d**********h
发帖数: 2795 | 1 没有细证，
已经last try了，不能再last last try 了
:)
这个问题的最大困难就是不知道啥推论可以用，所以只能回到最基本定义，这就弄得每
一步都要细扣着证明
比如那个三角不等式，我觉得是可以用的，但是严格讲，用之前我要证明之。。。 |
|
x***1
发帖数: 999 | 2 A和B正定，A＊B的特征值大于零，但不一定正定。
it
is |
|
|
x***1
发帖数: 999 | 4 A对角化以后，对角线全为正，B对角化以后，对角线全为正，那么A＊B先分别对角化，
结果对角化以后，对角线全为正，只不过不对称，不正定。
it
is |
|
w**d
发帖数: 2334 | 5 you need this in your proof of AB has only positive eigenvalues. Go to your
original post - the long one, you'll see what i mean.
proof: x QBQ' x' = yBy'>0, with y = xQ. |
|
w**d
发帖数: 2334 | 6 A, B can be diagonalized by the same matrix iff AB = BA. Here, we talk about
similar transformation, not congruent transformation. |
|
A***u
发帖数: 3714 | 7 好的，谢谢， 那个turing电影我看了，真的好看。。。
我在中学的时候数学非常好。。。哇哈哈。。不知道为什么。。
但是物理到高二的时候，不行了。。。我现在怀疑那是不是我的青春期到了。。
从小到高中毕业，我是快乐中度过，，太快乐了，结果高考悲剧了。。。 |
|
|
x***1
发帖数: 999 | 9 A^(-1)=P'WP, 其中P^(-1)=P'
B=Q'ZQ, Q^(-1)=Q'
那么，
A^(-1)*B=P'WPQ'ZQ=Q'QP'WPQ'ZQ＝Q’QP’WZPQ’Q=Q’(QP’Y)(QP’Y)’Q, 其中Y^2=
WZ
因此，A^(-1)*B的特征值与(QP')(QP')'相等，因其中(QP')(QP')'按照定义为正定矩阵
，所以A^(-1)*B的特征值全部大于零。 |
|
w**d
发帖数: 2334 | 10 If, Q'QP'WPQ'ZQ＝Q’QP’WZPQ’Q, then PQ'Z＝ZPQ’, not true, and you
actually showed that A^{-1}B is symmetric. you can't simply swap the order.
2= |
|
|
d****g
发帖数: 7460 | 12 A BU N CH of NE RDs. :) //run |
|
t******l
发帖数: 10908 | 13 但以俺外行民科的某个角度看，也许就是图灵机把群论域论啥的给彻底废掉了。
（指在实践运用中）。
因为以俺外行民科看，群论域论啥的，说白了就有点像黑匣子角度，把整个
collective object 看成一个黑匣子，研究其外部可以归纳到几个数字/规则
的外特征。
但这黑匣子的问题，是很难为客户量身定做，客户的坑爹要求不一定在你黑匣子
的范畴里。
而图灵机的概念，彻底废掉了黑匣子角度。图灵机的概念，其实是在说，我们
不需要坑爹的 collective rule，我们只需要实实在在的能在每个 element
上操作的 rule。只要有 element-rule，我们的图灵机不怕苦不怕累，用体力
就能把 collective 上的 problem 给解了。
当然这带来了一个新问题，就是解构（decomposition），如何把 collective
解构成 element，然后 apply 回去，这样图灵机就能屁颠屁颠地干活了。
