I 和 II， 蒙版主抬爱，列入保留区， 可去一观。
小学 K-5： 各式算数。 美式强调螺旋上升， 三年级就讲一点分数， 以后逐点深入。
但总的程度 《《 中国小学。
6年级， preAlgebra 从算数到代数的过渡。程度 接近 中国小学
七年级： algebra I: 包括： 因式分解， 一元二次方程求根， 二元一次方程， 程
度 》 中国初中一年级。
八年级： algebra II: 包括： 一元多次方程， 矩阵 （你没看错！） （矩阵相乘，
求行列式， 高斯消元）， 三角函数 （和差化积， 积化和差， 半角公式， 倍角公式
）， 线性规划， 多项式。 程度 》》 中国初中。相当或略高于中国高中， 略低于
工科院校大一的水平 （微积分在外）。
中美的体系大不一样。 人家慢（小学）， 快（中学）， 自有道理。总的来说， 中式
在四则运算上占明... 阅读全帖 |
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c**A
发帖数: 1474 | 6 美国的问题是课本内容和学生水平严重脱节。
我儿子从小就对数学有很高的悟性。一些很抽象的概念接受起来很快。
我原以为他一定会从美国的开放式教育中受益。
但实际上他的数学水平却被他的糟糕透顶的运算能力所拖累。
比如他可以很好的接受函数，极限等概念。但自己推导微分公式的时候连多项式分数的
通分都算不对。我想这在美国学生中很有代表性。
在 s1unflowerboy (lonestar) 的大作中提到: 】 |
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c**A
发帖数: 1474 | 7
我不能认同。
多项式分数只是一个例子。如果所谓学过的概念都不能用于进一步的学习。那就不能算
作学会。 |
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s**********y
发帖数: 509 | 8 闲着也是闲着， 继续 数学教育 一家之言系列之三， 中美比较。
这当然是一个大题目，只能随手写写感触，如果对您有帮助， 就往下看。 如果对您没
有帮助， 一笑而过； 欢迎评论， 板砖请轻拍。
对新读者， 数学教育 一家之言 I 和 II， 蒙版主抬爱，列入保留区， 可去一观。
小学 K-5： 各式算数。 美式强调螺旋上升， 三年级就讲一点分数， 以后逐点深入。
但总的程度 《《 中国小学。
6年级， preAlgebra 从算数到代数的过渡。程度 接近 中国小学
七年级： algebra I: 包括： 因式分解， 一元二次方程求根， 二元一次方程， 程
度 》 中国初中一年级。
八年级： algebra II: 包括： 一元多次方程， 矩阵 （你没看错！） （矩阵相乘，
求行列式， 高斯消元）， 三角函数 （和差化积， 积化和差， 半角公式， 倍角公式
）， 线性规划， 多项式。 程度 》》 中国初中。相当或略高于中国高中， 略低于
工科院校大一的水平 （微积分在外）。
中美的体系大不一样。 人家慢（小学）， 快（中学）， 自有道理。总的来说， 中式
在四则运算上占明显优势， 美... 阅读全帖 |
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a*****g
发帖数: 19398 | 9 高等数学有什么用？zz
来源： 康宸的日志
高等数学有什么用？很多人问过我这个问题。其实大多数人在问这个问题的时候，心里
已经预设了否定的答案。确实，对于大多数人来说，已经发展到了连数字都基本很少用
了的一些高等数学分支，是过于虚无飘渺了。但是实际上，今天我们的生活已经完全离
不开数学。甚至可以这么说，没有高等数学的发展，就不会有今天的现代社会。
也许很多人会怀疑这点，那么我就来稍微介绍一下现在高等数学的各主要学科的“用处
”。初等数学就不说了，一些如离散数学、运筹学、控制论等纯粹就是为了应用而发展
起来的分支也不说了，重点介绍基础方面的。
数学分析：主要包括微积分和级数理论。微积分是高等数学的基础，应用范围非常广，
基本上涉及到函数的领域都需要微积分的知识。级数中，傅立叶级数和傅立叶变换主要
应用在信号分析领域，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控等，电子产品的制造离不
开它。
实变函数（实分析）：数学分析的加强版之一。主要应用于经济学等注重数据分析的领
域。
复变函数（复分析）：数学分析加强版之二。应用很广的一门学科，在航空力学、流体
力学、固体力学、信息工程、电气工程等领域都有广泛... 阅读全帖 |
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u*****a
发帖数: 6276 | 10 美国高中学生的平均考试成绩可能在全世界不是最高的，但是这并不意味着美国缺少人
