a*****g
发帖数: 19398 | 1 高等数学有什么用？zz
来源： 康宸的日志
高等数学有什么用？很多人问过我这个问题。其实大多数人在问这个问题的时候，心里
已经预设了否定的答案。确实，对于大多数人来说，已经发展到了连数字都基本很少用
了的一些高等数学分支，是过于虚无飘渺了。但是实际上，今天我们的生活已经完全离
不开数学。甚至可以这么说，没有高等数学的发展，就不会有今天的现代社会。
也许很多人会怀疑这点，那么我就来稍微介绍一下现在高等数学的各主要学科的“用处
”。初等数学就不说了，一些如离散数学、运筹学、控制论等纯粹就是为了应用而发展
起来的分支也不说了，重点介绍基础方面的。
数学分析：主要包括微积分和级数理论。微积分是高等数学的基础，应用范围非常广，
基本上涉及到函数的领域都需要微积分的知识。级数中，傅立叶级数和傅立叶变换主要
应用在信号分析领域，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控等，电子产品的制造离不
开它。
实变函数（实分析）：数学分析的加强版之一。主要应用于经济学等注重数据分析的领
域。
复变函数（复分析）：数学分析加强版之二。应用很广的一门学科，在航空力学、流体
力学、固体力学、信息工程、电气工程等领域都有广泛... 阅读全帖 |
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n***p
发帖数: 7668 | 2 初等数学最让一部分人着迷的地方就是，因为只用到初等知识，每个人都能理解。高等
数学就
基本上是另一回事了。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 3 我觉得就证明而言，美中的小学数学都不太行。
我觉得不是证明本身不好，而是局限在初等数学（比如欧氏几何）这类不完备系统（从
现代数学角度看），搞过多偏门的证明题，有回字九种写法之嫌。。。外加大部分学生
不是去搞奥数的。。。
另外就是证明的精神 -- bring non-obvious to obvious -- 强调不够。。。 |
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s****0
发帖数: 956 | 4 谁初等数学厉害的，把这道题给解一下，这个不是中国的，是美国的。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 5 时代发展了，以前我们大学一年级的微积分，现在看起来应该算初等数学了。不过一大
堆偏门微积分推导题，也变得成鸡肋了。
不过人类总是后浪推前浪的。。。前浪只好活到老学到老。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 6 其实我觉得美帝在对于中产阶级，已经在往共产主义迈步了。。。美帝中产阶级，在同
一工种内，收入差别区别越来越小，即使收入多点也搞得没法存多少下来。。。将来搞
不好在中产屌丝阶层，大伙儿哄抢的，不是收入高 10% 的职位，而是开心程度 2x 的
职位。。。
可能马克思是对的，共产主义会在最发达的资本主义国家先冒头。。。列宁这这傻叉，
是不是初等数学没学完整，就去读群论，还不懂装懂？
// 哈哈，我 run 了 |
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B********d
发帖数: 1893 | 7 微积分最难过的坎儿，不是那些公式，而是积分以及求微分，又求几次微分的概念，如
果一个学生对于这些概念在自己脑子里有非常准确巧妙的理解，微积分对于他来说，就
是初等数学了。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 8 你俩说的都有道理。其实都有 correlation，区别就是 correlation 到底
有多大的问题。。。另外其实初等数学跟高等数学也不完全一样，高等数学跟
信息学也不完全一样。。。另外对体力的要求的不太一样。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 10 I see。其实应该叫 upper bound 和 lower bound，这样不一定要实数集上。虽然数学
分析多半是实数集上，但离散数学也可以在任何有序集合上，当然不一定有极限的概念
就是了。
其实你说的单调递增有上界数列的证明，一点儿也不错。。。但对马工来讲，这个也太
定性不定量了。computable 的要求，至少毛估也要稍微估一下，虽然大部分情况下，
确切估计收敛速度也是基本不可能。。。当然，初等数学定个性就好了。逻辑本身更重
要些。。。 |
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m**k
发帖数: 18660 | 11 基本还是不同深度吧。说起来。初等数学就那么多东西 (new math除外heihei) |
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t*******r
发帖数: 22634 | 12 马克兄过奖了。。。其实俺是因为把初中平几给忘光了，于是想准备
一下如果娃需要讨论。。。所以俺想用解析几何和高等数学帮忙总结
题型。。。因为先用初等数学解题，容易导致思维定势。所谓我先叛
逆一下吼吼吼。。。
对于俺前面说的，第三类的圆和弦的问题，四点共圆的托勒密定理，
似乎是三角（trigonometry）在平几的范畴内的表述。（四点共圆
的其他定理都可以转换成三角形，当然，背定式加快解题）。
所以看起来题型貌似是三种，俺重新润色一下题型的初等几何表述，
以及对应的解析几何/三角/离散数学的影子：
（1）三角形内外角问题。等边/直角，以及边角关系的全等。等等
等等。计算/求证角度，或者求证某些长度相等。
（对应于 transformation geometry 里面的 symmetry /
reflection / congruence 等等问题）。
（2）斜率问题和勾股定理，及其转化成的三角形相似问题，求证角
度相等。
（对应于解析几何里，直角或斜角坐标系里的斜率问题。斜角坐标系
限制于一些特殊角）。
（3）圆和弦的问题，四点公圆，托勒密定理。