然后 physics 跳出来了，说特么这对我不就是家常便饭么，你把牛三改改不就
完事了么？于是 physics 换了个马甲出来叫 informatics。于是，图论笑... 阅读全帖 |
|
A***u
发帖数: 3714 | 14 干嘛。。
我不是学数学的，你说啥我都没有什么鉴别能力，我也不想去鉴别。。
run什么run, 我会吃了你吗？我有那么可怕吗？我在这个版几乎没有说一个脏字吧。。
也没有什么敌人吧，。。。。我喜欢人陪我聊天。。。
但是我也是有事情要做的人。。。不能这么玩下去了。。。
累死了。。。
你都是码工了，在美国，所有的WSN 都羡慕死你了。。。为什么还有点。。。。。那些
生物男，好多连老婆都保不住。。。太多中国女人虚荣， 贪图荣华富贵了，可是。。
。。哎。。。。。。说多了都是泪。。。
这个买买提被我当游戏机玩了。。。哇哈哈哈。。还挺智能。。。 |
|
w**d
发帖数: 2334 | 15 you swapped Z and PQ'. Also, look at the conclusion u got: A^{-1}B is
symmetric! |
|
x***1
发帖数: 999 | 16 有点晕。从最开始：
A^(-1)=P'P,
B=Q'Q,
那么，
A^(-1)*B=P’PQ’Q=Q^(-1)QP’PQ’Q=Q^(-1)QP(QP)’Q
因此，A^(-1)*B的特征值与(QP')(QP')'相等 （相似），因其中(QP')(QP')'按照定义
为正定矩阵，所以A^(-1)*B的特征值全部大于零。
没有必要P'=P^(-1). |
|
|
|
|
C*****d
发帖数: 2253 | 20 其实这个到让我想到另一个问题。
现在电算能力爆长之后，
很多以前的特别elegant的特殊情况的意义越来越弱了，
学一下麦克斯韦方程，人人就能用有限元算结果了，
工程技术越来越像麦当劳翻大饼了。
搞STEM好像越来越没劲了，
本帖的NERD们都怎么看？ |
|
|
x*******n
发帖数: 503 | 22 你这么爱慕AMO，我告诉你吧，A大爷， 其实AMC和AMO都是类似脑筋急转弯那类的，对
理论本身的要求并没有特殊的奥秘。。。而且这些题目的孩子，我都接触过，都是平时
做这种脑筋大爆炸题目就很酷，也有强力兴趣的。
题目本身侧重点在于巧取和智取，至于知识面，都是那点，你想，你能让大学里的泰勒
级数给个高中生拿去做竞赛吗？ 没必要啊，如果那样的话，就全面扩大到大学竞赛了 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 23 我觉得需要另一个能力，就是对于老板要求的特别的问题，在给定的出货时间
里面，在给定的计算时空复杂性要求内，快速解构成标准问题求解，然后 apply
回去。
或者说，APhO 的庖丁解牛的能力，比 AMO 的百步穿杨的能力，对大多数 STEM
nerd 而言，可能更重要。
从另一个角度说，在图灵机之后的信息学，本质上是换了个马甲的物理学，而不是
更钻牛角尖的现代数学。
当然这个在 AMC 8 / 10 / 12 阶段倒是没有区别。小学初中连个物理课都没有，
不管是 M 还是 Ph，都差不多。AMC 的主力都在搞建数学模型，也就是还不需要
牛三贝五的阶段。 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 24 AIME & above 确实有非常多的脑筋急转弯。
但 AMC 8 / 10 / 12，至少 1 - 20 题，主要还是基本能力的组合运用/灵活运用，
外加庖丁解牛式的解构/重构。更侧重打基础。
当然，真正 AMC 8 / 10 / 12 竞赛，速度是非常大的因子，外加最后五题拉开差距。
但这没办法，你说费尔不死不比速度的话，那这玩意儿还有看头么？但自家实践时，
做慢点就行了。古人云：你只要不出去比试，难道还担心鄙视？