才。首都华盛顿最近主办了每年一次的青少年科学家竞赛的决赛。主办方是科技公司英
特尔设立的一个基金。
一年前，1,794名美国高中生向英特尔科学人才搜索项目提交了自己的研究项目。本星
期，领先的40名学生来到华盛顿，竞争头奖10万美元。
每个参赛者呈交一个解决难题的方案。难题可以是癌症，也可以是数学或生态学问题。
华裔学生凯文-李来自加州的厄瓦恩县。他开发了一个数学模式，把心脏发出的电流信
号跟心律失常联系起来。他说： “如果我们能基于对心脏情况的更深入了解设计一种
更好的药物，就可以减少副作用，制成效果更好的药来。”
凯文赢得二等奖，7万5千美元。
来自加州圣何塞的安吉拉-孔是17岁的高中应届毕业生。她研究的是那些能够躲避治疗
手段的癌症干细胞。她说： “研究哪些内在机制导致这些干细胞进入不活跃的状态，
就能让药物更集中的对付它。在长期应用方面，就能更好的对付乳腺癌。“
有些参赛者选择社会科学。拉赫曼来自南达科他州的布鲁金斯。他希望寻找一种方法来
量化自我引发的应激效果。他说：“我特别研究了青少年怎样使用手机... 阅读全帖 |
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s**********y
发帖数: 509 | 11 ========================
数学教育 一家之言 前言
========================
数学教育， 一家之言是我在 2013年到2014年 之间写的一些有关数学教育的随笔。 最
初发在MITBBS parenting 版。 倒是激起了一些回应。 也蒙版主／站长青目， 屡上置
顶，十大。 此次做一个合集， 略微整理， 剔繁就简，尽量使得单篇能独立， 各篇之
间也有联系.
文中引用了一些网友观点， 引用文字应该从行文中可以清楚看出， 出处恕不一一列出
。 向积极回帖的各位ID 致谢。
列几句口号： 好记又好用
• preK 要推就推数数吧
• 好的数学教育从不背九九表开始
• 拒绝简单重复练习， 尽早拥抱近代数学
• 鲜花板砖都是关注
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数学教育 一家之言 系列之一， 四则运算
=================================
悠悠数学， 包罗万象，从何下手？
我看大家经常讨论 熟练四则运算的重要... 阅读全帖 |
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s**********y
发帖数: 509 | 12 我怎么看到的是八年纪教的是矩阵， 多项式， 和二次函数 ～ 中国高三的水平
一不小心穿越了？？ |
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t*******r
发帖数: 22634 | 13 我娃看到 synthetic division 准备跳过去，我看了一眼表示支持。。。不过说了一句
，如果以后学校有要求，那也得从众一下。
另外我也同意都学多项式了，再纠结减法就是脱裤子放屁。。。看成负数系数（以及
negation of negation），然后统统（乘起来再）加起来就完事了。。。而且更符合
distributive property 的理解角度，也更符合 subtraction 本质是 additive
inverse 的理解角度 。。。俺娃也认为这样更清晰直观不容易出错。。。 |
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u*****7
发帖数: 746 | 14 但是Algebra如果去掉那些review的东西，也就剩多项式乘除，因式分解，二次方程及
图像了吧。 |
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m**k
发帖数: 18660 | 15 代数计算 也是计算
属于完全抛弃数图关系的算
比算数高级一点有限啊
而且多项式相承 系数可是指数性增加啊
这难道和练一样练耐力吗
还有我不觉得那个斜角坐标系在这里用的上啊 因为有角 一压扁 角就不等了啊
其实初等代数说回来 没有啥难度
难的就是三次方程那种玩变化 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 16 代数建模以后，当然要抛弃原始的数图关系。。。这不是您老一向
推崇的 “抽象” 么？。。。难道把鸡兔同笼写成方程之后，一边
解方程的时候，一边还关注鸡和兔子在同一只笼子里不得不说的
故事么？。。。
对于斜角坐标系，你没看出来 角PCB，是斜角坐标系里面相对横轴
的角。。。而 角BAP，是斜角坐标系里相对纵轴的角？。。。这俩
不是特殊角么？
另外多项式相乘，系数当然是指数增加。。。所以计算顺序