（除了三角形内外角问题以外，难题多半是对... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 13 马克兄过奖了。。。其实俺是因为把初中平几给忘光了，于是想准备
一下如果娃需要讨论。。。所以俺想用解析几何和高等数学帮忙总结
题型。。。因为先用初等数学解题，容易导致思维定势。所谓我先叛
逆一下吼吼吼。。。
对于俺前面说的，第三类的圆和弦的问题，四点共圆的托勒密定理，
似乎是三角（trigonometry）在平几的范畴内的表述。（四点共圆
的其他定理都可以转换成三角形，当然，背定式加快解题）。
所以看起来题型貌似是三种，俺重新润色一下题型的初等几何表述，
以及对应的解析几何/三角/离散数学的影子：
（1）三角形内外角问题。等边/直角，以及边角关系的全等。等等
等等。计算/求证角度，或者求证某些长度相等。
（对应于 transformation geometry 里面的 symmetry /
reflection / congruence 等等问题）。
（2）斜率问题和勾股定理，及其转化成的三角形相似问题，求证角
度相等。
（对应于解析几何里，直角或斜角坐标系里的斜率问题。斜角坐标系
限制于一些特殊角）。
（3）圆和弦的问题，四点公圆，托勒密定理。
（除了三角形内外角问题以外，难题多半是对... 阅读全帖 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 14 当然目前这个的缺点是，AMC / AIME 只限于初等数学，不适于加速学习高等数学/离散
数学的高中生。。。MPAA 应该搞个针对高中生的高等数学/离散数学竞赛，以降低考试
系统的 false negative 埋没人才。。。而不是光看人肉积分器型的 AP 课程 GPA。。。 |
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t*******r
发帖数: 22634 | 15 好吧，解释一下 decay 的意思和我认为的原因：
我个人觉得，decay 的原因，是从当前认知阶段到下一个阶段，去下一个阶段
所必需的，不仅仅是上一个阶段为下一个阶段所 build up 的 knowledge/ability
（tangibles），还需要上个阶段为下一个阶段所 build up 的 teachable
（intangibles）。
而当 knowledge / ability 是 ready，但 teachable 不 ready 时，
发生 decay。之所以说是 decay，因为大部分人只看到 tangible，而
看不到 intangible，所以误以为是 ready 的情况下，但不能 proceed
forward。
从这个角度说，decay 是必然的，因为人类的认知能力不是无限的。举个例子
说，IMO problems，其知识仅仅限于初等数学，但绝大部分人在 IMO problems
面前，基本是 non-teachable。（当然你可以说 IMO 金牌得主，但还有天顶星
人不是？）
而认知到 decay 的必然性，这并不是一件沮丧的事。这至少说明已经是... 阅读全帖 |
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d**********h
发帖数: 2795 | 16 问个问题
加法，什么时候说plus，什么时候说add
减法，minus和subtract，孩子倾向后者，我习惯前者，为啥？
是不是初等数学和高等数学的区别
比如乘除的符号在代数阶段就被小点儿和/代替了，不会写x和÷ |
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A**H
发帖数: 4797 | 17 我只要知道一种方法就行了，最好是初等数学方法。。。LOL |
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A**H
发帖数: 4797 | 18 我只要知道一种方法就行了，最好是初等数学方法。。。LOL |
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b****e
发帖数: 1569 | 19 数学好的孩子，是因为天生逻辑区比较发达，导致了数学这门课学起来易如反掌，比普
通人优越的多，而不是先逻辑差，学完了数学就变得逻辑好了。
不是所有逻辑好的人都能学好数学；但数学好的人逻辑不会比普通人差，记忆也不会比
普通人差，差异是从起跑线就开始拉开了的，只不过初等数学里，全部靠记忆而显示的
不明显而已，到了中学，需要理解和深化的思维部分，就会慢慢拉开档次了。 |
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x*******n
发帖数: 503 | 20 你要建立一个好的起点，是为了支撑未来的难点的，而不是今儿这道题会了，就算万事
大吉了，这道题后面引申出来的题目你还是不会啊
说到算术数数这部分，刚看到潮水提到要一个一个的数，超过20个的数数，脚趾头上都
不够用了，要给娃娃建立一个shift的概念， 就是shift一位以后，digit和单位数的递
增是一样的，这样，娃娃只要会用手指头数出来0～9就足够了，其余的靠shift就足以。
这个shift概念的引进，会带来对加减乘除的更好理解，都要用到shift这个操作。
这个其实后来用到计算机领域的二进制，都是靠shift来实现字节增补和减退的。
你们总觉得数学难，其实你帮小孩搞清了基本概念的，用到博士毕业都够
谁熟悉common core的给说一下，common core怎么处理这个数字递增的？多谢了 |
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x*******n
发帖数: 503 | 22 这个term只能解决数数问题，或者告诉你左边如何如何大，别的问题都解决不了，
shift是一种广义上的操作，能用到很久很远很宽的范畴，你来看这张图，我记得我上
高中的时候，对这种几何图形的移动的计算，无论是圆还是椭圆，都是手到擒来的，没
有任何障碍和阻力，大概跟baby时代，家父建立了shift数字的概念有很好的关系
（当然也许是我逻辑区比较强大， ^_^） |
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C*****d