哥们我觉得 AMC 这玩意儿跟国内数学联赛根本不是一回事。AMC 的全称是 “美国
数学计算题”，哥们看见 “计算题” 仨大字没？ |
|
t******l
发帖数: 10908 | 25 “至于知识面，都是那点”。
老实说，马工上班一万年，基本层面的一招鲜吃遍天的 deep knowledge，到图论（及其
延伸），也就差不多了。（PHD的岗位培训手册先不谈）。shallow knowledge 的话，
需要时 google 一个。将来就算 Google 倒闭，也会有 Zoogle 出现的，说不定还
更智能。基本不会因为 shallow knowledge 而哭晕在厕所的。 |
|
b****d
发帖数: 1311 | 26 这个我知道，不过congruence对角化可以解决这个问题。
A=PCP^T, B=PDP^T, C=diag(c1,...,cn)和D=diag(d1,...,dn)是对角阵，
则det(A)=det(PP^T)det(C), det(B)=det(PP^T)det(D), det(A+B)=det(PP^T)det(C+D)
可证 det(A+B) >= det(A)+det(B). |
|
t******l
发帖数: 10908 | 27 从符号系统上说，我民科觉得在基本的 集合论 / 高中代数解析几何 / 大一微积分-
泰勒-拉普拉斯等等之后，现代数学和现代马工学彻底分道扬镳了。
而这个分道扬镳的最重要的促生因子，我民科认为，概念层次上是图灵机，实现层次上
是超大规模集成电路。具体如下：
数学/物理要往前发展，这符号系统就得支持一层加一层的抽象。不仅如此，
牛顿都要站在前人的肩膀上，这符号系统也得一代一代的继承。
而现代数学，采取了一个大伙儿看起来不明觉厉的艰深办法，但简单而言，就两个
字：“造新字！”。其实这是因为原始人没有灵活可重组的句法文法结构，有个新事
儿，唯一的办法，就是造一个新字。
其实跟古猿不会阿拉伯数字，只会在木头上一道一道的往上刻刀痕，一德行。
现在放眼望去，是不是满树林都是谁的刀痕在飞？
但后来出现了图灵机。 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 28 当图灵机出现的那一天，发生了一件事儿，就是：
佛曰：给我一台图灵机，我就能打印出一个 cosmos。
这天还发生了另一件事儿，就是：
佛曰：给我一台图灵机，我不仅能打印出一个 cosmos。
我还能 testify 这个 cosmos 是不是大伙儿看到的
cosmos。而且大伙儿啥都不用干，喝茶等图灵机结果。
然后有个好事者跑过来问，说那这一层层 recursive up
的抽象符号系统在哪里？
佛曰：你看到的图灵机正在的 shift / reduce 的咔咔
作响的长长纸带，在你眼里真的只是一条一维纸带么？ |
|
t******l
发帖数: 10908 | 29 但图灵机也没解决所有的问题，毕竟那纸带又臭又长，跟裹脚布的差别也不大。
然后出现了一个逃学还振振有词的浪子哥们 -- “信息隐藏原则”。人的口号是：
（1）如果这段纸带我不用改，我不需要看，我直接拿来用，call subroutine
就完事了。学啥学？学个屁！我不学也给老板交差了。
（话说 subroutine 也是一个 on-demand 高级操作符号不是。不过简单，
这高中生都能看懂那个名字和参数不是？）
（2）如果这段纸带我需要改，我也不需要看。我直接扔掉那段旧纸带，然后按
要求和接口标准重新做一条新纸带。旧纸带我根本不看！
结论，所有的纸带我都不需要看、也不需要懂、更不需要学！ |
|
t******l
发帖数: 10908 | 30 不过另一方面，你的观点不无道理。对于基本的大一微积分，以及简单泰勒拉普拉斯
之类的，其实是可以也应该放进比如 AMC 14 里面去的。
因为微积分，其实是牛顿力学最有力的武器。而牛顿力学，是教育建模思想的里程碑
级的东东。
现在没包括进去的原因，我个人觉得是 IMO 的历史造成，毕竟要把各国体制拉在一个