/ proof path 很重要，延迟进入高次表达式。。。
当然这题的解析几何解法，也就是看看，知道存在解，如何解，而不是
真的去硬算。
其实我觉得你没有理解我的意思。。。我不是说，这道题用解析几何
是个好的方法。。。我的意思是，对于一般的娃，学完解析几何前，
这种平几难题，也就是个 tricky 的兴趣题，没必要作为 requirement
。。。当然，这最终取决于小时数。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 17 我刚才突然想到，除了我前面说的能学到的东东以外，在这个
大式子里，最明显直接有用的可以看出来的是：
如果万一发生 Kpab 和 Kpcb 两个斜率不相等的话，那就应该
去找 Kpab / Kpcb 的比例函数关系，而不是 Kpab - Kpcb
的差值函数关系。。。因为在这个式子里，比值函数明显比
差值函数要简单（不用两个多项式分数通分了）。
实际上，这个两个角度正好相等的情况，基本是凑出来的。
现实世界的问题不会那么巧。。。但现实世界的问题也不会
是纯粹的随机问题，所以在计算两个角度的关系的时候，
就出现了：
是选算两个角度本身的差值函数呢？
还是算两个角度本身的比值函数呢？
还是算两个角度所对应斜率的差值函数呢？
还是算两个角度所对应斜率的比值函数呢？
上面这个还是要选个简单点的，毕竟计算机的计算能力也不是无限的，
特别是迭代算法这种算无数次才出结果，或者 cost function
算无数次比较选择优化解的算法。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 18 俺回来润色一下哈：
（1）设圆心为 O 点。
（2）设圆的半径为 1。
（3）设直角坐标系原点在圆心 O 点。
（3）设 OB 的斜率为 K1。
（4）设 OP 的斜率为 K2。
（5）然后因为要求证 EF*CD == AC*BD，为了避免根号数/根号项，
那就两边平方一下（numerical analysis 的一招鲜 trick 之一）。
改成求证 (EF^2)*(CD^2) == (AC^2)*(BD^2)。
然后俺目测了一下，基本可以 “一条勾股定理 + 一些二元二次
多项式” 打天下了。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 19 当然，俺知道过一会儿欧几里德那哥们又会来问：这繁复的计算，跟新数有啥
区别嘛？
不过欧几里德这哥们，问这问题的背景，多半是因为电算原理那门课，欧几里德
那哥们没考及格。。。欧几里德哥们特么不知道证明俩多项式等价（不要说二元
二次这种简单情况的），现代计算机的符号计算做不到这点的话，全世界的软件
公司统统关门破产算了。。。另一方面，transcendental 的某些“灵巧办法”，
虽然肉算看着省力，电算就不好说了。。。当然，欧几里德这家伙既不会写 Java
也看不懂 Perl。What do we expect 嘛。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 20 等我有空去改进那个解析几何算法，看看能不能避免根号，弄成多项式。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 21 我觉得我可以改进的地方，可能是别把圆的半径设为 1。
我觉得可能这么设参数更好些（圆心为 O)：
（1）直角坐标系原点在圆心 O。
（2）x 轴平行于线段 AB。
（3）设 F 的坐标为 (1, Yf)。Yf 是参数。
（4）设 P / C / D 点的坐标分别为 (Xp, Yp) (Xc, Yc) (Xd, Yd)
然后是两类约束条件：
（a）圆圈约束:
Xp^2 + Yp^2 = Yf^2 + 3^2
Xc^2 + Yc^2 = Yf^2 + 3^2
Xd^2 + Yd^2 = Yf^2 + 3^2
（b）三点一线约束：
(Yp - Yf) / (Xp - 1) = (Yd - Yf) / (Xd - 1)
(Yp - Yf) / (Xp + 1) = (Yc - Yf) / (Xc + 1)
（对角相乘变成多项式）
然后把求证的改成 quadratic length，也就是计算：
(AC^2)*(BD^2) - 4*(CD^2)
结果应该 = 0
不知道是不是可行。。。
再想想能不能更简化。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 22 我在猜这道题在解析几何的基础上，是不是可以用微积分
来降阶求解/求证？
因为如果 F(x1, x2, x3, ...) == Const，那么
其充分且必要条件是：
dF(x1, x2, x3, ...) / dx1 == 0
dF(x1, x2, x3, ...) / dx2 == 0
....