发帖数: 2253 | 23 似乎有点明白你说的是什么。
数学系统本身其实是独立于描述方式而存在的。
比如一个曲线，搞不同的坐标系有不同的表达，但是本质是一致的。
另一个代表就是线性代数，搞来搞去就是同一问题在不同矢量空间的映射。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 24 line structure 上的 shift operation 确实是一个 super operation。
对于真正理解 place value，这个 shift 比 number line 其实更复杂。因为 place
value 的两面性，一面是数值 (value)，另一面是字符串 (place value 的数学大名词
是 positional notation system)。
我觉得要分阶段来，小学低年级完全搞清楚，还是有难度的。
在 pre-algebra 阶段，我目测 AMC 8 有些不错的题目，比如 palindrome 有关的，2
3 5 7 divisible rule 有关的，一大堆数字运算求某一位，或者某种通过判断奇偶性
整除性来选，等等等等。在于蒋军的斗争中学习，也是一种办法。 |
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x*******n
发帖数: 503 | 25 一个很基础的概念，如果你真的渗透彻底而精确的话，能从baby时代，就走遍天下全无
敌的，你再看看这张图：
（那些强行逼迫娃娃从1数到20的，再数到100的，都是自己就对数学都一窍不通的瞎扯
淡的，这就不叫坑爹了，爹坑娃了）。
你酷爱读书的人，应该知道springer出版社在欧美学术界的权威性了。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 26 另外你这张图上面，shift 应用在 vertex form of quadratic function，及其
analytic geometry 表达。
这个几乎是二次函数里最最重要的概念。比记忆求根公式重要一万倍。 |
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x*******n
发帖数: 503 | 27 你先把AMC抛开一分钟，好不好？现在只讨论初等代数， 给baby用的
小学生搞不懂，一方面自己没学到（客观原因），但另一方面是大人自己也没搞懂啊（
主观原因）
我爸爸当时就用两根筷子就把这个shift问题给解决了，就是告诉我，左边可以一个一
个大下去，右边都是一样的从0-9嘛， 左边就继续往下填嘛。。
你再拿第三根筷子，不就一下子说通了嘛？
2 |
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x*******n
发帖数: 503 | 28 shift的原理就在于不管你shift了上下左右了多少，最后follow的机制算出来的本质是
不会变的，连形状都不会变的， 变的只是数字本身，
就像筷子一样，左边可以一直shift下去到无穷大，（当然了，给baby其实两根筷子就
够了，实在不行，再加一根），但物理意义无论放在哪个深度和广度的应用，都是不变的 |
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h**w
发帖数: 4510 | 29 强烈要求展开说说这个筷子法。 没看懂＂左边可以一直shift下去到无穷大＂
变的 |
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t******l
发帖数: 10908 | 30 单纯的 shift 本身，并不是那么复杂。复杂是在于 super operation 的结合运作。
比如说 AMC 8 的一道简单的题目，记忆中是 palindrome 2002，按数值从小到大而言
的，下一个 palindrome 是多少？(当然选择题有出题 trick，不能在选择支出现，我
略去了出题 trick)。
这道题可以直观目测求解。但如果用 property/operation 的概念求解的话，三个
property，(1) place value，(2) ordered，(3) symmetry constraint。这样导致 1
不能加在个位，而要 shift 一下，加在十位。
所以是 combine 以后造成的复杂度。跟足球一样，不过足球是自己 combine 自己 (指
自己的 implementation)。 |
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C*****d
发帖数: 2253 | 31 这个其实也挺深的，比如物理体系里unit的概念。
unit本身是不重要的，重要的是不同量之间的关系。
是可以讲给baby听，但是是不是真明白，还是baby说了算，不是老妈说了算。
变的 |
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w**d
发帖数: 2334 | 32 keep adding chopsticks, i guess |
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w**d
发帖数: 2334 | 33 that is because any two vector spaces of dimension n are isomorphic. |
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x*******n
发帖数: 503 | 34 你会数0～9就够了，左边的每增加一位也是从0～9的呀，baby能理解到二位数和三位数
都是靠shift增补进行的操作，这一个小步骤，就足以应付到上中学了。一般说来，小
学生不会有太大的数字运算。
数字本身就只是数字而已，你就算会数到1000都没用，仅仅是被大人强制性的机械性而
已，跟在海边训练阿狗去嘴刁排骨，然后主人给一块奖赏，都是完全一样的原理，对
baby的智能和未来的对数学的解读，一点用处都没有。
就像我几个月前提到的，你不需要刷100道题，你只刷10道，知道后面的90道都是一样