水平线上面比试才比较公平。
不过这边美国的 AMC / AIME 级别的物理竞赛：F=ma exam，听说是 calculus-based。 |
|
C*****d
发帖数: 2253 | 31 这个就是我前面说的啊，到后来所有的纸带都不需要看不需要懂不需要学，这个工作的
趣味在哪里呢？和麦当劳翻大饼的区别在哪里呢？ |
|
t******l
发帖数: 10908 | 32 如果撇开不谈 business 上的问题（business 首先是混，很多东西不一定做得出来），
谈下一代的教育的问题。从这个角度，比如就说这个 Conjugated Gradient 解方程：
马工要解决的是现实世界的问题，这些问题没有证明素数定理那么单纯。我们就先
退一万步，就算 CG solver 能够解出线性方程的理论解，你说现实世界有多少实际
能出货的问题，可以直接建模成无约束条件的线性方程组（鸡兔同笼、小明小芳除外）？
所以通常遇到问题客户大怒的时候，一般都不是 CG 的解的精确度差个多少个百分点。
常常遇到的情况，是客户要把菜放在锅里，而 CG 把结果解在马桶里（很多模型对
实际 constraint 的 handling 就是不对的，没办法，practically computable
/ implementable 的问题，常常也就是赌中率高点低点的差别）。
很多时候目前的 technology 还不一定有啥必杀的好办法。实在不行就只能跟客户说，
你就自己动手把菜从马桶里捞出来，随便洗洗再扔回锅里，烧成一碟回锅肉其实也能
出货卖。然后赌竞争对手的解也在马桶里，或者好点... 阅读全帖 |
|
l******8
发帖数: 1691 | 33 数到100本身就是移位啊。随便哪个娃都是数的过程中就认识到这一点了吧。所以娃知
道移位，数一下就是确认他知道，然后么就是对这个移位熟悉一下的作用。话说你这个
广义的shift很神秘么？ |
|
x*******n
发帖数: 503 | 34 现在是通往智能的第一步，二万五千里长征，才刚刚开始的节奏
真正开始运作翻大饼的时候，还是有其他衍生问题，需要升级解决的，比如efficiency
，frequency，还有设备的维护
打个比方吧，smartphone已经实现并普及了，任务完成了吗？ 其实远没有，电池问题
到现在也没解决，人类要每天都充电，你真正需要的不是这个，而是至少一个星期都不
需要充电，所以更大的投入和研发可以聚焦在电池效率的钻研，而基本的原来用来从事
翻大饼的那些人力物力财力，都可以去搞电池了，早晚有一天电池会被攻克。 电池攻
克了就有新的大饼问题，散热，遥控，等等。
你知道人类终极的智能研发目标是什么吗？ 是机器能浏览你的大脑，并代替你把大脑
里的意念给展现出来－－－所以大饼是永远也翻不完的，都是你踏上了一个新的台阶，
自然有那个台阶衍生的各个品种的检验，修复和维护， 花样年年有，今年不算多。 |
|
x***1
发帖数: 999 | 35 这个证明更好啊，不但｜A+B｜>｜A｜，而且｜A+B｜>｜A｜＋｜B｜。
D) |
|
x***1
发帖数: 999 | 36 依此类推，｜A+B+...+Y+Z｜>＝｜A｜＋｜B｜＋...＋｜Y｜＋｜Z｜，对不对？
其中，A，B，...，Y，Z，满足半正定矩阵。 |
|
C*****d
发帖数: 2253 | 37 彻底晕了，这个A和B都可以用同一个P对角化的根据是啥？ |
|
w**d
发帖数: 2334 | 38 差不多一回事。我更倾向于不直接用这个congruent对角化，而是证明的过程中顺便也
证明这个congrent对角化定理。因为很多地方都不提这个。
D) |
|
|
|
|
w**d
发帖数: 2334 | 42 假设A正定，半正定稍微罗嗦点，本质一回事。
A = P P',
Q = P^{-1},
考虑Q B Q'，还是半正定， 所以 QBQ'= O D O', 这里O是正交矩阵，D是对角矩阵