这样把一个多元 N 次方程，降阶为 N 个多元 N-1 次方程。
这个过程是不是迭代，然后 recursive down 而可以用
电算证明？
如果能证明是 Const，那就随便选一个点计算一下差值为零？
我觉得我可以改进的地方，可能是别把圆的半径设为 1。
我觉得可能这么设参数更好些（圆心为 O)：
（1）直角坐标系原点在圆心 O。
（2）x 轴平行于线段 AB。
（3）设 F 的坐标为 (1, Yf)。Yf 是参数。
（4）设 P / C / D 点的坐标分别为 (Xp, Yp) (Xc, Yc) (Xd, Yd)
然后是两类约束条件：
（a）圆圈约束:
Xp^2 + Yp^2 = Yf^2 + 3^2
Xc^2 + Yc^2 = Yf^2 + 3^2
Xd^2 + Yd^2 = Yf... 阅读全帖 |
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m**k
发帖数: 18660 | 23 这不算很难的题啊.
你就是打开方式不对你还不承认.
这么大表达式 我都没勇气输入计算机
对了 什么软件可以算多项式啊 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 24 我想要回答的问题，就是为啥打开的方式不对？
因为中小学数学学的所有的东西，基本上后来都有用（也就是哪些工种
用哪些的问题）。。。唯一的例外，好像就是初中的欧氏几何难题（指
超越一般理解几何的需要，以及为解析几何打基础的部分）。。。为啥？
btw：多项式乘法的各项系数，就是个矩阵代数的问题，你可以直接用
任何矩阵代数软件。。。当然也有专用软件。。。 |
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m**k
发帖数: 18660 | 25 代数计算 也是计算
属于完全抛弃数图关系的算
比算数高级一点有限啊
而且多项式相承 系数可是指数性增加啊
这难道和练一样练耐力吗
还有我不觉得那个斜角坐标系在这里用的上啊 因为有角 一压扁 角就不等了啊
其实初等代数说回来 没有啥难度
难的就是三次方程那种玩变化 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 26 代数建模以后，当然要抛弃原始的数图关系。。。这不是您老一向
推崇的 “抽象” 么？。。。难道把鸡兔同笼写成方程之后，一边
解方程的时候，一边还关注鸡和兔子在同一只笼子里不得不说的
故事么？。。。
对于斜角坐标系，你没看出来 角PCB，是斜角坐标系里面相对横轴
的角。。。而 角BAP，是斜角坐标系里相对纵轴的角？。。。这俩
不是特殊角么？
另外多项式相乘，系数当然是指数增加。。。所以计算顺序
/ proof path 很重要，延迟进入高次表达式。。。
当然这题的解析几何解法，也就是看看，知道存在解，如何解，而不是
真的去硬算。
其实我觉得你没有理解我的意思。。。我不是说，这道题用解析几何
是个好的方法。。。我的意思是，对于一般的娃，学完解析几何前，
这种平几难题，也就是个 tricky 的兴趣题，没必要作为 requirement
。。。当然，这最终取决于小时数。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 27 我刚才突然想到，除了我前面说的能学到的东东以外，在这个
大式子里，最明显直接有用的可以看出来的是：
如果万一发生 Kpab 和 Kpcb 两个斜率不相等的话，那就应该
去找 Kpab / Kpcb 的比例函数关系，而不是 Kpab - Kpcb
的差值函数关系。。。因为在这个式子里，比值函数明显比
差值函数要简单（不用两个多项式分数通分了）。
实际上，这个两个角度正好相等的情况，基本是凑出来的。
现实世界的问题不会那么巧。。。但现实世界的问题也不会
是纯粹的随机问题，所以在计算两个角度的关系的时候，
就出现了：
是选算两个角度本身的差值函数呢？
还是算两个角度本身的比值函数呢？
还是算两个角度所对应斜率的差值函数呢？
还是算两个角度所对应斜率的比值函数呢？
上面这个还是要选个简单点的，毕竟计算机的计算能力也不是无限的，
特别是迭代算法这种算无数次才出结果，或者 cost function