的步骤和顺序，只是数字本身切换了罢了。 |
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C*****d
发帖数: 2253 | 35 这就是我说的，你要说一下这个概念很简单，
但是本科的线代，为什么有人会考不到满分呢？ |
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h**w
发帖数: 4510 | 36 明白了。这样的话，其实用算盘会不会挺好？有十进位的就可以了。 |
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x*******n
发帖数: 503 | 37 是我表达的不清楚， 我的本意是想说，你会数到1000并不意味着你对初等代数本身具
备了认知能力了，而是baby被“爹坑的”当成小狗那样的机械训练－－－人毕竟不是狗
，也不是机器，早晚随着身体的发育，大脑要逐步走向智能化的。
所以，筷子这个就是建立一个起点， 你不需要真的把脚趾头都算上，一个一个地数到
20，而是你可以用增加一个筷子，来自动增补一位数，前提是你得会数0～9， 可这个
操作，所有的baby都会的。但不是所有的baby都能数到1000的，即便真数到了，也不能
说明啥。。。 |
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l**********s
发帖数: 116 | 38 呵呵，想起一个不断shift的有趣问题
希尔伯特旅馆悖论
高大上之后可以论证上帝的存在
:) |
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x*******n
发帖数: 503 | 40 我确实很早就接触算盘了，算盘真的很有用，记得学校还有这门课的要求会算盘的，
二战后，解读密码，都是靠算盘来运转的，那时候还没有高效率的计算机，就是靠
shift一个一个的算的，算盘的缺陷就在于 1）浪费时间，2）不能存储 3）无法回头纠
错，没法修改。
计算机就是利用缓存区和物理的磁盘，来补偿了这些缺陷 |
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w**d
发帖数: 2334 | 41 math is not only about concepts, and it needs skills/tricks as well, very
often a great deal of tricks. |
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x*******n
发帖数: 503 | 42 问题是baby这个人，还需要对数学概念进行了解啊
shift只是我举出来的例子之一，还有很多其他的代数概念要科普的，也不都是算盘能
搞定的啊。。。 |
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t******l
发帖数: 10908 | 43 isomorphic 这个词对娃有点难，老实说我都不行。
我觉得中小学数学教育方面，一个折中的办法是用个喜闻乐见的词 distinguishable (
其实也算一个 super operation)。
当然缺点是有二义性。但完全没有二义性会有艰深化的副作用。我觉得就折中一下。 |
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C*****d
发帖数: 2253 | 44 这个我和你看法不同。
一般的考试，我觉得还是concept对了就够了。
skill/trick基本是专业竞赛才需要。 |
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w**d
发帖数: 2334 | 45 it is not for kids - typical kids, to be more precise.
( |
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t******l
发帖数: 10908 | 46 个人觉得，一般的考试，是概念加熟练。
一定程度的熟练还是必要的。熟能生巧。
当然 common core explanation 现在不太一样就是了。 |
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C*****d
发帖数: 2253 | 47 最近看书，学到一个有趣的点。
原来computer，最早指的都是人，还都是女人。
专门雇来用西式算盘算数的。 |
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l**********s
发帖数: 116 | 49 买卖提之前有篇文章讲计算机发展史的
比如机械计算机时期的马工都是满手油腻，扳子钳子的debug :)
图灵二战破德密码也很好玩:解sparse matrix，最后还是靠着“嗨，希特勒”的敌人不
良习惯才破译了
蛮有意思的 |
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w**d
发帖数: 2334 | 50 well, it depends what you mean by "一般的考试". Of course, I always gave in-
class exams which do not need tricks at all. But for taken-home exams, it is
totally different story. Try this one:
A & B are both n-by-n real symmetric semi-positive definite, show |A+B|>= |A|
I gave this problem before, but nobody got it right. guess it is b/c our
school isn't good enough. |
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