这样的话： B = PO D （PO)'， 而 A = PO （PO)'，
所以 A和B同时被PO congruent 对角话。
-----------
A 半正定的话，用特征向量组成P矩阵就可以了，其实这样也可以证明正定的情况。或
者用奇异值分解加些添头也可以，都大同小异。 |
|
|
d****g
发帖数: 7460 | 44 讨论一下，一出中学数学题，我就特来劲，特爱做。
碰到这种题，我就不熟了，因为当年高代学了一学期，然后就忘了。。
正常吗？
【 以下文字转载自 Parenting 讨论区 】
发信人: xuem1 (sena), 信区: Parenting
标 题: Re: 说一说初等数学的入门
发信站: BBS 未名空间站 (Thu Nov 5 13:27:41 2015, 美东)
依此类推，｜A+B+...+Y+Z｜>＝｜A｜＋｜B｜＋...＋｜Y｜＋｜Z｜，对不对？
其中，A，B，...，Y，Z，满足半正定矩阵。 |
|
A**H
发帖数: 4797 | 45 我记得小学的时候圆面积是无数个小三角形拼起来的长方形。刚看了wikipedia，发现
还有很多的非初等数学的推导，有些意思。
看样子，我得好好学习对付娃了。 |
|
w**d
发帖数: 2334 | 46 你这个堆起来就用的不是初等数学 - 严格的说，你要取极限的。 |
|
y*******i
发帖数: 361 | 47 前一阵子讨论过初等数学的入门，reference link：
http://www.mitbbs.com/article/Parenting/32664441_3.html
现在说说高等教育的体系， 从我个人比较深刻的生活体验，我想，我是这里最有发言
权的之一。我的情况比较特殊，但正因为这个特殊性，才导致了我能更深入的体验到中
美两国高等教育的差别在深度和广度上的定性。
首先，语言和文字本身的阻碍
我大二就开始准备托福GRE，所以导致了大部分CS专业课的第一语言（对我而言）是英
语，并非汉语。 我无论是学习还是工作期间所能接触到的都是英语文献，有时候突然
看看国内人写的技术教材，我曾经做过几次试验和对比，吃惊的发现，对于同一个难度
的概念，用汉语去理解，我花费的时间，精力，还有认知的深度，都cost几倍。。而且
有些term，我不确定准确含义，我还要找翻译切换成英语，这样马上就知道什么意思了。
到后来，来自国内的一些技术报道，越来越多了，我开始了增多的汉语对科技的阅读，
已经能识别大部分（比较简单）的专业介绍，但我发现，只要往深了描述，我就很容易
瞎在那，要stuck一下，仔细看上下文... 阅读全帖 |
|
k******b
发帖数: 4501 | 48 初等数学和高等数学差别挺大，前者学得好的后者未必学得好。
我记得中学有些以前数学一般的男生，到了高中，立体几何（也许还有解析几何）却学
得很轻松。如果你女儿聪明，那时候天赋会显现出来。
小学计算那些东西不难。如果是粗心什么的，大人不要给太大压力，以免恶化。 |
|
y*******i
发帖数: 361 | 49 这是dartmouth的概率教材（如图），不要告诉我，你指望孩子上了dartmouth college
以后才开始学习这种文字表述， 我都这把年纪了，连我读书的时候，这些基本功，我
都不是在藤校学来的，很小很早就开始了。
学习初等数学的前面，如果铺垫的马马虎虎的话，后面去读高等数学，根本就是读天书了 |
|
t******l
发帖数: 10908 | 50 pre-calculus 在美帝算初等数学。
另外数学系所搞的数学，严格来讲，不仅仅是高等数学，同时还是专用数学(相对“通
用”而言)。因为现在各科更加专业化，数学系也一样。(老实说法拉第要是搁今天各专
业 PHD 牛角尖程度贫困线，估计就是个电工高级技校，run)
而以前我们所说的 “大学高等数学”，其实放在今天确切的说，应该是马工电工等基
础课所必需的 “通用高等数学” 或 “通用高等数学概念”。 |
|