算无数次比较选择优化解的算法。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 28 俺回来润色一下哈：
（1）设圆心为 O 点。
（2）设圆的半径为 1。
（3）设直角坐标系原点在圆心 O 点。
（3）设 OB 的斜率为 K1。
（4）设 OP 的斜率为 K2。
（5）然后因为要求证 EF*CD == AC*BD，为了避免根号数/根号项，
那就两边平方一下（numerical analysis 的一招鲜 trick 之一）。
改成求证 (EF^2)*(CD^2) == (AC^2)*(BD^2)。
然后俺目测了一下，基本可以 “一条勾股定理 + 一些二元二次
多项式” 打天下了。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 29 当然，俺知道过一会儿欧几里德那哥们又会来问：这繁复的计算，跟新数有啥
区别嘛？
不过欧几里德这哥们，问这问题的背景，多半是因为电算原理那门课，欧几里德
那哥们没考及格。。。欧几里德哥们特么不知道证明俩多项式等价（不要说二元
二次这种简单情况的），现代计算机的符号计算做不到这点的话，全世界的软件
公司统统关门破产算了。。。另一方面，transcendental 的某些“灵巧办法”，
虽然肉算看着省力，电算就不好说了。。。当然，欧几里德这家伙既不会写 Java
也看不懂 Perl。What do we expect 嘛。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 30 等我有空去改进那个解析几何算法，看看能不能避免根号，弄成多项式。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 31 我觉得我可以改进的地方，可能是别把圆的半径设为 1。
我觉得可能这么设参数更好些（圆心为 O)：
（1）直角坐标系原点在圆心 O。
（2）x 轴平行于线段 AB。
（3）设 F 的坐标为 (1, Yf)。Yf 是参数。
（4）设 P / C / D 点的坐标分别为 (Xp, Yp) (Xc, Yc) (Xd, Yd)
然后是两类约束条件：
（a）圆圈约束:
Xp^2 + Yp^2 = Yf^2 + 3^2
Xc^2 + Yc^2 = Yf^2 + 3^2
Xd^2 + Yd^2 = Yf^2 + 3^2
（b）三点一线约束：
(Yp - Yf) / (Xp - 1) = (Yd - Yf) / (Xd - 1)
(Yp - Yf) / (Xp + 1) = (Yc - Yf) / (Xc + 1)
（对角相乘变成多项式）
然后把求证的改成 quadratic length，也就是计算：
(AC^2)*(BD^2) - 4*(CD^2)
结果应该 = 0
不知道是不是可行。。。
再想想能不能更简化。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 32 我在猜这道题在解析几何的基础上，是不是可以用微积分
来降阶求解/求证？
因为如果 F(x1, x2, x3, ...) == Const，那么
其充分且必要条件是：
dF(x1, x2, x3, ...) / dx1 == 0
dF(x1, x2, x3, ...) / dx2 == 0
....
这样把一个多元 N 次方程，降阶为 N 个多元 N-1 次方程。
这个过程是不是迭代，然后 recursive down 而可以用
电算证明？
如果能证明是 Const，那就随便选一个点计算一下差值为零？
我觉得我可以改进的地方，可能是别把圆的半径设为 1。
我觉得可能这么设参数更好些（圆心为 O)：
（1）直角坐标系原点在圆心 O。
（2）x 轴平行于线段 AB。
（3）设 F 的坐标为 (1, Yf)。Yf 是参数。
（4）设 P / C / D 点的坐标分别为 (Xp, Yp) (Xc, Yc) (Xd, Yd)
然后是两类约束条件：
（a）圆圈约束:
Xp^2 + Yp^2 = Yf^2 + 3^2
Xc^2 + Yc^2 = Yf^2 + 3^2
Xd^2 + Yd^2 = Yf... 阅读全帖 |
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m**k
发帖数: 18660 | 33 这不算很难的题啊.
你就是打开方式不对你还不承认.
这么大表达式 我都没勇气输入计算机
对了 什么软件可以算多项式啊 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 34 我想要回答的问题，就是为啥打开的方式不对？
因为中小学数学学的所有的东西，基本上后来都有用（也就是哪些工种
用哪些的问题）。。。唯一的例外，好像就是初中的欧氏几何难题（指
超越一般理解几何的需要，以及为解析几何打基础的部分）。。。为啥？
btw：多项式乘法的各项系数，就是个矩阵代数的问题，你可以直接用
任何矩阵代数软件。。。当然也有专用软件。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 35 当然俺那个导出也是借助了很多先验信息的，毕竟俺不是也不需要
re-invent wheel。
俺其实借助的是 “微分/差分 => 多项式降幂” 的先验信息，以及
对于等差函数前 n 项和的 n*(n+1) 的求间隔为 1 的差分的
“移位对称性”（这样可以用 distributive property 简化
合理猜测的复杂度）。
但我觉得那些先验信息属于一般性概念。如果能从特例题目里
帮助对一般性概念的理解，那其实对普通人的数学，足够了。
从这个角度说，我其实有点反对某些数学题里面某些 “特别巧妙”
的解法。。。用一个工程术语的类比，我觉得那种 “特别巧妙”
的办法，属于教育学上的 “over-engineering”。。。 |
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p**s
发帖数: 2707 | 36 你的方法需要多项式的知识，我是不主张小学教代数的。我说的方法，思路是基于
1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/(99*100)
这是很基础的小学竞赛题 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 37 我刚才误以为你这个是拷贝加拼接搞成一个长方体的算法。。。sorry 俺是水车
回帖不看帖。。。
你这个算法的话，算下来应该是
1*(N-0) + 3*(N-1) + 5*(N-2) + ... + (2*k-1)*(N-k-1) + ... + (2*N-1)*1
如果只做多项式的线性变换的话，好像还是没法降幂去掉 k 的二次项？ |
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t*******r
发帖数: 22634 | 38 我刚才又看了一下你的式子，其实你这个式子：
1*2 + 2*3 + 3*4 + ... +n*(n+1)
是 C(n+2, 3) 外加第二第三个交换一下成为部分 permutation
的 decision tree（partially ordered list，第一个要求最大，
后面的无所谓顺序，求所有可能的排列）或者反过来写：
2*1 + 3*2 + 4*3 + ... + (n+1)*n
根据 combination/permutation wo/ repetition 的理论：
1*2 + 2*3 + 3*4 + ... +n*(n+1)
= C(n+2, 3) * P(2, 2)
= P(n+2, 3) * P(2, 2) / P(3, 3)
= P(n+2, 3) / ( P(3,3) / P(2,2) )
= (n+2)*(n+1)*n / 3
这个也可以写通解：
1*2*3*4*5*6 + 2*3*4*5*6*7 + ... + n*(n+1)*(n+2)*(n+3)*(n+4)*(n+5)
= C(n+6, 7) * P(6, 6)
= P(n+6, 7) * P(6... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 39 因式分解 (factorization) 的结果表达式树的最接近 root 那层的算子是乘法吧。。。
另外俺们初二教的应该是多项式因式分解 polynomial factorization |
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t*******r
发帖数: 22634 | 40 所有竞赛用得到的多项式级数求和的公式，你都记住了？随便来一个吧。。。
1^7 + 2^7 + 3^7 + 4^7 + ... + n^7 |
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o******s
发帖数: 1364 | 41 我作为教偏微分方程和非线性理论的人来说两句吧。当然牛人教数论哈。
算得快不等于数学好，或者对数学理解好。其实凑整是对思维的一种训练。你可以说这
种思维99％的小孩长大用不上，我不反驳。但是如果不给大家从小打基础，那1％的小
孩就受不到这样的训练。
这种训练的本质是在复杂的数字和符号中寻找规律，不是靠简单算式背出来的。就像学
高点拆分多项式，更高点在常微分，偏微分方程里面找协调解，或者在动态系统中找
equilibrium，然后对这些规律进行分析。
偏微分方程和动态系统用的人不多，那么常委分呢？是个工程的本科就得学吧。小孩要
是往这个方面发展，多打好基础不吃亏。
我不是100％生搬硬套得支持common core，但是出发点得逻辑是正确得。 |
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o******s
发帖数: 1364 | 42 顶。本质要讲，之后要靠训练飞跃。但是到更高层次还得回到该层次的本质重来分析，
再达到下次飞跃。
比如简单的说，刚开始10味凑整，飞跃以后到拆分多项式再来一次。后面的坎还多着呢。 |
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o******s
发帖数: 1364 | 43 在这里：http://www.corestandards.org/Math/
wiki的介绍太笼统，作为政治指导的意义比作为内容的介绍更多。
我看了具体到每个年级的要求，其实就是inquiry based learning在小孩那个年级的体
现。这里老师和家长要辅助小孩自己达成这些quest，每一个知识点就像玩游戏过关一
样。很重要一点是小孩自己能justify答案为什么正确，也就是这页最下面说的
mathematical understandings and procedural skills are equally important。刷
题的着眼点在procedural skill上面去了。当然也有人说刷着刷着刷出感觉自己就有
mathematical understanding了，但是毕竟是少数。这个标准的目的是让大家都往
mathematical understanding的方向靠拢。那个大标题下面一行小字说preparing
america‘s students for college and career我看着眼点还是准确的，因为这种
critical thinking就... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 44 我上面说的太云里雾里。我觉得要么举一个实际的例子，比如上次欧洲妈妈
那个圆/椭圆解析几何方程题，还有我也不知道为啥要人背诵二次方程求根
公式，等等等等。
我觉得绝大部分跟二次函数/方程有关的玩意儿，八九不离十就是凑
Vertex Form of Quadratic Functions。从 vertex form 直接抢滩
就完事了，相关课程直接免修。
其实 vertex form of quadratic functions 也不用学，也就是 多项式
+ 分配率 + 变量替换 + 坐标系移轴。也就是抢滩速度慢点。
当然，说也就是这么说。就这么简单的玩意儿，教会普通白纸娃还是不容易的。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 45 多项式级数前 n 项和，差分规约连拼带凑就完事了。比凑 vertex form of quadratic
function 稍微复杂一点点，凑的思想的本质差不多，也是体力活。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 46 多项式级数求和也可以用组合公式反建模规约。比如把 C(n, 3) 按 decision tree 展
开。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 47 perceive combination as ordered list, count decision tree, you have:
C(n,3) * P(2,2) = 2*1 + 3*2 + 4*3 + ... + (n-1)*(n-2)
C(n,2) = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1)
这样就能把多项式级数求和，用 “代数” 加 “组合模型反建模”，转化为组合公式。
其实看方格凑组合公式，属于幼儿园 GT 班扭扭捏捏过家家。成人就直接上代数、数学
建模/反建模，啪啪啪完事收拾书包走人。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 48 把 permutation 展开，得出：
C(n+2,3)*2 = 1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n+1)
C(n+1,2) = 1 + 2 + 3 + ... + n
-----------------------------
distributive 第一个式子（第二个式子不变），得出：
C(n+2,3)*2 = (1^2 + 2^2 + ... + n^2) + (1 + 2 + ... + n)
C(n+1,2) = 1 + 2 + 3 + ... + n
-----------------------------
第一个式子减去第二个式子（外加左右交换），得出：
1^2 + 2^2 + ... + n^2 = C(n+2,3)*2 - C(n+1,2)
（下帖展开成多项式） |
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t*******r
发帖数: 22634 | 49 由上贴：
1^2 + 2^2 + ... + n^2
= C(n+2,3)*2 - C(n+1,2)
= P(n+2,3)*2/P(3,3) - P(n+1,2)/P(2,2)
= (n+2)*(n+1)*n/3 - (n+1)*n/2
= n*(n+1)*((n+2)/3 - 1/2)
= n*(n+1)*(2n+1)/6
这个应该是对的？TMD 难道我昨天算格子的时候，算个平方级数，没支票
就算错了？
另外这个看起来繁琐，是因为我应邀做详尽解释。实际上直接从上面那个
帖子开始推导，前面都不用管，总共四步也很快出货了。
理论上可以凑出所有的多项式级数。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 50 这个其实还不是特解，这个是通解。我第一个式子里给了 k of N，实际上
拼拼凑凑可以解所有的多项式级数求和，还是 GPS guided directional
attack。稍微有点繁琐就是，但不必记忆公式了。
这个邪门解法，确实是我自己没事瞎折腾的。竞赛都是死记硬背公式更快。
但人生闲着也是闲着不是？瞎折腾也是生命的一种表现形式不是？ |
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